трех лиц, для которых у = 1. Тогда А 4 = [Н 4 = 3f f А 2 = Н г = 3/г (см. п. 46.10.3). Следовательно при - 3/2 ф 3/2 как ф, так игр = -ф заключены между -3 и 3/2. Как будет показано в § 47, отсюда следует существование решений V/ и W# соответственно игр А и Н для Е (ф) и 2? (*ф). Композиция U/ этих решений являeтcя тогда решением составной игры Г для данного ф. Так как ф ограничено только неравенствами - 3/2 Ф g 3/2, мы можем выбрать ф отличным от нуля. Таким образом, мы доказали следующее утверждение:
(46:0) п = 6 есть наименьшее число игроков, при котором в соответствующей игре может наблюдаться характерный новый элемент теории составных игр (т. е. возможность равенства е0 = О при ф = - я) Ф 0, см. рассуждения, приведенные выше).
Мы неоднократно выражали уверенность в том, что возрастание числа игроков вызывает не только количественное усложнение явлений, наблюдаемых для меньшего числа игроков, но может вызвать также и качественно новые явления. В частности такие явления наблюдались, когда число игроков последовательно возрастало до 2, 3, 4. Поэтому представляет интерес тот факт, что то же происходит, когда число игроков достигает шести *).
§ 47. СУЩЕСТВЕННЫЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ В НОВОЙ ТЕОРИИ
47.1. Необходимость рассмотрения этого вопроса
47.1. Нам остается рассмотреть решения существенных игр трех лиц в соответствии с новой теорией.
Это необходимо, так как мы уже использовали в пп. 46.10 и 46.12 существование этих решений, но кроме того, их рассмотрение интересно также и само по себе. Ввиду той интерпретации, которую мы были вынуждены придать этим решениям в п. 46.12, а также ввиду их центральной роли в теории разложения 2) желательно детально исследовать их структуру. Кроме того, знакомство с этими деталями приведет к другим интерпретациям, имеющим некоторое значение (см. пп. 47.8 и 47.9). Наконец, мы обнаружим, что принципы, использованные для нахождения рассматриваемых решений, имеют более широкое применение (см. пп. 60.3.2, 60.3.3).
47.2. Предварительные замечания
47.2.1. Мы будем рассматривать существенную игру трех лиц, обозначаемую через Г, с нормировкой у = 1. Таким образом, Г ]± = 3, Г2 = = 3/2 (см. п. 46.12). Мы хотим найти решения этой игры Г для множества Е (е0) 3). В приложениях, упоминавшихся выше, нам была нужна только
*) Относительно некоторых других качественно новых явлений, которые проявляются только для шести игроков, см. п. 53.2.
2) Это единственная задача абсолютно общего характера, для которой мы имеем в настоящее время полное решение!
3) Мы пишем Г и е0, хотя использовались соответственно обозначения А и ф,
а также Н и г? (= -ф).
Конечно, рассматриваемая теперь игра Г не имеет ничего общего с разложимой игрой Г, рассматривавшейся ранее.
нормальная зона -3 :g е0 :g 3/2, но теперь мы предпочитаем рассматривать все значения е0.
Это исследование будет проводиться графическим методом, который мы использовали при изложении старой теории в § 32. Поэтому мы будем следовать схеме § 32 в нескольких отнощениях.
Характеристическая функция здесь та же самая что и в п. 32.1.1:
С О (О
-1 1
(47:1) \(S)=\ если S имеет элементов
{ о U
Обобщенный дележ есть вектор
а = {а4, а2, а3},
три компоненты которого должны удовлетворять условиям (44:13) из п. 44.7.2, которые теперь принимают вид
(47:2) оц-1, а2 -1, а3 - 1.
Кроме того, согласно (44:11*) из п. 44.7.2 в Е (е0) избыток должен быть равен е0, и это условие теперь принимает вид
(47:3) а4 + а2 + а3 = е0 *).
47.2.2. Мы хотим представить графически эти дележи с помощью приема, описанного в п. 32.1.2. Но этот прием позволяет изобразить только такие тройки чисел, сумма которых равна нулю. Поэтому положим
(47:4) асц -ef, а2-а2---, а* = а3--.
Тогда условия (47:2) и (47:3) принимают вид
(47:2*) a-(l+), a2-(l+-), a3-(l+),
(47:3*) o + o + aO2).
Теперь становится возможным представление п. 32.1.2, причем нам нужно только заменить а4, а2, а3 на а1, а2, а3. С учетом этой оговорки можно использовать рис. 31.
По этим причинам для каждого вектора a = {a4, a2, a3} из E (e0) мы образуем не только его компоненты в первоначальном смысле, но также его квазикомпоненты а1, а2, а3, определенные равенствами (47:4), и с помощью этих квазикомпонент мы используем графическое представление рис. 31.
Итак, это представление на плоскости выражает в точности условие (46:3 *). Остальные условия (47:2 *) поэтому эквивалентны ограничению, на-
ложенному на точку а в плоскости на рис. 31. Это ограничение получается
х) Читатель должен сравнить условия (47:1) - (47:3) с условиями (32:1) - (32:3) из п. 32.1.1; единственное отличие состоит здесь в равенстве (47:3).
2) При сравнении этих условий (47:2*) и (47:3*) с условиями (32:2) и (32:3) из п. 32.1.1 видно, что условия (47:3*) и (32:3) совпадают, а условия (47:2*) и (32:2) отличаются только коэффициентом пропорциональности 1 + .
таким же образом, что и аналогичное ограничение в п. 32.1.2: точка а должна лежать внутри треугольника, образованного тремя прямыми
„1 (1 + а2 = - (1 + Ч), а3 = - (1 + Это есть в точности
-(! + =§), а» =-(1+2).
ситуация рис. 32, за исключением наличия множителя пропорциональности 1 -f- е-~ и она изображена на рис. 49. Заштрихованная область, которая будет называться фундаментальным треугольником представляет дележи а, удовлетворяющие условиям (47 : 2*) (47 : 3*), т. е. принадлежащие Е (е0).
47.2.3. В этом графическом представлении мы выразим отношение доминирования. Так как мы используем новую теорию, рассуждения
п. 31.1 относительно множества S
для отношения доминирования а е- р, т. е. рассуждения относительно того, является оно заведомо необходимым или заведомо не необходимым, больше неприменимы. Поэтому мы изучим множество S заново.
По-прежнему справедливо, что S не может состоять из одного или из трех элементов. В первом случае S = (£), так что согласно п. 30.1.1, ccf v ((*)) = -1, at > pf и, следовательно, Pj < -1, что противоречит неравенству Pi -1 ввиду (47:2). Во втором случае S = (1, 2.J3), так что согласно п. 30.1.1 а4 > Pi, <*2 > Рг> > Рз и, следовательно, «i + «2 + «з > Pi + Р2 + Рз> что противоречит равенству а4 + а2 + + а3 = Pi+ Р2 + Рз = е0 ввиду (47.3).
Таким образом, множество S должно состоять из двух элементов, S = (£, ;) 2). Тогда доминирование означает, что аг -f <х7- 5g v ((£, 7)) = 1 и«г> Рп «у > ру, т.е.
и а*>р\ aJ>p3. Ввиду (47:3*) первое условие моягао записать в виде Таким образом, мы установили следующее: отношение доминирования
р
Рис. 49.
х) См. сноску 2 на стр. 417. Здесь мы, конечно, предполагаем, что 1 + -0,
Если 1 + < 0, т. е. е0 < - 3 = - Г 14, то условия (47.2*), (47:3*) несовместны,
и действительно, как мы знаем из (45:А), в этом случае множество Е (е0) пусто. 2) f, /, к есть перестановка 1, 2, 3.