Если
(46:I:c) (1) е0>Г2,
то игра Г не имеет совпадающих решений Uj для Е (е0) и Uj для F(eQ). Этими решениями U7 и U/ являются в точности те множества, которые получаются следующим образом: возьмем два таких числа ср и яр, для которых
(2) Ф>А2,
(3) >Н2 и которые связаны равенствами
(4) е0-Г2 = ф - А2 ,--H2.
Выберем любые два решения Vj и WK соответственно игр А и Н для #(ф) и£(я)). Тогда Uj есть объединение следующих множеств: композиция Vj и множества всех исключенных дележей р (в К), для которых е ф) = Н 2; композиция множества всех исключенных дележей а (в /), для которых £(а) = Д2, и компози-ция множества всех исключенных дележей а (в /), для которых е(а)~ф, и множества всех исключенных дележей Р (в К), для которых е(3)=яр, при выборе всевозможных пар ф, яр, где
(5) Д2<Ф<ф, H2<ip<
(6) фН-яр = е0-
Uj получается таким же образом, но с заменой условия (6) условием
(7) Ф + ярео.
Доказательство. Утверждение (46:Г.а) совпадает с (45:0:а). Утверждение (46:1:Ь) является переформулировкой случая (а) из (46:Н), с точностью до следующих модификаций.
Во-первых, отождествление решений игр Г, А и Н для множества Е ЩР. Это отождествление оправдано применением (45:0:Ь) к Г, А, Н, которое возможно ввиду (1), (2) и (3) утверждения (46:1:Ь).
Во-вторых, способ, которым мы получили Uj = Uj ИЗ Vj = Vj WK = Wjf, отличается от способа, описанного в (46:Н), тем, что мы опустили условие (46:17). Это оправдано замечанием, состоящим в том, что (46:17) выполняется автоматически:
Vj Vjc= Е (ф) и WJC = WX <= Е (яр);
следовательно, для а 6 Vj и р £ WK всегда е (а) = ф, е (Р) = яр и ввиду
(4)]должно быть е (а) + е (р) = е0.
Утверждение (46:1 :с) является переформулировкой случая (Ь) из (46:Н), с точностью до следующей модификации.
Мы рассматриваем решения Г как для множества Е, так и для множества F (а не только для множества F, как в (46:Н)) и используем решения игр А и Н только для множества Е (а не для F, как в (46:Н)). Способ, с помощью которого решения Uj и Uj игры Г образуются соответственно из решений Vj игры А и WK игры Н, соответственным образом отличается от способа, описанного в (46:Н).
Для того чтобы устранить эти различия, нужно поступить следующим образом: применим к играм Г, А и Н (45:1) и (45:0:с), что возможно ввиду (1), (2) и (3) утверждения (46:1:с). Затем подставим в (46:Н) определяющее вместо определяемого. Если произвести эти действия над (46:Н) (в рассматриваемом случае (46:Г.с)), то получится в точности приведенная выше формулировка х).
46.7. Графическое представление части результатов
46.7. Результаты (46:1) могут показаться сложными, но в действительности они представляют собой лишь точное выражение нескольких, простых качественных принципов. Причина, по которой необходимо было пройти через сложности предыдущего математического вывода, состояла, конечно, в том, что эти принципы не все очевидны, и это был способ их
обнаружить и доказать. С другой стороны, наш результат можно проиллюстрировать простым графическим представлением.
Мы начнем с более формального замечания.
Рассмотрение трех случаев (46:1:а) - (46:1:с) дает возможность обнаружить следующее: в то время как о случае (46:1:а) ничего больше сказать нельзя, два других случая: (46:1 :Ь), (46:1:с) -имеют некоторые общие черты. Действительно, в обоих случаях требуемые решения U/ и U/ игры Г получаются с помощью двух чисел ф игр и некоторых соответствующих решений Vj и Wk игр А и Н. Количественными элементами представления решений Uj и Uj являются числа ф и гр. Как указывалось в сноске 2 на стр. 399, они представляют собой некоторое подобие распределения данного эксцесса е0 в I между J я К.
Числа ф и гр характеризуются в случаях (46:1:Ь) и (46:1:с) соответствующими им условиями (2)-(4). Сравним эти условия в случае (46:1:Ь) и в случае (46:1:с).
Эти условия имеют следующую общую черту: согласно этим условиям эксцессы"ф и гр должны подпадать под тот же случай соответственно в играх Д и Н, который выполняется для эксцесса е0 в игре Г.
Однако они весьма существенно отличаются в следующем отношении: в случае (46:1:Ь) ф и гр связаны только одним уравнением, а в случае
г) Если читатель все это проделает, то он увидит, что это преобразование, хотя и несколько громоздко, абсолютно не представляет трудностей.
Рис. 48.
(46:1:с) они связаны двумя уравнениями 1). Конечно, случайно неравенства также могут выродиться в уравнения (см. (46: J) в п. 46.8.3), но общая ситуация является такой, как это описано.
Связи между е0 и <р, яр представлены графически на рис. 48.
На этом рисунке показана плоскость ф, яр и под ней ось е0.
На этой оси точки - Г ±, Г2 отмечают разбиение на три зоны, соответствующие случаям (46:1:а) - (46:Г.с). Область ф, яр, которая соответствует случаю (46:1:Ь), охватывает заштрихованный прямоугольник в плоскости ф, яр, обозначенный через (Ь); область ф, яр, соответствующая случаю (46:1:с), охватывает прямую в плоскости ф, яр, обозначенную через (с). Если дана произвольная точка ф, яр, то движение по штриховой линии приведет к соответствующему этой точке значению е0; так, точки 6, V дают соответственно точки а, а. Если дано произвольное значение е0} то обратное движение укажет все соответствующие этому значению точки ф, яр; так, точке а соответствует весь отрезок, содержащий 6, а точке а соответствует единственная точка Ъ 2).
46.8. Интерпретация: нормальная зона. Наследование различных свойств
46.8.1. Рис. 48 требует дальнейшего рассмотрения, которое приведет к более полному пониманию утверждения (46:1).
Во-первых, неоднократно указывалось (в последний раз в рассмотрении, следующем за утверждением (45:0)), что случаи (46:1:а) и (46:Г.с), т. е. соответственно случаи е0 < -- Г4 и е0 > - Г2, являются случаями «слишком малых» или «слишком больших» значений е0 в смысле п. 44.6.1; иначе говоря, случай (46:I:b), - Г4 е0 Г2, является в некотором смысле нормальной зоной. Наш рисунок показывает, что если эксцесс е0 игры Г находится в нормальной зоне, то соответствующие эксцессы ф и яр игр Д и Н также находятся в своих соответствующих нормальных зонах 3). Другими словами:
Нормальное поведение (положение эксцесса) согласно случаю (46:1:Ь) наследуется при переходе от Г к Д и Н.
Во-вторых, в случае (46:1:Ь), т. е. в нормальной зоне, числа ф и яр не определяются полностью эксцессом е0, как мы неоднократно видели раньше. Напротив, в случае (46:1:с) они определяются вполне. Этот факт на рисунке отражен тем, что в первом случае соответствующая область есть прямоугольник (Ь) в плоскости ф, яр, в то время как во втором соответствующая область есть только прямая (с).
Следует заметить, однако, что в двух крайних случаях (46:1:Ь), т. е. при е0 = - Т\и Г2, интервал возможных значений для ф, яр стягивается в точку 4). Таким образом, переход от переменных значений ф и яр случая (46:Г.Ь) к фиксированным значениям случая (46:1:с) является непрерывным.
х) В обоих случаях условия (2) и (3) являются неравенствами. Условие (4) означает одно уравнение в случае (46:1:Ь) и два уравнения в случае (46:1:с).
2) Мы предоставляем читателю простую проверку того факта, что эта геометрическая иллюстрация рис. 48 действительно выражает условия случаев (46:Г.Ь) и (46:Г.с).
3) То есть из - Г ! б?0 Г 2 следует, что - А 11 ф < j А ) 2, - н 11 яр < Н 2, см. (46:1:Ь).
4) Это один из случаев вырождения, упомянутых в конце п. 46.7.