назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [ 142 ] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


142

49.3.2. Утверждение (49:2) определяет v (S) для S из W и L, поэтому нам остается определить ее значения только для тех S, которые не принадлежат ни одному из этих множеств. Попытаемся приписать им всем значение 0. Согласно этому мы полагаем:

{п - д, если S£W, ) s является g-элементным множеством. - д, если S£L J ff = 0, 1, тг,

0 в остальных случаях1).

Мы докажем сначала, что v (S) есть характеристическая функция, т. е. что она удовлетворяет соотношениям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. Мы докажем эти условия в их эквивалентной форме (25:А) из п. 25.4.2.

Случай р = 1 со знаком =. v (I) = 0, так как, в силу (48:А:Ь) и (49:С), / = - 0 принадлежит W.

Случай р = 2 со знаком =. v (St) + v (S2) = 0> если Si и S2 - дополнительные множества. Действительно, если оба St и S2 не принадлежат W или L, то v (Si) = v (S2) = 0. Если одно из St и S2 принадлежит W или L, то, в силу (48:А:Ь), другое принадлежит соответственно L или W. Предположим по симметрии, что St £ L, S2 6 W, Пусть St имеет q элементов; тогда S2 имеет п - q элементов. Но тогда v (St) = - q и v (S2) = g. Итак, в любом случае v (St) + v (S2) = 0.

Случай p = 3 со знаком v (St) + v (S2) + v (S3) 0, где Si9 S2i S3 попарно не пересекаются, и объединение их равно I. Действительно, если ни одно из множеств St, S2, S3 не принадлежит W, то v (St), v (S2)i v (з) = 0 2)- Если одно из S S2, S3 принадлежит W, то мы можем по симметрии предполагать, что это S3. Следовательно, - S3 = St U 2 принадлежит L в силу (48:A:b), a St и S2 принадлежат L в силу (48:A:d). Пусть St имеет д4 элементов, 2 имеет д2 элементов, a S3 имеет п - д4 - д2 элементов. Тогда v (St) = - gi, v (iS2) = - g2, v ()5з) = q± + дг- Итак, в любом случае v + v (S2) + v (S3) 0.

49.3.3. Таким образом, v (S) соответствует игре Г. Установим теперь оставшиеся утверждения.

Характеристическая функция v (S) (т. е. игра Г) нормирована, и у= = 1. Действительно, все v ((i)) == - 1.

v (S) удовлетворяет (49:2). Вследствие (48:А:Ь) и того, что v ( - S) = = - v (S), обе части (49:2) переходят друг в друга при замене S на - S. Рассмотрим поэтому только вторую половину утверждения.

Если S £ L, то ясно, что v (S) = - g. Если S не принадлежит L, то из v (S) = - g следует, что - g = 0 3), т. е. q = 0. Но это означает, что S является пустым множеством в противоречии с (49:С).

Итак, игра Г обладает всеми требуемыми свойствами.

Мы в состоянии теперь доказать следующее исчерпывающее утверждение:

(49:Е) Для того чтобы два семейства W и L были семействами Wr и Ьг для соответствующей игры Г, необходимо и достаточно выполнения следующих требований: Если игра Г несущественна, то W = L =±= I. Если игра Г существенна, то выполняются (48:А:Ь) - (48:A:d), (49:с), (49:1:а).

х) Первые два условия непротиворечивы ввиду (49:1:а).

2) Ясно, что v (S) 0, если S § W.

3) Так как п - q Ф -q, S не может принадлежать W; следовательно, v (S) = 0.



Доказательство в случае, когда игра Г несущественна, непосредственно следует из (49:В:Ь).

Пусть игра Г существенна. Необходимость была установлена в (49:А), (49:В:а) и (49:С). Достаточность вытекает из произведенного построения.

В заключение упомянем другую интерпретацию (49:2). Вспомним неравенства (27:7) из п. 27:2 (описываемые также на рис. 30), которые определяют ограничения, налагаемые на v (S). Оказывается, что W? есть множество тех S, для которых v (S) достигает верхнего предельного значения, а - множество тех 5, для которых v (S) достигает нижнего предельного значения.

49.4. Точное определение простоты

49.4. (49:Е) позволяет нам дать строгое определение того класса игр, который мы упомянули в пп. 48.1.2 и 48.2.1 и который был описан более детально в п. 49.1.3. Речь идет о том классе игр, где единственной целью всех игроков является образование определенных решающих коалиций и где нет никаких других мотивов, которые входят в количественное описание игры.

При комбинировании той части (49:Е), которая относится к существенным играм, с (49:1) оказывается, что формальным выражением этой идеи является

(49:1:Ь) Wr [j LT = 7.

Действительно, это условие выражает то, что любая данная коалиция S принадлежит либо к выигрывающей, либо к проигрывающей категории, без какого-либо дальнейшего подразделения.

В соответствии с этим введем определение: существенная игра, которая удовлетворяет (41:1:Ь), называется простой.

Понятие простоты инвариантно относительно стратегической эквивалентности, поскольку таковыми являются Wr и LT.

49.5. Некоторые элементарные свойства простоты

49.5.1. Прежде чем заняться детальным математическим исследованием введенного понятия, рассмотрим еще раз заключительное замечание из п. 49.3. Смысл этого замечания состоит в том, что существенные игры - простые, если значения v (S) лежат для каждого S на границе *) области, определенной неравенствами (27:7) из п. 27.2.

Множество всех существенных игр п лиц (нормированных; у = 1) может быть представлено как геометрическая фигура, размерность которой видна из табл. 24. Говоря более точно, соответствующие неравенства определяют выпуклую многогранную область Qn в линейном пространстве соответствующей размерности, и точки этой области описывают все такие игры 2).

49.5.2. Например, для п = 3 размерность равна 0 и область Q3 есть единственная точка.

г) Эта граница состоит из двух точек: верхнего предельного значения п - р и нижнего предельного значения -р (у = 1). v (S) должно быть одним из этих двух значений, безразлично каким.

2) Читатель, который знаком с гс-мерной линейной геометрией, заметит, что так как множество Qn определяется линейными неравенствами, оно должно быть многогранником. Рассуждения из п. 27.6 позволяют заключить, что этот многогранник выпуклый.



Для п = 4 размерность равна 3 и областью является куб Q из п. 34.2.2.

Простыми играми являются те игры, для которых мы находимся на границе каждого определяющего неравенства. Относительно выпуклой многогранной области Qn это означает, что простые игры соответствуют вершинам Qn, лг = 3, 4.

Например, для п = 3 множество Q3 состоит из единственной точки, т. е. ничего, кроме вершины, в нем нет; поэтому существенная игра трех лиц простая 1). Для п = 4 множество (?4 есть куб Q, и простым играм соответствуют его вершины I-VIII 2).

49.6. Простые игры и их W и X. Минимальные выигрывающие коалиции Wm

49.6.1. Комбинируя (49:Е) с определением простоты, мы получаем следующее.

(49:F) Для того чтобы два данных семейства W и L были множе-

ствами Wr и Lr для некоторой соответствующей игры Г, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: (48:А:а) - (48:A:d), (49:С).

То, что S из (49:2) пробегает все подмножества /, является определяющим для простоты. Поэтому для простых игр и только для них знание Wr и Lv позволяет определить v (S) при условии, что игра нормирована и у = 1. Без последнего условия это определяет игру с точностью до стратегической эквивалентности.

Переформулируем сказанное:

(49: G) Игра Г определяется своими Wr и Lr с точностью до стратегической эквивалентности тогда и только тогда, когда она простая.

Поэтому, согласно (49:F) и (49:G), теория простых игр эквивалентна теории тех пар семейств W и L, которые удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d), (49:С).

49.6.2. При изучении описанных выше пар W и L следует вспомнить п. 48.2.2 и, в частности, (48:W) и (48:L), а также (49:2). Согласно этим условиям, для того чтобы определить пару W и L, достаточно указать либо W, либо L.

Условия (48:А:а) - (48:A:d) заменяются тогда на (48:W), если используется W, или на (48:L), если используется L.

Условие (49:С) непосредственно относится к L. Можно отнести его и к W, применив (48:А:Ь); при этом упомянутые в нем множества следует заменить их дополнениями.

Ради полноты мы переформулируем (48:W) и (48:L) вместе с соответствующими формами (49:С).

х) См. также (50:А) из п. 50.1.1.

2) Поскольку дело касается вершин /, v, vi, vii, это неудивительно. Наше рассуждение началось с них в п. 48.1, и наше понятие простоты было получено из них посредством обобщения.

Появление вершин , 77/, iv, viii может даже озадачить. Мы исследовали в п. 35.2 соответствующие игры как прототипы разложимости. Однако они также простые, как это будет следовать из (50:А) и начала п. 51.6.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [ 142 ] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]