Таким образом, как в (46:18), так и в (46:20) имеют место первые альтернативы, т. е. дележи а и р принадлежат соответственно YtT и WK. Так как у принадлежит F (е0),
е(а) + еф) = е(у)е0. ->
Следовательно, дележ у должен принадлежать Uj, что противоречит нашему первоначальному предположению.
46.5. Окончательный результат для F (е0)
46.5.1. Результат (46:G), несмотря на свою полноту, неудовлетворителен в следующем отношении: условия (46:16) и (46:17), на которых он основан, являются неявными. Заменим их поэтому эквивалентными, но более прозрачными условиями.
Для этого мы начнем с чисел ф и яр, которые мы будем предполагать заданными. Какие решения Yj и WK игр А и Н для F (ф) и F (яр) можем мы тогда использовать в смысле (46:G)?
Прежде всего, множества Vj и WK должны быть непустыми; применение к играм А и Н (вместо Г) утверждений (45:А) или (45:0) показывает, что это условие означает
(46:22) Ф-IAIi, -IHJi.
Рассмотрим теперь равенства (46:15). Применим к А и Н (вместо Г) утверждение (45:Р) из п. 45.6.1. Тогда (45:Р:а) гарантирует удовлетворение двух уравнений (46:15), содержащих максимизацию, а (45:Р:Ь) преобразует два уравнения (46:15), содержащих минимизацию, в уравнения
(46:23) ф = тт(ф, А2), яр = min (яр, Н2).
Определим поэтому ф, яр уравнениями (46:23). Преобразуем теперь условие (46:16):
(46:16) Ф + яр - ф-}-яр = б?0.
Первое уравнение (46:16) можно записать также в виде ф -ф = яр - яр, т. е., согласно (46:23), в виде
(46:24) max (0, <р - А 2) = max (0, яр - Н 2) *).
46.5.2. Теперь возможны два случая.
Случай (а). Обе части равенства (46:24) равны нулю. Тогда в каждой части равенства (46:24) под знаком максимума нулевой член не меньше другого члена, т. е. ф - А20, яр - Н20 или
(46:25) ФА2, ярН2.
Обратно, если выполнены неравенства (46:25), то равенство (46:24) превращается в равенство 0 = 0, т. е. оно выполнено автоматически. Теперь определение (46:23) принимает вид
(46:26) ф = ф> яр = яр,
и тогда полное условие (46:16) принимает вид1) (46:27) Ф + =ео.
Кроме того, (46:25) и (46:27) также дают (46:28) еоД!2 + Н2 = Г2.
Случай (Ь). Обе части равенства (46:24) отличны от нуля. Тогда в каждой части равенства (46:24) нулевой член меньше другого, т. е. Ф -А2>0, -Н2>0, или
(46:29) Ф>Д2, >Н22).
Обратно, если выполнены неравенства (46.29), то равенство (46:24) принимает вид ф -Д [2 = ip - Н2, т.е. оно выполняется не всегда. Мы можем выразить (46:24) в виде
(46:30) ф = А 2 + со, = Н 2 + со,
а тогда (46.29) утверждает просто, что (46:31) со>0.
Теперь определение (46:23) принимает вид (46:32) Ф = Д2, Ф = Н2,
и, таким образом, полное условие (46:16)3) переходит в равенство
I А 2+Н2 + со=0,
(46:33) е0 = Г2 + со.
Кроме того, (46:31) и (46:33) дают нам
(46:34) е0>Г2.
46.5.3. Итак мы имеем:
(46:Н) Условия (46:16), (46:17) из (46:G) сводятся к тому, что должен иметь место один из следующих случаев: Случай (а): (1) -rie0r2 вместе с неравенствами
(2) -А11=§ФД2,
(3) -HiPH,
и равенством
(4) Ф + ф = в0.
*) Для вывода равенства (46:24), на котором основано это рассуждение, мы использовали только первую часть условия (46:16).
3) Отметим важный факт, состоящий в том* что (46:25), (46:29) исчерпывают все возможности, т. е. что мы не можем иметь одновременно q> А 2 и if> >> Н 2 или Ф>А2 и ojT Н 2. Этот факт, конечно, обусловлен уравнением (46:24), которое гарантирует, что либо обе части обращаются в нуль, либо обе отличны от нуля. Смысл этого проявится в последующих леммах.
3) См. сноску 1 на этой стр.
Случай (Ь): (1) е0>Г2 вместе с неравенствами
(2) Ф>[Д2,
(3) >H2 и равенствами
(4) о-Г2 = ф-Д2 = ф-Н21).
Доказательство. Случай (а). Мы знаем, что е0 - [ Г 4 и ф -- А !, я]) - Остальные условия совпадают с условиями
(46:28), (46:25), (46:27), которые содержат полное описание этого случая.
Случай (Ь). Эти условия совпадают с условиями (46:34), (46:29), (46:30) (46:33), содержащими полное описание этого случая (после исключения со условие (46:31) переходит в (1) - (3)).
46.6. Окончательный результат для JE (е0)
46.6. Утверждения (46:G) и (46:Н) характеризуют решения игры Г для F (е0) полностью и в явном виде. Теперь очевидно также, что случаи (а) и (Ь) из (46:Н) совпадают с (45:0:Ь) и (45:0:с) из п. 45.6.1. Действительно, случаи (а) и (Ь) из (46:Н) различаются своими условиями (1), которые являются в точности условиями (45:0:Ь) и (45:0:с).
Объединим теперь результаты (46:G) и (46:Н) с результатами (45:1) и (45:0). Это дает нам исчерпывающую картину ситуации, использующую все наши сведения.
(46:1) Если
(46:I:a) (1) ! e0<-\T\i,
то единственным решением Г является пустое множество как для Е(е0), так и для F(e0). Если
(46:1:Ь) (1) -\Т\±е0\Т\2,
то игра Г имеет одни и те же решения Uj, как для Е (е0), так и для F (е0). Этими решениями Uj являются в точности те множества, которые получаются следующим образом: Выберем любые два числа ф и г) так, чтобы
(2) -ДФД2,
(3) 4Hi=gH2
(4) ф +1р = е0.
Выберем два любых решения Yj и WK соответственно игр А и Н для множеств Е (ф) и Е (гр). Тогда Uj есть композиция Vj и WK в смысле п. 44.7.4.
х) Читатель заметит, что, в то время как условия (1) - (3) в случаях (а) и (Ь) проявляют сильное сходство, последнее условие (4) существенно различно для случаев (а) и (Ь). Тем не менее все эти результаты были получены путем строгих рассуждений в рамках одной совместной теории!
В дальнейшем этот вопрос еще будет обсуждаться.