назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [ 144 ] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


144

(49:W*:c). Снова используя (50:1), мы видим, что /=(1,2, . . . , п) принадлеяшт W. Для произвольного п - 1-элементного множества S = = I - (i0) условие (50:1) означает, что

п i=l

Суммируя сказанное выше, мы получаем (50:В) Веса wu ..., wn могут использоваться в (50:1) или (50:2)

для задания W, удовлетворяющего (49:W*), тогда и только тогда,

когда выполняются следующие условия: (50:В:а) Для всех i0 = 1, . .., п

п г=1

<50:В;Ь) Для всех SI

1 V Л

Ziwi=YZiWi

i£S i=l

Иными словами, игрок всегда имеет неотрицательный вес, который никогда не достигает половины общего веса и не превосходит ее; никакая комбинация игроков не обладает точно половиной общего веса 1).

Простую игру, которая получена на основе такого W 2), будем называть взвешенной мажоритарной игрой (п участников с весами Wi, . . . . . . , wn). Мы будем также обозначать эту игру символом [wi, . . . , wn].

Таким образом, чисто мажоритарной игре приписывается символ

[1, 1].

Следует заметить, что игра четырех лиц, соответствующая вершине / куба Q, которая рассматривалась в пп. 48.1.2 и 48.1.3, может быть описана как взвешенная мажоритарная игра. Действительно, принцип выигрывания, найденный в п. 48.1.3, может быть выражен тем, что игрокам 1, 2, 3 придается один и тот же вес, а игроку 4 двойной вес. Это значит, что такой игре следует приписать символ [1, 1, 1, 2].

50.2. Однородность

50.2.1. Введение мажоритарных игр и описывающих их символов [iVi, . . ., wn] является известным шагом в направлении количественной (числовой) классификации и характеризации простых игр. Есть все основания думать, что полное осуществление такой программы было бы желательным. Простота была определена в комбинаторных, теоретико-множественных терминах, и следует ожидать, что числовая характеризация облегчит обращение с ними. Такая характеризация обычно облегчает более исчерпывающее, количественное понимание рассматриваемого понятия. Кроме того, в стоящей перед нами проблеме мы в конце концов ищем решения, которые определяются численно, и поэтому представляется вероятным, что числовая характеризация будет соответствовать им более прямо, чем комбинаторная.

2) Первое требование устраняет трудности из п. 49.2, второе - исключает равенство.

2) Точнее, класс стратегически эквивалентных игр.



Однако сделанный нами первый шаг еще далек от осуществления этого перехода.

С одной стороны, простой игре может соответствовать более одного* символа [wi, . . . , wn]. В действительности, каждой простой игре, которой соответствует хотя бы один символ, соответствует бесконечно много символов С другой стороны, мы не знаем, всем ли простым играм соответствуют такие символы 2).

Мы начнем с рассмотрения первого пробела. Так как одной простой игре могут соответствовать различные символы [wi, . . ., wn], некоторая естественная процедура должна выделять какой-нибудь конкретный символ среди остальных по какому-нибудь удобному принципу выбора. Желательно определить в этом принципе такие требования, которые повышали бы значимость и полезность компонент w±, . . ., wn.

Начнем с нескольких предварительных рассмотрений. Условия (50:1) и (50:2) приводят к рассмотрению разности

(50:6) as = 2 т- 2 и>*=2 *>i- 2 и>«-

i£S г=1 i£S i£-S

Это число as выражает, насколько коалиция S перевешивает своих противников, сколь велико ее взвешенное большинство. Непосредственна можно получить следующие свойства: (50:С) as = -a s.

Доказательство. Воспользуемся последней формой (50:6) для as-

(50:D:a) as > 0 тогда и только тогда, когда S принадлежит W. (50:D:b) as < 0 тогда и только тогда, когда S принадлежит L. 50:D:c) as = 0 невозможно.

Доказательство. (50:D:a) справедливо по определению. (50:D:b) вытекает непосредственно из (50:D:a) и (50:С). (50:D:c) следует непосредственно из (50: D:а) и (50:D:b), так как W и L исчерпывают все возможные S. Оно также совпадает с (50:В:Ь).

50.2.2. Теперь естественно попытаться установить веса Wi, . . ., wn так, чтобы количество as, которое гарантирует победу, было одним и тем же для каждой выигрывающей коалиции. Нерационально было бы, однако, требовать этого фактически для всех S из W. Если S принадлежит W, то любое его надмножество Т также принадлежит W, и для них возможно ат > as 3). Так как такое Т содержит участников, которые для выигрыша не обязательны, представляется естественным ими пренебрегать. Это значит, что мы требуем постоянства as только для тех S из W, которые не являются собственными надмножествами других элементов из W. В терминологии, введенной в п. 49.6.3, это выглядит так: требуется, чтобы as было постоянным для минимальных элементов W, т. е. для элементов Wm>

Согласно этому мы вводим определение.

(50:E)j Веса Wi, . . ., wn называются однородными, если d~s из (50:6) имеют общее значение, обозначаемое через а для всех S из Wm~

*) Очевидно, что достаточно малые изменения wt не нарушают справедливости (50:1), в частности, потому, что (50:5) исключается по (50:В:Ь).

2) Мы увидим в п. 53.2, что некоторым простым играм не соответствуют символы.

3) Так, например, Т = I з S, ат > а$, кроме случая, когда wt = 0 для i, не-принадлежащих S.



Всегда, когда (50:Е) выполняется, мы будем вместо [г#4, . . ., wn] писать [wt, . . wn]h.

Ясно, что а > 0. Общий положительный множитель не влияет на существенные свойства . . ., wn; поэтому в случае однородности мы можем воспользоваться этим для окончательной нормировки, полагая а = 1.

В заключение заметим, что игры, упомянутые в конце п. 50.1.3, однородны и нормированы с а = 1. Это - чисто] мажоритарные игры нечетного числа участников [1, . . ., 1] и игра, соответствующая вершине / куба Q [1, 1, 1, 2]. Эти игры могут быть соответственно записаны как [1, . . ., l]h и [1, 1, 1, 2]h. Действительно, читатель легко проверит, что в обоих случаях а = 1 для всех S £ Wm.

50.3. Более прямое использование понятия дележа при образовании решений

50.3.1. Однородный случай, введенный выше, тесно связан с обычным экономическим понятием дележа. Сейчас мы предполагаем это показать.

Скажем более точно. Мы определили в п. 30.1.1 общее понятие дележей и построили с его помощью понятие решений. При образовании их мы руководствовались теми же принципами оценки, которые используются в экономике, и поэтому следует ожидать некоторой связи с обычным экономическим понятием дележа. Однако наши рассмотрения увели нас довольно далеко от этого понятия. Особенно это относится к тем построениям, которые были необходимы, когда мы обнаружили, что именно множества дележей, т. е. решения, а не отдельные дележи должны быть предметом нашей теории. Теперь окажется, что для некоторых простых игр связь с обычным экономическим понятием дележа может быть установлена несколько более прямо. Можно сказать, что для этих игр частного вида связь между таким примитивным понятием и нашими решениями может быть установлена непосредственно. Фактически это даст простой метод для нахождения некоторого частного решения в каждой из этих игр.

50.3.2. Эти два понятия решения, т. е. эти две процедуры, эффективно дополняют друг друга. Обычное экономическое понятие дает нам полезные предположения относительно вида некоторого решения. После этого можно воспользоваться математической теорией для определения искомого решения и пополнения требований, формулируемых при традиционном подходе (см. п. 50.4, с одной стороны, и п. 50.5 и следующие,- с другой).

Эти рассмотрения служат также и другой цели. Они с большой ясностью выявляют ограничения обычного подхода. Обычный подход приложим в этой форме только для простых игр, но даже и здесь не всегда и не без помощи нашей математической теории. Кроме того, он не выявляет всех решений в тех играх, к которым он применяется. (Дальнейшие замечания по этому поводу встретятся в ходе обсуждений и, в частности, в п. 50.8.2.)

В связи с этим мы снова подчеркиваем, что любая игра является моделью возможной социальной или экономической организации и любое решение является возможной устойчивой нормой поведения в ней. Как игры, так и решения не исчерпываются упомянутым методом, т. е. неулучшенным экономическим понятием дележа. Будет показано, что те простые игры, которые могут быть обработаны этим частным методом, тесно связаны с однородными взвешенными мажоритарными играми, обобщением зкоторых они являются.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [ 144 ] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]