назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [ 135 ] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


135

трех лиц, для которых у = 1. Тогда А 4 = [Н 4 = 3f f А 2 = Н г = 3/г (см. п. 46.10.3). Следовательно при - 3/2 ф 3/2 как ф, так игр = -ф заключены между -3 и 3/2. Как будет показано в § 47, отсюда следует существование решений V/ и W# соответственно игр А и Н для Е (ф) и 2? (*ф). Композиция U/ этих решений являeтcя тогда решением составной игры Г для данного ф. Так как ф ограничено только неравенствами - 3/2 Ф g 3/2, мы можем выбрать ф отличным от нуля. Таким образом, мы доказали следующее утверждение:

(46:0) п = 6 есть наименьшее число игроков, при котором в соответствующей игре может наблюдаться характерный новый элемент теории составных игр (т. е. возможность равенства е0 = О при ф = - я) Ф 0, см. рассуждения, приведенные выше).

Мы неоднократно выражали уверенность в том, что возрастание числа игроков вызывает не только количественное усложнение явлений, наблюдаемых для меньшего числа игроков, но может вызвать также и качественно новые явления. В частности такие явления наблюдались, когда число игроков последовательно возрастало до 2, 3, 4. Поэтому представляет интерес тот факт, что то же происходит, когда число игроков достигает шести *).

§ 47. СУЩЕСТВЕННЫЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ В НОВОЙ ТЕОРИИ

47.1. Необходимость рассмотрения этого вопроса

47.1. Нам остается рассмотреть решения существенных игр трех лиц в соответствии с новой теорией.

Это необходимо, так как мы уже использовали в пп. 46.10 и 46.12 существование этих решений, но кроме того, их рассмотрение интересно также и само по себе. Ввиду той интерпретации, которую мы были вынуждены придать этим решениям в п. 46.12, а также ввиду их центральной роли в теории разложения 2) желательно детально исследовать их структуру. Кроме того, знакомство с этими деталями приведет к другим интерпретациям, имеющим некоторое значение (см. пп. 47.8 и 47.9). Наконец, мы обнаружим, что принципы, использованные для нахождения рассматриваемых решений, имеют более широкое применение (см. пп. 60.3.2, 60.3.3).

47.2. Предварительные замечания

47.2.1. Мы будем рассматривать существенную игру трех лиц, обозначаемую через Г, с нормировкой у = 1. Таким образом, Г ]± = 3, Г2 = = 3/2 (см. п. 46.12). Мы хотим найти решения этой игры Г для множества Е (е0) 3). В приложениях, упоминавшихся выше, нам была нужна только

*) Относительно некоторых других качественно новых явлений, которые проявляются только для шести игроков, см. п. 53.2.

2) Это единственная задача абсолютно общего характера, для которой мы имеем в настоящее время полное решение!

3) Мы пишем Г и е0, хотя использовались соответственно обозначения А и ф,

а также Н и г? (= -ф).

Конечно, рассматриваемая теперь игра Г не имеет ничего общего с разложимой игрой Г, рассматривавшейся ранее.



нормальная зона -3 :g е0 :g 3/2, но теперь мы предпочитаем рассматривать все значения е0.

Это исследование будет проводиться графическим методом, который мы использовали при изложении старой теории в § 32. Поэтому мы будем следовать схеме § 32 в нескольких отнощениях.

Характеристическая функция здесь та же самая что и в п. 32.1.1:

С О (О

-1 1

(47:1) \(S)=\ если S имеет элементов

{ о U

Обобщенный дележ есть вектор

а = {а4, а2, а3},

три компоненты которого должны удовлетворять условиям (44:13) из п. 44.7.2, которые теперь принимают вид

(47:2) оц-1, а2 -1, а3 - 1.

Кроме того, согласно (44:11*) из п. 44.7.2 в Е (е0) избыток должен быть равен е0, и это условие теперь принимает вид

(47:3) а4 + а2 + а3 = е0 *).

47.2.2. Мы хотим представить графически эти дележи с помощью приема, описанного в п. 32.1.2. Но этот прием позволяет изобразить только такие тройки чисел, сумма которых равна нулю. Поэтому положим

(47:4) асц -ef, а2-а2---, а* = а3--.

Тогда условия (47:2) и (47:3) принимают вид

(47:2*) a-(l+), a2-(l+-), a3-(l+),

(47:3*) o + o + aO2).

Теперь становится возможным представление п. 32.1.2, причем нам нужно только заменить а4, а2, а3 на а1, а2, а3. С учетом этой оговорки можно использовать рис. 31.

По этим причинам для каждого вектора a = {a4, a2, a3} из E (e0) мы образуем не только его компоненты в первоначальном смысле, но также его квазикомпоненты а1, а2, а3, определенные равенствами (47:4), и с помощью этих квазикомпонент мы используем графическое представление рис. 31.

Итак, это представление на плоскости выражает в точности условие (46:3 *). Остальные условия (47:2 *) поэтому эквивалентны ограничению, на-

ложенному на точку а в плоскости на рис. 31. Это ограничение получается

х) Читатель должен сравнить условия (47:1) - (47:3) с условиями (32:1) - (32:3) из п. 32.1.1; единственное отличие состоит здесь в равенстве (47:3).

2) При сравнении этих условий (47:2*) и (47:3*) с условиями (32:2) и (32:3) из п. 32.1.1 видно, что условия (47:3*) и (32:3) совпадают, а условия (47:2*) и (32:2) отличаются только коэффициентом пропорциональности 1 + .



таким же образом, что и аналогичное ограничение в п. 32.1.2: точка а должна лежать внутри треугольника, образованного тремя прямыми

„1 (1 + а2 = - (1 + Ч), а3 = - (1 + Это есть в точности

-(! + =§), а» =-(1+2).

ситуация рис. 32, за исключением наличия множителя пропорциональности 1 -f- е-~ и она изображена на рис. 49. Заштрихованная область, которая будет называться фундаментальным треугольником представляет дележи а, удовлетворяющие условиям (47 : 2*) (47 : 3*), т. е. принадлежащие Е (е0).

47.2.3. В этом графическом представлении мы выразим отношение доминирования. Так как мы используем новую теорию, рассуждения

п. 31.1 относительно множества S

для отношения доминирования а е- р, т. е. рассуждения относительно того, является оно заведомо необходимым или заведомо не необходимым, больше неприменимы. Поэтому мы изучим множество S заново.

По-прежнему справедливо, что S не может состоять из одного или из трех элементов. В первом случае S = (£), так что согласно п. 30.1.1, ccf v ((*)) = -1, at > pf и, следовательно, Pj < -1, что противоречит неравенству Pi -1 ввиду (47:2). Во втором случае S = (1, 2.J3), так что согласно п. 30.1.1 а4 > Pi, <*2 > Рг> > Рз и, следовательно, «i + «2 + «з > Pi + Р2 + Рз> что противоречит равенству а4 + а2 + + а3 = Pi+ Р2 + Рз = е0 ввиду (47.3).

Таким образом, множество S должно состоять из двух элементов, S = (£, ;) 2). Тогда доминирование означает, что аг -f <х7- 5g v ((£, 7)) = 1 и«г> Рп «у > ру, т.е.

и а*>р\ aJ>p3. Ввиду (47:3*) первое условие моягао записать в виде Таким образом, мы установили следующее: отношение доминирования

р

Рис. 49.

х) См. сноску 2 на стр. 417. Здесь мы, конечно, предполагаем, что 1 + -0,

Если 1 + < 0, т. е. е0 < - 3 = - Г 14, то условия (47.2*), (47:3*) несовместны,

и действительно, как мы знаем из (45:А), в этом случае множество Е (е0) пусто. 2) f, /, к есть перестановка 1, 2, 3.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [ 135 ] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]