назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [ 133 ] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


133

В-третьих, наше первое замечание утверждает, что нормальное поведение (т. е. такое, когда положение эксцесса соответствует случаю (46:1 :Ь)) сохраняется при переходе от Г к А и Н. Замечательно, что, вообще говоря, это свойство наследования не имеет места для нулевого эксцесса, т. е. что из е0 = 01), вообще говоря, не следует, чтофО, = 0, именно, в случае нулевого эксцесса наша новая теория (из п. 44.7) сводится к более старой форме (из п. 42.4.1, которая, как мы знаем, эквивалентна исходной форме п. 30.1.1). Мы подробнее исследуем изменяемость ф и гр в случае е0 -- 0 в последнем (шестом) замечании. Перед этим, однако, мы обратим внимание на связь между новой теорией и ее более старой формой.

В-четвертых, теперь ясно, что необходимо рассматривать новую, более широкую форму теории, даже если сначала мы интересовались лишь исходной формой. Действительно, для того чтобы найти решения разложимой игры Г в первоначальном смысле (для е0 =0), нам нужны решения ее компонент А и Н в более широком, новом смысле (для ф игр), которые могут быть отличны от нуля).

Это придает замечаниям п. 44.6.2 более точный смысл: теперь особенно ясно, сколь необходимым становится переход от старой теории к новой, когда игра (А или Н) рассматривается как неизолированная. Точная формулировка этого замечания будет дана в п. 46.10.

46.8.2. В-пятых, теперь мы можем объяснить окончательные высказывания об утверждениях (44:D) из п. 44.3.2 и (44:D:a), (44:D:b) из п. 44.3.3. (46:1:Ь) показывает, что (44:D) верно в случае (46:1:Ь), если мы отказываемся от старой теории в пользу новой; (46:Г.с) показывает, что (44:D) неверно в случае (46:1:с) даже при таком условии. Таким образом, желание обеспечить справедливость правдоподобного утверждения (44:D) делает обоснованным как переход к новой теории, так и ограничение случаем (46:1:Ь) - нормальным случаем.

Если мы настаиваем на интерпретации (44:D), (44:D:a), (44:D:b) в рамках старой теории, то (44:D), (44:D:a) неверны 2), а условное утверждение (44:D:b) остается истинным3).

46.8.3. В-шестых, мы видели, что из равенства е0 = 0, вообще говоря, не следует, что ф = 0, гр= 0. Что означает это выражение «вообще говоря»?

Числа ф и гр подчинены условиям (2) - (4) случая (46:1:Ь). Так как е0 - 0, (4) означает, что гр = -ф, и дает нам возможность выразить оставшиеся условия (2) и (3) только через ф. Эти условия принимают вид

Применим теперь к А и Н утверждение (45:Е). Тогда мы увидим следующее.

Если обе игры А и Н существенны, то нижние границы неравенств (46:35) меньше нуля, а верхние границы больше нуля, так что действительно ф может быть отлично от нуля. Если же одна из игр А или Н несущественна, то из (46:35) следует, что ф = 0 и, следовательно, гр = 0.

2) Конечно, е0 = 0 соответствует нормальному случаю (46:I:b): - Г 14 0

!) Так как мы можем иметь е0 = 0, ф 0, гр 0. Тогда требование разложимости

(46:35)

АфД:



Сформулируем это утверждение в явном виде.

(46:J) Из равенства е0 = 0 следует ср = 0, яр = 0, т. е. (44:D) выпол-

нено даже в смысле старой теории, тогда и только тогда, когда либо А, либо Н несущественна.

46.9. «Болваны»

46.9.1. Мы можем теперь рассмотреть более узкий тип разложения, описанный в замечании на стр. 353,- добавление к игре «болванов».

Рассмотрим игру А с игроками 1, . . ., к г). «Расширим» ее добавлением к ней совокупности «болванов» К, т. е. составим композицию игры А и несущественной игры Н с игроками 1", . . ., Г. Тогда составная игра есть Г.

Применим ко всем этим играм старую теорию. Согласно (31:1) из п. 31.2.1, в несущественной игре Н имеется ровно один дележ - скажем, уК* = {yfi, . . ., у/Я} 2). Согласно (31:0) или (31 :Р) из п. 31.2.3, Н

->

имеет единственное решение - одноэлементное множество (у%).

Тогда, согласно (46:J) и (46:1:Ь), общее решение Г получается композицией общего решения А с общим решением Н, а последнее единственно!

Переформулируем сказанное.

«Расширим» каждый дележ 3j = {V , . . ., $k} в множестве /

->

(т. е. в игре А) до дележа aj в множестве / (т. е. в игре Г), составляя его

композицию с 7к°,т. е., добавляя к нему компоненты yfi, . . ., yfi : ос/ = - (Pi,, • . Рл, 7А . . • , 7г}. Тогда этот процесс «расширения», т. е. композиция, даст из общего решения игры А общее решение игры Г.

Этот результат коротко можно сформулировать, сказав, что «расширение» игры добавлением «болванов» не влияет существенно на ее решение,- необходимо только к каждому дележу добавить компоненты, соответствующие «болванам», причем значения этих компонент являются очевидными: они представляют собой то количество, которое каждый «болван» мог бы получить в несущественной игре Н, описывающей их взаимоотношения друг с другом.

46.9.2. Мы заключим этот пункт замечанием о том, что (46:J) утверждает, что старая теория не имеет простых свойств новой в том и только в том случае, когда композиция не является описанным выше частным случаем, и наследование свойств нарушается, как указывалось в третьем замечании п. 46.8.1.

46.10. Погружение игры

46.10.1. В четвертом замечании п. 46.8.1 мы снова подтвердили указания п. 44.6.2, согласно которым переход от старой теории к новой становится необходимым, если игра рассматривается как неизолированная. Теперь мы сформулируем эту идею в ее окончательном и точном выражении.

Удобнее на этот раз обозначить рассматриваемую игру через А, а множество ее игроков через /. Следует иметь в виду, что эта игра А совершенно произвольна - никакой разложимости А не предполагается.

х) Теперь удобно для игроков снова ввести обозначения п. 41.3.1. 2) Вспомним обозначения и. 44.2.



Мы начнем с введения понятий, необходимых для того, чтобы рассматривать данную игру А как неизолированное явление. Это7достигается погружением ее без изменений в более широкую систему, которую удобно рассматривать как другую игру Г. В соответствии с этим будем говорить, что игра А погружена в Г или что игра Г есть расширение А, если Г есть композиция А с другой игрой Н *). Другими словами, А погружена во все те игры, для которых она является компонентой 2).

46.10.2. Исследуем теперь решения А, рассматривая А как неизолированное явление. В свете сказанного выше, это сводится к перечислению всех решений всех расширений Г игры А и интерпретации их относительно А. Последним действием должно быть взятие /-компоненты в смысле п. 44.7.4. Из пятого замечания п. 46.8.2 мы знаем, что это возможно, если только мы не рассматриваем решений, не принадлежащих нормальной зоне (Ь).

Могут быть сомнения относительно того, следует ли брать решения Г в смысле старой или в смысле новой теории. Первое может показаться более оправданным с точки зрения п. 44.6.2: для объяснения внешних влияний на игру, вызванных переходом от А к Н, больше не требуется выхода за пределы старой теории 3). Оказывается, однако, что нам вовсе не нужно решать этот вопрос, потому что результат для А будет один и тот же, независимо от того, какую теорию мы используем для Г. Но если мы используем для Г новую теорию, то мы должны ограничиться случаем (46:1:Ь), как это указывалось выше.

Таким образом, окончательно вопрос ставится в следующей форме. (46 :К) Рассмотрим все расширения Г игры А и все решения этих

расширений Г:

(a) в смысле старой теории, т. е. для Е (0);

(b) в смысле новой теории в нормальной зоне, т. е. для любого Е (е0) случая (46:1:Ь).

Каковы будут /-компоненты этих решений?

46.10.3. Ответ очень прост:

(46:L) /-компоненты решений игры Г, отвечающие на вопрос (46:К), суть в точности следующие множества: это все решения игры А в нормальной зоне, т. е. для любого множества Е (ф) в случае (46:1:Ь). Это справедливо как для (а), так и для (Ь) (46:К).

Доказательство. е0 = 0 относится к случаю (46:1:Ь) (см. сноску 1 на стр. 410); поэтому случай (а) является более узким, чем (Ь). В связи с этим нам необходимо только показать, что все множества, полученные из (Ь), содержатся среди множеств, описанных выше, и что все эти множества также можно получить с помощью (а).

Первое утверждение представляет собой лишь утверждение о наследственном характере нормальной зоны (Ь).

г) Игра Н и множество ее игроков К совершенно произвольны, за исключением того, что множества К и / не должны пересекаться.

2) Так как компонента компоненты есть сама компонента (вспомним соответствующие определения, в частности (43:D) из п. 43.3.1), расширение расширения снова есть расширение. Другими словами, расширение есть транзитивное отношение. Это освобождает нас от рассмотрения каких-либо непрямых связей, основанных на этом отношении.

3) Кроме того, транзитивность, указанная в предыдущей сноске, показывает, что любое дальнейшее расширение Г может рассматриваться как непосредственное расширение А.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [ 133 ] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]