назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


13

3.5. Принципиальная структура аксиоматического рассмотрения численных полезностей

3.5.1. Неудача одного конкретного приема не исключает возможности достижения той же цели посредством другого приема. Наше основное утверждение состоит в том, что область полезности содержит некоторую» «естественную» операцию, суживающую систему преобразований в точности до такого предела, как это могло бы быть достигнуто при помощи другого приема. Этой операцией является комбинирование двух полезностей с двумя заданными альтернативными вероятностями а, 1 - а. (0<С(х<С1). как это было описано в п. 3.3.2. Этот процесс столь сходен с образованием центров тяжести, упомянутым в п. 3.4.3, что может оказаться выгодным использовать здесь ту же терминологию. Таким образом, для полезностей и и v мы имеем «естественное» отношение и> и (читается: и предпочтительнее г;) и «естественную» операцию аи + (1 - a) v (читается: центр тяжести и и v с весами а, 1 - а, или: комбинация и и г; с альтернативными вероятностями а, 1 - а). Если признать существование и воспроизводимую наблюдаемость этих понятий, то наш путь становится ясным - нужно найти соответствие между полезностями и числами, которое переводит отношение и > v и операцию аи + (1 - а) и для полезностей в синонимичные понятия для чисел.

Обозначим это соответствие через

и -> р = v (и),

где - полезность, a v (и) - число, которое наше соответствие ей сопоставляет. Наши требования заключаются в следующем:

(3:1:а) Из u>v следует v (u)>v (и),

(3:1 :Ь) v (аи + (l - a)v)= av (и) + (1 - a) v (v)г).

Если существуют два таких соответствия: (3:2:а) и->p = v(u),

(3:2:Ь) и->р = у(и),

то они устанавливают соответствие между числами (3:3) рр,

которое можно записать также в виде (3:4) v Р = Ф(Р).

Так как соответствия (3:2:а) и (3:2:Ь) удовлетворяют соотношениям? (3:1:а) и (3:1:Ь), соответствие (3:3), т. е. функция ф (р) в (3:4), должно сохранять Отношение2) р > а и операцию ар + (1 - а) °: (ср. сноску 1 на этой стр.). Это означает, что

(3:5:а) Из р>а следует ф(р)>ф(а),

(3:5:Ь) ф (ар+ (1 - а) а) = аф (р) + (1 - а) ф (а).

Следовательно, функция ф (р) должна быть линейной, т. е. (3:6) р = ф (р) = со0р + «1»

где о)0 и ©1 - фиксированные числа (постоянные), причем со0 > 0.

х) Отметим, что в каждом из этих случаев в левой части фигурируют «естественные» понятия для полезностей, а в правой - обычные понятия для чисел. 2) Эти отношения и операция теперь применяются к числам р и а!



Итак, мы видим, что если подобное численное представление полезностей *) вообще существует, то оно определяется с точностью до линейного преобразования2»3). Это значит, что полезность является числом с точностью до линейного преобразования.

Для того чтобы численное представление полезности в указанном смысле существовало, необходимо постулировать.определенные свойства отношения и > и и операции аи + (1 - a) v для полезностей. Выбор этих постулатов, или аксиом, и их последующий анализ приводит к задачам, представляющим определенный математический интерес. Для правильной ориентации читателя мы дадим сейчас лишь общую картину ситуации; полное рассмотрение вопроса можно найти в Приложении.

3.5.2. Выбор аксиом не является вполне "объективной задачей. Обычно мы ожидаем достижения некоторой определенной цели - скажем, выводимости некоторой конкретной теоремы или теорем из данной системы аксиом - и наша задача является точной и объективной только в этих пределах. Но помимо этого всегда имеются другие важные пожелания менее формального характера. Аксиомы не должны быть слишком многочисленными, их система должна быть максимально простой и прозрачной, и каждая аксиома должна иметь интуитивно ясный смысл, на основании которого можно непосредственно оценить ее]пригодность 4). В ситуации, подобной нашей, последнее требование является]особенно существенным, несмотря на свою неопределенность: мы хотим сделать интуитивное понятие поддающимся математическому изучению и увидеть с максимальной ясностью, каких предположений это требует.

Объективная часть нашей задачи ясна: из постулатов должно следовать существование соответствия (3:2: а), обладающего, как отмечалось в п. 3.5.1, свойствами (3 :1: а) и (3:1: Ь). Высказанные выше дальнейшие эвристические и даже эстетические пожелания не определяют единственного пути получения аксиоматической трактовки. Далее мы сформулируем некоторую систему аксиом, которая представляется достаточно удовлетворительной.

3.6. Аксиомы и их интерпретация

3.6.1. Наши аксиомы заключаются в следующем. Мы рассматриваем систему U величин 5) u, v, w, ... На U задано отношение и > v и для любого числа а (О < а < 1) определена операция

аи + (1 - a) v - w.

г) То есть соответствие (3:2:а), удовлетворяющее (3:1:а) и (3:1 :Ь).

2) То есть преобразования вида (3:6).

3) Вспомним физические примеры той же ситуации, рассмотренные в п. 3.4.4. Правда, сейчас наше рассмотрение является несколько более подробным. Мы не фиксируем абсолютного нуля и абсолютной единицы полезности!

4) Первый и последний принципы могут представлять, по крайней мере в определенных пределах, противоположные тенденции. Если мы сократим число аксиом, объединяя их в пределах технических возможностей, то мы можем утратить возможность различения различных интуитивных основ. Так, мы могли бы выразить требования (3:В) в п. 3.6.1 меньшим числом аксиом, но это затемнило бы последующий анализ в п. 3.6.2.

Соблюдение надлежащего равновесия является делом практического, а до некоторой степени и эстетического суждения.

5) Под ними, конечно, понимается система абстрактных полезностей, которые должны быть охарактеризованы нашими аксиомами. По поводу общей природы аксиоматического метода см. замечания и ссылки в последней части п. 10.1.1.



Эти понятия удовлетворяют следующим аксиомам:

(3:А) Отношение и > и является линейным упорядочением1) на U.

Поэтому мы пишем u<Cv, когда v>u. Тогда

(3:А:а) Л Для любых двух и, и имеет место одно и только одно из следующих трех отношений: u = v, u>v, u<Zu.

Из u>v, v>w следует u>w2). Упорядочение и комбинирование3). Из и<С.и следует и < сш + (1 - а) и. Ш u>v следует и > аи + (1 - а) v. Из u<Cw<tv следует существование такого а, что

аи + (1- a)v<iw. Из u>w>v следует существование такого ос, что аи-\- (1 - а) v> w.

Алгебраические правила комбинирования. аи-\- (l - a)v = (l - а) v-\-au\

а фи -f (1 - (3) и) -f (1 - a) v = уи + (1 - у) v, где у = а(3.

Можно показать, что из этих аксиом вытекает существование соответствия (3:2:а), обладающего свойствами (3:1:а) и (3:1:Ь), как это описывалось в п. 3.5.1. Следовательно, выводы п. 3.5.1 сохраняют силу: система U (т. е. в нашей интерпретации система абстрактных полезностей) представляет собой систему чисел с точностью до линейного преобразования.

Построение (3:2:а) на основе (3:1:а) и (3:1:Ь) при помощи аксиом (3:А) - (3:С) является чисто математической задачей, правда, несколько кропотливой, хотя она решается обычными путями и не доставляет особенных трудностей. (По этому поводу см. Приложение.)

Равным образом нам представляется излишним проводить здесь обычное логическое обсуждение этих аксиом 4). Однако мы скажем несколько слов об их интуитивном смысле, т. е. о подтверждении каждой из наших аксиом (3:А) - (3:С).

3.6.2. Дадим анализ наших постулатов.

(3:А:а*) Это утверждение о полноте системы индивидуальных предпочтений. Его обычно принимают при рассмотрении полезностей или предпочтений, например, в анализе кривых безразличия. Эти вопросы уже рассматривались в пп. 3.3.4 и 3.4.6.

(3: А:Ь*) Это «транзитивность» предпочтений - правдоподобное и общепринятое свойство.

!) Более систематическое математическое рассмотрение этого понятия приведено в п. 65.3.1. Эквивалентное понятие полноты системы предпочтений рассматривалось ранее в начале пп. 3.3.2 и 3.4.6.

2). Эти условия (3:А:а) и (3:А:Ь) соответствуют условиям (65:А:а) и (65:А:Ь) из п. 65.3.1.

3) Напомним, что фигурирующие здесь числа ос, 3, у всегда расположены между нулем и единицей.

4) Аналогичная ситуация рассматривается более подробно в § 10. Приводимые там аксиомы относятся к гораздо более важному для нас вопросу. Логическое обсуждение дано в п. 10.2. Некоторые общие замечания п. 10.3. применимы и к данному случаю.

(3:А:Ь)

(3:В)

(3:В:а)

(3:В:Ь)

(3:В:с)

(3:B:d)

(3:С)

(3:С:а)

(3:С:Ь)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]