назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [ 150 ] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


150

гдихся ни 0, ни одноэлементными множествами, ни самим I. Тогда последние замечания п. 51.4.1 показывают, что множества ТУ являются максимальными -удовлетворяемыми подмножествами из I.

Ясно, что отношение SM3T симметрично 1). Следовательно, мы можем применить (30:G) из п. 30.3.5. Это даст нам следующее.

(51 :Н) V = Wm для ТУ со свойствами (49:W*) тогда и только тогда, когда Уз-насыщено (в /).

Сравнение (51 :F) и (51 :Н) показывает, что нам удалось перейти от асимметричного Мг к симметричному Мз и выполнить тем самым обещание, данное в сноске 1 на стр. 290.

51.4.3. Чрезвычайно поучительно сравнить Мг (из п- 51.3.2) с нашим Мз-

SM2T : ни S [\Т = 0, ни S zd Т,

SM3T : ни 5ПГ = 0, ни S zd Т, ни S а Т, ни S{)T=I, за исключением случая, когда S П Т есть одноэлементное множество.

Простая симметризация Мг (см. п. 30.3.2) дала бы три первые части этого описания Мз, но не последнюю. Эта последняя часть - существен-ное? достижение (51 :G) и (51:Н) и не связана какими-либо очевидными путями с тремя остальными.

Из этого можно заключить, сколь запутанными должны быть операции, с помощью которых программа п. 30.3.7 могла бы быть выполнена, если бы это оказалось вообще возможным.

.51.5. Простота и разложение

51.5.1. Рассмотрим связи между понятием простой игры и понятием разложения.

Предположим, следовательно, что Г - разложимая игра с компонентами А и Н (/ и К - дополнительные множества в /). Тогда мы должны ответить на вопрос, что означает простота игры Г применительно к А и Н.

Начнем с определения множеств ТУ и L. Так как мы должны рассмотреть их для всех трех игр, необходимо отметить их зависимость от игры. Поэтому мы будем писать ТУГ, Lr; ТУд, LA; ТУН, LH.

Следует добавить, что мы не предполагаем существенности или какой-либо нормировки игр Г, А, Н. Удобно, однако, предположить, что все они являются играми с нулевой суммой 2).

(51:1) S = R{JT (R g= /, Т g= К) принадлежит WT (LT) тогда

и только тогда, когда R принадлежит Wa (La), а Т принадлежит WK (LH).

Доказательство. Заменим S на его дополнение (в /), т. е. на / - S 3); заменим, далее, R и Т их соответствующими дополнениями

х) SM3T выполняется в /, Sf\S = 0 верно только для S = 0; S D S не верно никогда; S\JS = I справедливо только при S = I; следовательно, ничего этого не может быть для S £ I.

2) Читатель, который помнит рассуждения п. 46.10, может пожелать узнать в этом месте, как улаживается вопрос об эксцессах (в Г, А, Н соответственно е0, cp,i>). Этот вопрос будет выяснен в п. 51.6.

3) Предпочтительнее писать дополнение таким способом вместо обычного -S, -Т, так как теперь дополнения берутся относительно различных множеств.



(в /, К). Это преобразование заменяет WT, W&, Wn на LT, £д, LH и обратно. Следовательно, наше утверждение относительно W влечет утверждение относительно L и обратно. Мы собираемся доказать последнее. То, что S принадлежит Ьг, выражается в виде

(51:7) v(£) = 2v((0).

Так как Д и Н суть компоненты, мы имеем v (S) = v (Л) f v (Г). Следовательно, мы можем переписать (51:7):

(51:8) v (R) + v (Г) = 2 v ((/)) + 2 v ((»)).

*e# г£Г

То, что Л принадлежит La, & Т принадлежит LH, выражается через (51:9) v(fl) = 2v((0),

(51:10) у(Г) = 2 v((f)).

Утверждение, которое мы должны доказать, есть эквивалентность (51:7) и свойств (51:9), (51:10).

Ясно, что из (51:9) и (51:10) следует (51:7). Обратное верно, так #ак всегда

у(Л) 2 v((0),

v(f) S v((0)

(см. (31:2) из п. 31.1.4).

51.5.2. Мы теперь можем доказать следующее:

(51 :J) Игра Г проста тогда и только тогда, когда из двух ее компо-

нент А и Н одна проста, аРвторая несущественна.

Доказательство. Необходимость. Простота Г означает следующее.

(51:11) Для любого S I верно одно и только одно из следующих двух утверждений:

(51:11:а) S принадлежит Wr,

(51:11 :Ь) S принадлежит Lr.

Положим S = i?U Т (Л с= Т К) и применим (51:1) к (51:11). В результате мы получим следующее:

(51:12) Для любых двух множеств Л / и Т К верно одно и только одно из следующих двух утверждений:

(51:12:а) Л принадлежит W& и Т принадлежит Wn,

(51:12:b) Л принадлежит LA и Т принадлежит £н.

Положим теперь Л = 0 и~Т = К. Тогда Л принадлежит £д, а Т принадлежит Wh- Следовательно, из (51:12:а) будет следовать, что W& и имеют общий элемент Л, а из (51:12:Ь) будет следовать, что Wn и Ья имеют общий элемент Г. В силу (49:Е) из п. 49.3.3 (примененного к А, Н вместо Г), из первого следует несущественность А, а из второго - несущественность Н.



Итак, мы видим:

(51:13) Если Г - простая игра, то либо игра Д, либо Н несущественна.

Достаточность. Предположим, по симметрии, что несущественная игра есть Н. Тогда (49:Е) из п. 49.3.3 показывает, что каждое Т К принадлежит и к ТУН> и к н- Следовательно, мы можем теперь переформулировать характеристику (51:12) простоты Г.

(51:14) Для любого R J верно одно и только одно из следующих двух утверждений:

(51:14:а) R принадлежит W&;

(51:14:Ь) R принадлежит LA.

Это есть в точности утверждение о простоте А. Таким образом, мы видим:

(51:15) Если игра Н (А) несущественна, то простота Г эквивалентна простоте А (Н).

(51:13) и (51:15) завершают доказательство.

51.6. Несущественность, простота и композиция. Рассмотрение эксцесса

51.6. Полезно сравнить (51:J) с (46:А:с) из п. 46.1.1. Мы обнаружили там, что разложимая игра несущественна тогда и только тогда, когда две ее компоненты несущественны. Это значит, что свойство несущественности наследуется при композиции. Это неверно для простоты, которая, как мы знаем, есть простейшая форма существенности. В силу (51:J) разложимая игра не проста, если две ее компоненты просты. (51 :J) показывает, что простая игра А остается простой при композиции тогда и только тогда, когда она объединяется с несущественной игрой Н, т. е. с множеством «болванов» (см. замечание на стр. 353).

В связи с этим уместны следующие четыре качественных замечания.

Первое. Если простая игра Г получается, как описано выше, добавлением к простой игре А «болванов» (т. е. несущественной игры Н), то решения Г могут быть непосредственно получены из решений А. Действительно, это описано детально в п. 46.9 х).

Второе. Мы указали в начале п. 49.7, что для простых игр мы используем старую форму теории. Поэтому стоит заметить, что тип композиции, к которому мы пришли (см. предыдущее замечание), есть в точности тот тип, при котором наследуется старая форма теории. (См. конец п. 46.9 или (46:М) в первом замечании из п. 46.10.4.)

Третье. В связи с этим становится также яснее, почему мы должны воздерживаться от рассмотрения эксцессов, отличных от нуля, т. е. новой формы теории jb смысле п. 44.7, для теории простых игр.

Действительно, если бы мы смогли выполнить это успешно, то результаты пп. 46.6 и 46.8 дали бы нам возможность иметь дело со всеми композициями простых игр. Теперь мы увидели, что композиция простых игр не является простой игрой. Другими словами, теория простых игр с произвольным эксцессом захватывала бы косвенно также и непростые игры.

*) Конечно, это как раз то, чего во всяком случае заставляет нас ожидать здравый смысл. Однако неожиданные повороты теории разложения (см., в частности, выводы в п. 46.11) показывают, что небезопасно терять из поля зрения точный результат. В нашем случае п. 46.9 дает строгое обоснование.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [ 150 ] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]