т. е.
/(6)>/(o) = i,
что противоречит определению ф.
Следовательно, должно быть выполнено равенство (46:F:a) и доказательство закончено.
-> -у
Доказательство (46:Е:а). Если а £ VJ? то а является /-компонентой некоторого дележа а 6 Uj. Следовательно, (см. сноску 1 на стр. 399) е (а) = f (a) ф, так что а принадлежит F (ф). Таким образом, Vj (ф).
Итак, нашей задачей является доказательство свойств (44:Е:а) и (44:Е:Ь) из п. 44.7.3.
Свойство (44:Е:а). Предположим, что для двух дележей а и р из Yj выполнено отношение а е- р. Тогда а, У являются, соответственно, /-компонентами некоторых дележей у и б из Uj. Но, очевидно, из а е- р еле-
-> ->
дует, что а е- б, а это невозможно.
-у -
Свойство (44:Е:Ь). Рассмотрим дележ а £ F (ф), не принадлежащий
V/. Тогда по определению е (a) r=g ф. Как и в доказательстве (46:F:a),
выберем дележ р 6 Uj, для которого g (Р) = if). Пусть р - -компонента
этого дележа р, так что р £ WK и е (р) = g (р) = Таким образом
е (а) + е (р)< ф + = (согласно (46:F:a)) Составим дележ у
(для /), который своими /-, /-компонентами имеет, соответственно, а
и р. Тогда е (у) = е (а) + в (p)fge0, т. е. у принадлежит F (е0). у не принадлежит Uj, потому что его /-компонента а не принадлежит Vj.
Следовательно, в (решении для F (е0)) Uj существует б е- у.
Пусть S - множество п. 30.1.1, относительно которого осуществляется доминирование б е-у. Согласно (46:В) мы можем предположить, что
5 <=: / или S <= К.
Предположим сначала, что S К. Так как у имеет ту же самую К-компоненту р, что и р, из отношения б е- у мы можем заключить, что
6 е- р. Но так как и б, и р принадлежат Uj, это невозможно.
-у -у
Следовательно, S /. Обозначим через 8, /-компоненту 6; так как б принадлежит Uj, б принадлежит V/. /-компонентой у является а. Следовательно, из отношения б е- у мы можем заключить, что б е- а.
-у -у
Таким образом, мы нашли в V/ требуемый дележ б е- а.
46.4. Продолжение
46.4.1. Утверждения (46:D) и (46:Е) выражают общее решение Uj игры Г через соответствующие решения Yj и WK игр А и Н.
Естественно поэтому попытаться обратить этот процесс, т. е. начать с Vj и WK и получить Uj.
(46:15)
Нужно помнить, однако, что множества Vj, WK из (46:D) не являются совершенно произвольными. Если мы снова рассмотрим определения (46:10) из п. 46.2.1, учитывая (46:D), то мы увидим, что их можно сформулировать также и следующим образом:
->
" шах е(а) =--ф,
min е (а) = ф,
-> - max ёф) = г),
mii\e ф) = гр.
Но (46:F) выражает зависимость между этими величинами ф, ф, гр, гр, которые определяются множествами Yj, WK и эксцессом е0.
46.4.2. Мы покажем, что эта зависимость является единственным ограничением, которое нужно наложить на Yj и Wx. Для этого мы начнем с двух произвольных непустых решений Yj и Wx соответственно игр А и Н (причем эти решения не обязательно должны быть получены из какого-либо решения U7 игры Г) и установим справедливость (46:G): (46:G) Пусть Yj - непустое решение игры А для F (ф), a WK - непустое решение игры Н для F (гр). Предположим, что ф и удовлетворяют приведенным выше условиям (46:15) и, кроме того, вместе с ф и гр из (46:15) удовлетворяют соотношениям
(46:16) ф + гр = ф + е0.
Для любых a £Vj и 3g W, для которых
(46:17) е(а) + еф)е0,
образуем дележ у (для /), который имеет а и 3 своими /- и К-
компонентами. Обозначим множество всех этих дележей у через U7. Множества U7, которые получаются таким способом, составляют в точности все решения игры Г для F (е0).
Доказательство. Все описанные множества Uj получаются следующим образом. Применим к множеству Uj (46:D); в результате мы получим соответствующие ему множества Yj и WK. Тогда все наши утверждения содержатся в (46:D) и (46:Е), (46:F), к которым присоединены равенства (46:15).
Все множества Uj, полученные таким способом, обладают требуемым свойством. Рассмотрим некоторое Uj, построенное с помощью Yj и WK, как это описывалось выше. Нам нужно доказать, что это множество JJj является решением игры Г для F (е0).
Для каждого у £ Uj неравенство (46:17) дает е(у) = е (а) + е ((3)
rg е0, так что у принадлежит F (е0). Таким образом, Uj F (е0).
Итак, наша задача состоит в доказательстве утверждений (44:Е:а), (44:Е:Ь) из п. 44.7.3.
Утверждение (44:Е:а). Предположим, что для двух дележей rj, 7 £ U/ имеет место отношение т] е- у. Пусть а и р - соответственно /- и iT-ком-поненты 7, a б и е - соответственно /-иif-компонентыг], из которых 7и т] получаются описанным выше способом. Пусть S - множество п. 30.1.1,
по которому происходит доминирование т] е- 7. Ввиду (46:В) мы можем
-> ->•
предполагать, что либо S /, либо S К. Но если S /, то из г) е- 7 следовало бы, что б е- а, а это невозможно, так как и б и а принадлежат Vj; а если S К, то из т] е- 7 следовало бы, что е е- р, что также невозможно, так как и е и Р принадлежат \¥я.
Утверждение (44:Е:Ь). Предположим противное, а именно, что в F (е0)
существует такой дележ 7, не принадлежащий Uj, что в Uj не существует т), для которого т] е- 7. Пусть а и р соответственно /- и if-компоненты 7.
Предположим сначала, что е (a) rg ср. Тогда а принадлежит (ф). Следовательно, либо а принадлежит Vj, либо существует такой дележ б б Vj, что б е- а. В последнем случае в WK выберем такой дележ ег для которого е (е) достигает своего минимального значения гз. Составим дележ т), у которого /- и iT-компонентами являются соответственно 8 и е. Так как б и е принадлежат соответственно Vj и WK и так как е (б) + + е (в) ф + if> = £(ъ дележ т] должен принадлежать Uj. Кроме того, так как б е- а, а б и а являются соответственно /-компонентами ц и 7, должно быть т] е- 7* Таким образом, существование т] противоречит нашему первоначальному предположению относительно 7. Следовательно,
мы доказали, что в рассматриваемом случае дележ а должен принадлежать Vj.
Другими словами:
-> ->
(46:18) Либо а принадлежит Vj, либо е(а)>ф.
Заметим, что в первом случае необходимо е(а)ф, а во втором
случае, конечно е (а) > ф ф. Следовательно,
(46:19) В любом случае е(а);>ф.
Перемена ролей J ж К дает возможность из (46:18) и (46:19) получить следующие утверждения:
->
(46:20) Либо Р принадлежит WK, либо е(р)>ф.
(46:21) В любом случае e(P)i).
Если теперь мы имеем вторую альтернативу (46:18), то вместе с
(46.21) это дает е (7) = е (а) + е (Р) > ф+ я) = е0, что невозможно, так
как 7 принадлежит F (е0). Точно так же невозможна вторая альтер-натива (46:20).