назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [ 145 ] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


145

50.4.1. Рассмотрим простую игру Г, которую мы будем считать нормированной с у = 1, но на которую мы не будем налагать никаких дальнейших ограничений. Попытаемся рассмотреть ее с точки зрения обычных экономических идей, не привлекая нашей систематической теории.

Ясно, что в этой игре единственной целью игроков является образование выигрывающей коалиции, и как только минимальная коалиция такого сорта образована, у ее участников не будет никаких мотивов привлекать дополнительных членов. Поэтому можно предположить, что минимальные выигрывающие коалиции S £ Wm - это как раз те структуры, которые следует создавать. Следовательно, правдоподобно предположение, что судьба игрока предоставляет ему только две существенные альтернативы: либо ему удается присоединиться к одной из желательных коалиций, либо нет. В последнем случае он проигрывает и потому получает сумму - 1. В первом случае он преуспевает, и согласно обычным представлениям нужно приписать этому успеху некоторое численное значение. Это значение может оказаться различным для различных игроков. Для игрока i мы обозначим его через-1 так что xt есть разность между

проигрышем и успехом для игрока i х).

50.4.2. Сформулируем теперь ограничения, которые должны быть наложены на эти хх, . . ., хп в ходе обычного экономического рассмотрения. *

Первое. Для каждого значения х% необходимо

(50:7) xtO.

Второе. Если окажется, что никакая минимальная выигрывающая коалиция не содержит некоторого игрока i, то для него не существует никаких других альтернатив, кроме значения -1, и поэтому мы можем никакого Xi для него не определять 2).

Третье. Если минимальная выигрывающая коалиция S становится эффективной, то дележ между игроками должен быть следующим. Каждый игрок, не принадлежащий S, получает -1, а каждый игрок из S получает -1 + xt. Сумма этих величин должна равняться 0. Это означает, что

о= 2(-i) + 2 (-!+**)=-*+2 *ь

т. е.

(50:8) %Xi=n.

В нашей системе обозначений это распределение описывается вектором а={аи . . .*, ап} с компонентами

[ -1, если i не принадлежит S,

[ - 1 + хи если i принадлежит S. Обозначим этот вектор через as. Наше первое условие и данное условие фактически устанавливают только то, что as есть дележ в смысле п. 30.1.1.

х) Мы предполагаем здесь, что существует только один способ выигрывания, т. е. что разность xt одна и та же, к какой бы минимальной выигрывающей коалиции игрок ни присоединился. Это правдоподобно, так как в простой игре существует только один вид успеха и каждая коалиция является либо выигрывающей, либо проигрывающей.

2) Для действительно актуальных простых игр таких i не существует, т.е. каждый игрок принадлежит к некоторой минимальной выигрывающей коалиции. См. первое рассмотрение в п. 51.7.1 и (51:0) в 51.7.3.



50.4.3. Продолжая обычную линию рассуждений, мы хотим теперь определить числа . . ., хп из равенств и неравенств, задаваемых тремя сделанными выше ограничениями. Выполняя это, нужно рассмотреть еще один вопрос. Мы установили в третьем замечании, что S должно быть минимальным выигрывающим подмножеством, т. е. принадлежать Wm. Однако уместен вопрос, все ли множества S из Wm могут быть при этом использованы.

Действительно, настоящая процедура есть не что иное, как обычная процедура определения цен для дополнительных товаров посредством их различного использования г). Здесь эти альтернативные использования могут быть более многочисленными, чем различные рассматриваемые товары, т. е. Wm может иметь больше элементов, чем п 2). В такой ситуации можно ожидать, что некоторые варианты не прибыльны, и включать их в третье ограничение не требуется. В действительности мы уже использовали этот принцип, беря S только из Wm, а не произвольно из W, потому что S из W - Wm (выигрывающие коалиции, отличные от минимальных), явно расточительны. Есть ли у нас гарантия, что все S из Wm должны рассматриваться как эквивалентные по прибыльности? Они, очевидно, не расточительны в упомянутом выше грубом смысле; никакого участника в S, принадлежащем Wm, нельзя удалить, не вызвав поражения. Но, как показывают многочисленные экономические примеры, неприбыльность может возникнуть и менее прямыми путями Таким образом, остается открытым вопрос, о каких S из Wm должна все-таки идти речь в третьем ограничении.

Ясно, однако, что если S из Wm не включено в рассмотрение, т. е. если для него не выполняется

(50:8)

то оно заведомо неприбыльно, вместо = :

(50:9) YiXi>n.

Таким образом, возникает вопрос: по какому именно критерию мы определяем, какие S попадают под третье замечание, т. е. для каких S должно выполняться (50:8). Обозначим множество их через U ( Wm). Тогда (50:9) должно выполняться для S из Wm - U. Таким образом, задача состоит в определении множества U 3).

50.5. Связь с общей теорией. Точная формулировка

50.5.1. Вместо попыток словесного описания посвятим этот пункт возврату к нашей систематической теории. Из утверждения, сделанного в п. 50.4, мы сохраним следующее. Рассмотрим систему минимальных выигрывающих коалиций, т. е. множество U Wm и числа xt. Составим, как в п. 50.4, дележ

as -{af, . . ., a£},

2) В этом случае больше подходит пример услуг. Предметом рассмотрения является здесь общая услуга игрока i внутри коалиции, к которой он присоединился.

2) См. четвертое замечание в 53.1.

3) Было бы грубой ошибкой пытаться определить Wm - U (и, таким образом, U) через (50:9). Это условие не ограничивает достаточным образом хи . . ., хп, а определение этих чисел и есть подлинная цель!

2 Xi = п,

т. е. в (50:8) мы должны иметь знак >



а? =

Г -1, если i не принадлежит S, 1

{ - 1 + #ь если i принадлежит S, J

То, что этот вектор as при S £ U действительно является дележом, выражается, как мы знаем, условиями из п. 50.4:

{50:7) хО,

(50:8) 2*, = n, S£U.

->

Образуем множество V таких as, где S £ U. Мы будем определять, подходят ли эти U ж хг, определяя, является ли V решением в смысле п. 30.1.1.

Далее мы увидим, что результат, который при этом получается, может быть сформулирован словесно и окажется вполне разумным с обычной экономической точки зрения. Однако может возникнуть вопрос, можно ли четко и недвусмысленно установить этот результат обычными процедурами. Это может служить иллюстрацией того, как наша математическая теория служит путеводителем даже для чисто словесных рассуждений при обычном экономическом подходе (см. п. 50.7.1).

50.5.2. Мы приступаем к исследованию, является ли V решением.

Определим сначала, когда некоторый данный дележ р = (р4, . . ., рл)

доминируется данным аг, где Т £ U. Так как игра простая, можно предполагать, что множество S из п. 30.1.1 для этого доминирования принадлежит W (или даже Wm, если учесть (49:1) или (49: J) из п. 49.7.2). Для каждого i £ S должно быть af > Pj - 1; для каждого i, не принадлежащего Т, будет at = -1. Следовательно, S Т. Далее, Т £U Wm, а S £ W; поэтому из S Т следует S = Т. Итак, мы видим: множество S из п. 30.1.1 для этого доминирования должно быть нашим Т. Это Т здесь можно использовать, так как оно принадлежит U Wm W (см. выше).

Следовательно, доминирование ат е- Р означает ai > Pi для i £ Т, т. е.

(50:10) Pf< - 1+xt для i£T.

Обозначим для любого дележа P = {Pi, Рл} множество всех таких i, что

(50:11) Р«-1+«,

-> ->

через /?(Р). Тогда (50:10) устанавливает, что множества R (Р) и Т не пересекаются. Другим способом записи этого будет

{50:12) - Д(Р)=2Г.

Повторяем:

(50:F) aT&-p эквивалентно (50:12).

Из этого мы можем вывести следующее:

<(50:G) Пусть СУ* - множество всех R(I), которые содержат некоторое подмножество, принадлежащее U. Пусть U+ - множе-

ство всех R ( /), для которых -R не принадлежит U*. Тогда р не доминируется никаким элементом из V тогда и только тогда,

когда R (Р) принадлежит U+.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [ 145 ] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]