назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [ 129 ] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


129

следовательно, ctj v (/) -f- е0- oij v (i) + е0 - v ((*))• Таким образом, каждое

Зфг Зфг

at принадлежит фиксированному интервалу

v(/) + e0-2 v ((/)),

~>

и, следовательно, эти дележи а образуют ограниченное множество.

Замкнутость U эквивалентна тому, что дополнение U является открытым множеством. Ввиду (30:5:с) из п. 30.1.1 дополнение U есть множество всех дележей р..

->

которые доминируются каким-нибудь а £ U. (Заметим, что здесь мы пользуемся темг что U есть решение игры!)

Для любого а через обозначим множество всех р -За. Тогда дополнение U а

->

есть объединение всех для а £ U.

Так как объединение любого (даже бесконечного) числа открытых множеств открыто, достаточно доказать, что открытым является каждое множество Z) y. Иначе

~> -> ->•

говоря, надо доказать следующее: если р -3 а, то для каждого дележа Р, достаточно

близкого к р,мы также имеем Р -з а. В определении отношения доминирования р -з сс

->

соотношениями (30:4:а) - (30:4:с) в п. 30.1.1 дележ Р входит только в условие (30:4:с). Но при достаточно малых изменениях Рг справедливость (30:4:с), очевидно, не нарушается, так как (30:4:с) есть соотношение строгого неравенства. ->

(Заметим, что к а то же самое рассуждение неприменимо, потому что а входит также в соотношение (30:4:Ь), которое при произвольно малых изменениях могло бы нарушиться, так как (30:4:Ь) есть соотношение типа «не больше». Но нам это свойство

необходимо для р, а не для а!)

Если даны два дележа а = {а1? . . ., ап] и (3 = {рь . . . , $п}г то существует единственный дележ у = {уь . . . , уп}, который имеет ту же /-компоненту, что и а, и ту же -компоненту, что и [3:

yt = at для i £ /,

(46:11)

yi = $i для i£K. 46.2.2. Докажем теперь, что

(46:С) Если дележи а и 3 принадлежат Uj, то дележ у, определенный

равенством (46:11), принадлежит U7 тогда и только тогда, когда

(46:С:а) f(d) + g$)eQ.

Кроме того,

(46:C:b) *(?)=/(«)+*$•

Доказательство. Формула (46:С:Ь). Согласно (46:3) из

п. 46.1.1, е{у) = / (у) + g (у); ясно также, что / (у) = / (a), g (у) == g (р).

Необходимость (46:С:а). Так как Ur F (е0), необходимо е (у) е0г а ввиду (46:С:Ь) это условие совпадает с (46:С:а).

Достаточность (46:С:а). Очевидно у, так же как аир, есть обобщенный

дележ, и (46:C:a), (46:С:Ь) гарантируют, что у принадлежит F (е0) г).



Предположим теперь, что у не принадлежит Uj. Тогда в Uj сущест-

вует б е- у. Согласно лемме (46:В) множество S из п. 30.1.1 для этого отношения доминирования можно выбрать так, что будет справедливо включение S / или S <z К. Теперь очевидно, что из 8 е- у следует, что если

-> -> -> -> ->->->

£ /, то 8 е- а, а если S Z, то 8 е- р. Так как 8, а, 3 принадлежат Uj, обе эти альтернативы невозможны.

Следовательно, дележ у должен принадлежать Uj, что и. утверждалось.

Мы переформулируем (46:С) в следующей, очевидно, эквивалентной форме:

(46:D) Пусть V/ - множество всех /-компонент, a WK - множество всех /-компонент решения Uj. Тогда Uj составляется из этих множеств Yj м WK следующим образом:

-У -У

Uj есть множество всех таких дележей у, /-компонента а!

которых принадлежит Vj, а if-компонента (У принадлежит WK и (46:12) e(a) + e$)e0i).

46.3. Продолжение

46.3. Вспоминая определение (44:В) разложимости Uj (относительно /, К) из п. 44.3.1, нетрудно видеть, что оно эквивалентно следующему.

Uj получается из Yj, WK из (46:D) по описанным там правилам, но f без условия (46:12).

Таким образом, условие (46:12) можно интерпретировать следующим образом: оно выражает, в какой именно мере Uj не является разложимым. Этот факт представляет некоторый интерес в свете того, что было сказано в п. 44.3.3 относительно утверждения (44:D:a).

Можно даже сделать один шаг дальше. Легко установить необходимость условия (46:12) в (46:D). (Это соответствует (46:С:а), т. е. первым двум очень простым шагам в доказательстве (46:С).) Следовательно, (46:D) выражает тот факт, что Uj не дальше от разложимости, чем это неизбежно.

Все это, вместе с утверждением (44:D:b) из п. 44.3.3, делает весьма правдоподобным предположение о том, что Yj и WK должны быть решениями игр А и Н. Однако, учитывая обобщенность всех понятий, которые мы теперь используем, необходимо решить, какие множества следует взять в качестве F (/0) и F (go), причем /0 - эксцесс, который мы предполагаем использовать в /, a g0 - избыток в К 2). Окажется, что этими эксцессами

являются величины ф, я) п. 46.2.1.

*) Заметим, что эти дележи а и р не совпадают с дележами аир леммы (46:С);

-> -у -у

они являются К- компонентами последних, а также дележа у. Числа е (а) и е (р)

-у ->

являются эксцессами дележей а, р, образованных в / и К. Но эти эксцессы равны,

соответственно, / (a), g (р), а также равны / (у), g (у)- (Все эти обозначения связаны с (46:С).)

2) Читатель заметит, что этот вопрос в некотором смысле аналогичен вопросу о распределении данного эксцесса е0 в I между J и К,



Действительно, мы можем доказать следующее: (46 :Е)

(46:Е:а) V/ есть решение игры Д для (ф),

(46:E:b) WK есть решение игры Н для F(ty).

Однако удобнее получить сначала другой результат: (46:F)

(46:F:a) 4> + ty = e0,

(46:F:b) Ф + =в0.

Заметим, что в утверждении (46:Е), как и в (46:F), части (а) и (Ь) получаются друг из друга взаимной заменой, соответственно, /, А, ф, ф на К, Я, я), г). Следовательно, в каждом случае достаточно доказать только одну из частей (а) или (Ь); мы выбираем часть (а).

Доказательство. (46:F:a). Выберем такой дележ а £ Ujf для которого / (а) достигает своего максимума ф. Так как необходимо е (a) е0 и так как по определению g (а) г), (46:3) п. 46.1.1 дает

(46:13) Ф + $е0.

Предположим теперь, что равенство (46:F:a) неверно. Тогда из (46:13) следовало бы, что

(46:14) Ф + $<е0.

-> -> -

Используем выбранный выше дележ а £ Uj, для которого / (а) - ф,

а также выберем 3 £ Uj, для которого g (3) достигает своего минимума я).

Тогда /(а) + g $) =ф е0 (ввиду (46:13) или (46:14)). Таким

образом, дележ 7 из утверждения (46:С) также принадлежит Uj. Снова (46:С) и (46:14) вместе дают

e(y)=f(a) + g$) = v + y<e0,

т. е. 2y*<v (Л +о- Положим теперь

-►

б = (6lt . .., 8п} = {yi + е, ..., уп + е},

выбирая 8 > 0 так, чтобы 2 $t = v СО + *о- Таким образом, б принад-

лежит F (е0).

Если бы дележ б не принадлежал Uj, то в Uj существовал бы дележ т\ е- б. Ввиду (45:J) т] е- 7, что невозможно, так как и т], и 7 принадлежат Uj. Следовательно, б принадлежит Uj. Тогда

2 Si-v(/)>2Yi-v(/)=2ai-v(/))

г£/ i£J

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [ 129 ] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]