назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [ 141 ] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


141

49.1.3. Мы не имеем оснований ожидать, что определенные выше семейства Wr и Ьт удовлетворяют условиям (48:А:а) - (48:A:d) (для W и L) из п. 48.2.1. Игра в ее рассматриваемой общности не обязана Принадлежать к тому простому типу, где единственной целью всех игроков является образование определенных решающих коалиций и нет никаких других мотивов, которые входят в количественное описание игры х). Поэтому необходимо ввести ограничения, чтобы выразить те свойства, которые мы имеем в виду. Точная формулировка этого ограничения является нашей непосредственной задачей.

Тем не менее мы начнем с определения того, в какой степени условия (48:А:а) - (48:A:d) выполняются для игры Г во всей ее общности. Мы дадим ответ в несколько шагов.

(49: А) Семейства Wr и LT всегда удовлетворяют условиям (48:A:b) - (48:A:d).

Доказательство. (48:А:Ь) получается немедленно сопоставлением (49:L) и (49:W) из п. 49.1.2 2).

(48:А:с) и (48:A:d). Так как мы уже располагаем (48:А:Ь), мы можем применить (48:В) из п. 48.2.2 3) и, следовательно, утверждения (48: А: б) и (48:A:d) следуют друг из друга. Но (48:A:d) совпадает с (31:D:c) из п. 31.1.4, что видно из рассмотрения (49:L).

Таким образом, главное различие между нашими заданными Wr и LT и структурой из п. 48.2 лежит в (48:А:а), т. е. в вопросе, являются ли Wr и Lr дополняющими друг друга множествами или нет. Мы можем разбить это утверждение на две части.

(49:В:а) (49:1:а) выполняется тогда и только тогда, когда игра Г существенна.

(49:В:Ь) Если игра Г несущественна, то Wr = Lv = I 6).

Доказательство. (49:В:а). Отрицанием (49:1:а) является существование такого S, что оба множества S и -S линейные. В силу (31:Е:Ь) из п. 31.1.4 это равносильно несущественности игры.

х) Наше рассмотрение игр четырех] лиц содержит много иллюстраций таких мотивов, для которых в конце п. 36.1.2 дан хороший пример. Эта ситуация является действительно общей - класс игр, которые мы сейчас имеем в виду, является в определенном смысле крайним случаем (см. заключительное замечание из п. 49.3.3).

2) Действительно, понятие выигрывания было основано на понятии проигрывания как раз посредством операции дополнения.

3) Теперь понятно, почему мы отделили (48:А:а) от (48:А:Ь) в п. 48.2.1. В нашем случае выполняется (48:А:Ь), но не (48:А:а).

4) Может показаться странным, что условие «никакая коалиция не может быть одновременно выигрывающей и проигрывающей» должно быть сформулировано отдельно. Значение этого условия выявится в (49:В) и в сноске 6 ниже.

5) Утверждается, что каждая коалиция,-т. е. каждое подмножество 7,- либо выигрывающая, либо проигрывающая. Это, конечно, тот принцип, на основании которого мы хотим ограничить Г.

6) Таким образом, когда игра несущественна, коалиция может быть одновременно выигрывающей и проигрывающей,- очевидно, что в этом случае нахождение ее в том или ином состоянии не играет роли.

(49:1) (49:1:а) (49:1:Ь)

(49:В)



(49:В:Ь). Wr = Lr - I означает, что каждое S из / линейное. В силу (31:Е:с) из п. 31.1.4 это равносильно несущественности.

Прежде чем перейти к (49:1:Ь), заметим, что Wf1 и LT обладают одним свойством, которого нет среди (48:А:а) - (48:A:d):

(49:С) Lr содержит пустое множество и все одноэлементные мно-

жества *).

Доказательство. Это утверждение совпадает с (31:D:а), (31:D:b) из п. 31.1.4.

(49:С) является действительно новым условием, т. е. оно не вытекает из (48:А:а) - (48:A:d). Мы проверим это ниже, в п. 49.2. Таким образом, в наших правдоподобных рассуждениях в п. 48.2 мы рассмотрели черты, с необходимостью присущие Wr и Lr- Мы должны, следовательно, быть уверены в том, что данные условия содержат все, что надо. Это значит, что условия (48:A:b) - (48:A:d) и (49:С) вместе с результатом (49:В) о несущественности характеризуют Wr и Lr полностью. Это будет показано ниже, в п. 49.3.

49.2. Особая роль одноэлементных множеств

49.2.1. Мы начнем с обещанного примера пары семейств W и L, которые удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d)2), но не удовлетворяют (49:С). Фактически мы можем указать все такие пары.

(49:D) W и L удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d), но не (49:С) тогда

и только тогда, когда они имеют следующий вид. W есть множество всех S, содержащих £0, a L есть множество всех S, не содержащих i0, где i0 - произвольный, но фиксированный игрок.

Доказательство. Достаточность. Непосредственно проверяется, что W и L, образованные указанным способом, удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d). (49:С) нарушается, так как одноэлементное множество (£0) принадлежит If и не принадлежит L.

Необходимость. Предположим, что W и L удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d), но не удовлетворяют (49:С). Пусть (i0) - одноэлементное множество, которое не принадлежит L 3). Тогда (i0) принадлежит W. Каждое S, содержащее i0l принадлежит W в силу (48:А:с). Если S не содержит i0, то -S содержит i0; следовательно, в силу сказанного выше, - S принадлежит W и, в силу (48:A:b), S принадлежит L.

Наконец, в силу (48:А:а), множества W и L не пересекаются; следовательно, W совпадает с множеством тех S, которые содержат г0, a L - с множеством тех S, которые не содержат i0.

49.2.2. Имеет смысл кратко прокомментировать этот результат. W и L, образованные в (49:D), не могут быть множествами Wr и Ьг

ни для какой игры, так как для них не выполняется (49:С). Это может показаться странным, так как (49:D) воплощает очень ясную идею типа «выигрывания» и «проигрывания», описанную соответствующими W и L. Действительно, они описывают ситуацию, в которой коалиция

х) По смыслу нашего полного анализа игр коалиция из одного игрока должна рассматриваться как проигрывающая, так как этому игроку не удалось отыскать партнеров для коалиции.

2) Мы упоминали первоначально только (48:A:b) - (48:A:d), но сделанное усиление не вызывает затруднений.

3) Если пустое множество не принадлежит L, то вследствие (48:A:d) никакое множество не может принадлежать.L, а следовательно, и любое (£0).



выигрывает, когда игрок i0 принадлежит ей, и проигрывает в противном случае. Почему не может быть построена игра, соответствующая этому частному случаю?

Причина кроется в том, что в описанных условиях, «выигрывание» вообще не является мотивом образования коалиций х). Игрок i0 выигрывает без чьей-либо помощи. Более того, в нашей терминологии это положение i0 не является победой - оно есть не результат применения какой-либо стратегии 2), а лишь фиксированное положение, предоставленное ему правилами игры 3). Игра, в которой коалиции не приводят к преимуществу, несущественна 4), даже если один игрок £0 будет иметь в ней значительное! фиксированное преимущество.

Читатель понимает, конечно, что все это только дополнительный комментарий к результатам, которые уже строго установлены выше (в (49:С) и (49:D))

49.3. Характеризация семейств W и L в реальных играх

49.3.1. Мы вернемся теперь ко второму вопросу, упомянутому в конце п. 49.1.3. Пусть даны два семейства W и L, которые удовлетворяют (48:A:b) - (48:A:d) и (49:С), а также (49:1:а) 5). Мы хотим построить существенную игру Г, для которой Wr = W и Lr = L. Выполняя это построение, нормируем Г с 7 = 1.

Множества S из Lr характеризуются тем, что они линейные, т. е. тем, что v (S) = -р, где р есть число элементов в S 6). Ввиду сказанного выше множества S из Wr характеризуются тем фактом, что -S принадлежит Ьт , т. е. что v (- S) = - (п - р). Так как v (- S) = - v (S), мы можем написать, что v (S) = п - р.

Таким образом, мы показали, что искомые отношения Wr = W, LT = L эквивалентны следующему:

(49:2) Для g-элементного множества S (#=0,1,

(49:2:а) у(5) = л -g

тогда и только тогда, когда S принадлежит W, а (49:2:b) v(iS)= -q

тогда и только тогда, когда S принадлежит L.

Таким образом, нашей задачей является построение игры Г (нормированной с у = 1) с характеристической функцией v (S), которая удовлетворяет (49:2).

г) Эквивалентное рассмотрение было проведено для частного случая в п. 35.1.4.

2) Мы всегда считали это тем же самым, что и образование соответствующих коалиций.

3) См. наше рассмотрение основных значений а, 6, с в игре трех лиц в п. 22.3.4. Полное обсуждение стратегической эквивалентности (см. п. 27.1.1) было проведено втом же духе. Преимущества, подобные данному, могут быть устранены стратегически эквивалентным преобразованием, в то время как преимущества, которые обусловлены образованием коалиций,- нет.

4) Следовательно, для нее Wr и Lr не будут совпадать с W и L, описанными (49:D), а будут удовлетворять условию (49:В:Ь).

б) Мы требуем выполнения (49:1:а), потому что имеем в виду главным образом существенные игры (см. (49:В)). Впоследствии, как будет показано в (49:Е), мы сделаем наше обсуждение исчерпывающим.

6) Напоминаем, что все v ((/)) = -у =

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [ 141 ] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]