назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [ 137 ] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


137

заштрихованные области, которые доминируются данной точкой в нем (взятые из рис. 51), показаны на рис. 55. Мы можем теперь ограничиться этим треугольником Т и отношением доминирования, которое в нем определено, и найти решение (44: Е:с) по отношению к этому треугольнику.

Точка о

ТреугольникТ Рис. 55.

-Треугольник Т~~ Прямая I Рис. 56.

МьГвычертим отдельно Т и доминируемые области, а также введем в нем систему координат х, у (рис. 56).

Заметим, что вершина о не доминируется точками Т и поэтому должна принадлежать V *»2).

47.5.2. Рассмотрим теперь в Т две точки из V с различными ординатами у. Для того чтобы верхняя точка не доминировала нижнюю, последняя не должна находиться ни в одном из заштрихованных секторов,

Точна о

/Точка о

Ордината у

Прямая I

Прямая I

Рис. 57.

Рис. 58.

определяемых первой точкой, т. е. нижняя точка должна находиться в среднем секторе ниже первой, и обратно. Таким образом, если в Т дана точка из V, то все точки из V в Г с различными ординатами у должны находиться в одной из двух заштрихованных областей, указанных на рис. 57.

47.5.3. Предположим теперь, что у>± - ордината более чем одной точки из V. Пусть тогда ряд - две различные точки из V, ординаты которых равны г/4 (рис. 58). Выберем теперь точку г внутри треугольника,

!) Для других заштрихованных треугольников (т. е. Г), отличных от нижнего треугольника рис. 54, этот факт следует из других рассуждений, а именно: как показывают рис. 53, 54, вершина такого треугольника лежит на границе внутреннего треугольника (т.ув. области 1) и принадлежит множеству, которое, как мы знаем, является частью V в области 1.

2) Когда нижний заштрихованный треугольник (т. е. Т) рис. 54 вырождается в одну точку (см. сноску 1 на стр. 421), которая является, конечно, точкой о, она определяет часть V в Т.



Прямая I

Рис. 59.

заштрихованного в клеточку. Сравнение рис. 58 с рис. 56 показывает, что эта точка г доминирует как р, так и q. Так как р, q £ V, г не может принадлежать V. Следовательно, в V должна существовать точка s, которая доминирует г. Повторное сравнение рис. 58 с рис. 56 показывает, что точка, которая доминирует г, должна также доминировать либо р, либо q. Так как все точки s, р, q принадлежат V, это невозможно.

47.5.4. Предположим теперь, что yt (в треугольнике Г, т. е. между основанием I и вершиной о) не есть ордината какой-либо точки, принадлежащей V. Тогда наверняка существуют точки из V с ординатами у Уи например, такой точкой является вершина о. Выберем из V /Точкао точку р с ординатой у г/4 и расположенную возможно ниже, т. е. точку с минимальной ординатой у *) (рис. 59). Обозначим это минимальное значение через у = у2- Ясно, что У\<Уъ- По определению у2 никакая точка из V не имеет ординаты у, для которой i/i У <L Уг-> и» согласно приведенным выше рассуждениям, р есть единственная точка из V с ординатой у = у2.

Спроектируем теперь точку р по вертикали на прямую у = у и мы получим точку q. Точка q не может принадлежать V, и, следовательно, она доминируется некоторой точкой s £ V. Поэтому эта точка s не может находиться ниже q, т. е. ее ордината у 7 yt. Следовательно, у у2.

Сравнение \ рис. 59 с рис. 56 Точна о показывает, что р не доминиру-

ет q. Следовательно, s Ф р, откуда необходимо следует, что У ФУ2- Таким образом, у>у2, т. е. s находится определенно выше р. Повторное сравнение рис. 59 [с рис. 56 показывает, что если точка s, лежащая выше р, доминирует точку q, то она должна также доминировать р. Так как обе точки р принадлежат V, это невозможно.

47.5.5. Подведем итоги: каждое у (между I и о) есть ордината в точности одной/точки из V. Если у изменяется, то эта точка изменяется так, что сохраняются ограничения рис. 57, т. е. она изменяется в заштрихованных областях, указанных на этом чертеже. Другими словами:

{47:6) V (в Т) представляет собой кривую, идущую от вершины о

до основания Z, направление которой никогда не отклоняется от вертикали более чем на 30° 2) (см. рис. 60).

х) Это возможно, так как V есть замкнутое множество; см. утверждение (*) замечания на стр. 397.

2) Следовательно, она непрерывна.

Прямая I

Рис. 60.



Обратно, если дана произвольная кривая, удовлетворяющая (47:6), то из сравнения рис. 60 с рис. 56 становится ясно, что области, доминируемые точками из V, составляют в точности дополнение V в Г. Таким образом, (47:6) есть точное определение части V в Т *).

Теперь мы можем получить общее решение V для Е (е0) (т. е. для фундаментального треугольника), проводя в каждом заштрихованном

треугольнике на рис. 53 и 54 кривые, соответствующие рис. 60. Результаты изображены соответственно на рис. 61 и 62 2).

Нужно отметить, что эти рисунки все еще имеют заметное сходство с рисунками, описывающими решения существенной игры трех лиц в старой теории (см. п. 32.2.3, что видно на внутреннем треугольнике на рис. 52). Новое представляют собой кривые в малых треугольниках, каждая из которых расположена в полосе между двумя главными треугольниками рис. 61 и 62. Ширина этой полосы, как показано на рис. 50 и следующих, измеряется числом e0s). Поэтому, когда е0 стремится к нулю, новые решения приближаются к старым.

Следует также указать, что множество решений теперь гораздо разнообразнее, чем было раньше: можно выбирать произвольно целые кривые (соблюдая ограничения (47:6)). Далее мы увидим, что эти кривые наводят на мысль об одной интерпретации, имеющей дополнительное значение. (См. п. 47.8.)

Рис. 61.

Рис. 62.

47.6, Случай (V) 47.6.1. Случай (V): 3/2 <; е0 < 3. В этом случае

1 0<1+-

•*(i-*)<*+-J-)-

Как легко проверить, эти неравенства выражают тот факт, что ориентация внутреннего треугольника из рис. 50 противоположна ориентации внешнего (фундаментального) треугольника, но внутренний треугольник все еще расположен целиком внутри внешнего, как показано на рис. 63. Внешний треугольник снова разбивается на семь областей, каждую из которых можно охарактеризовать теми двухэлементными множествами, которые эффективны в ней в смысле (47:5) из п. 47.2.3. Единственное отличие между рассматриваемым случаем и случаем (IV) (т. е. рис. 50) состоит в поведении области 1. Список областей и соответствующих им эффективных множеств приведен ниже в таблице 26 к рис. 64.

х) Это также верно в случае, когда Т вырождается в точку; см. сноску 1 на стр. 421.

2) Нижний треугольник на рис. 62 может выродиться в точку или даже исчезнуть совсем; см. сноску 1 на стр. 421.

3) Стороны внешнего (фундаментального) треугольника задаются уравнениями

а1 = - (""з") стороны внутреннего треугольника - уравнениями а1 =

= - 1 - ~ j (см. рис. 50). Разность чисел - 1 + -j и - 1 - ~ j равна

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [ 137 ] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]