следовательно, ctj v (/) -f- е0- oij v (i) + е0 - v ((*))• Таким образом, каждое
Зфг Зфг
at принадлежит фиксированному интервалу
v(/) + e0-2 v ((/)),
~>
и, следовательно, эти дележи а образуют ограниченное множество.
Замкнутость U эквивалентна тому, что дополнение U является открытым множеством. Ввиду (30:5:с) из п. 30.1.1 дополнение U есть множество всех дележей р..
->
которые доминируются каким-нибудь а £ U. (Заметим, что здесь мы пользуемся темг что U есть решение игры!)
Для любого а через обозначим множество всех р -За. Тогда дополнение U а
->
есть объединение всех для а £ U.
Так как объединение любого (даже бесконечного) числа открытых множеств открыто, достаточно доказать, что открытым является каждое множество Z) y. Иначе
~> -> ->•
говоря, надо доказать следующее: если р -3 а, то для каждого дележа Р, достаточно
близкого к р,мы также имеем Р -з а. В определении отношения доминирования р -з сс
->
соотношениями (30:4:а) - (30:4:с) в п. 30.1.1 дележ Р входит только в условие (30:4:с). Но при достаточно малых изменениях Рг справедливость (30:4:с), очевидно, не нарушается, так как (30:4:с) есть соотношение строгого неравенства. ->
(Заметим, что к а то же самое рассуждение неприменимо, потому что а входит также в соотношение (30:4:Ь), которое при произвольно малых изменениях могло бы нарушиться, так как (30:4:Ь) есть соотношение типа «не больше». Но нам это свойство
необходимо для р, а не для а!)
Если даны два дележа а = {а1? . . ., ап] и (3 = {рь . . . , $п}г то существует единственный дележ у = {уь . . . , уп}, который имеет ту же /-компоненту, что и а, и ту же -компоненту, что и [3:
yt = at для i £ /,
(46:11)
yi = $i для i£K. 46.2.2. Докажем теперь, что
(46:С) Если дележи а и 3 принадлежат Uj, то дележ у, определенный
равенством (46:11), принадлежит U7 тогда и только тогда, когда
(46:С:а) f(d) + g$)eQ.
Кроме того,
(46:C:b) *(?)=/(«)+*$•
Доказательство. Формула (46:С:Ь). Согласно (46:3) из
п. 46.1.1, е{у) = / (у) + g (у); ясно также, что / (у) = / (a), g (у) == g (р).
Необходимость (46:С:а). Так как Ur F (е0), необходимо е (у) е0г а ввиду (46:С:Ь) это условие совпадает с (46:С:а).
Достаточность (46:С:а). Очевидно у, так же как аир, есть обобщенный
дележ, и (46:C:a), (46:С:Ь) гарантируют, что у принадлежит F (е0) г).
Предположим теперь, что у не принадлежит Uj. Тогда в Uj сущест-
вует б е- у. Согласно лемме (46:В) множество S из п. 30.1.1 для этого отношения доминирования можно выбрать так, что будет справедливо включение S / или S <z К. Теперь очевидно, что из 8 е- у следует, что если
-> -> -> -> ->->->
£ /, то 8 е- а, а если S Z, то 8 е- р. Так как 8, а, 3 принадлежат Uj, обе эти альтернативы невозможны.
Следовательно, дележ у должен принадлежать Uj, что и. утверждалось.
Мы переформулируем (46:С) в следующей, очевидно, эквивалентной форме:
(46:D) Пусть V/ - множество всех /-компонент, a WK - множество всех /-компонент решения Uj. Тогда Uj составляется из этих множеств Yj м WK следующим образом:
-У -У
Uj есть множество всех таких дележей у, /-компонента а!
которых принадлежит Vj, а if-компонента (У принадлежит WK и (46:12) e(a) + e$)e0i).
46.3. Продолжение
46.3. Вспоминая определение (44:В) разложимости Uj (относительно /, К) из п. 44.3.1, нетрудно видеть, что оно эквивалентно следующему.
Uj получается из Yj, WK из (46:D) по описанным там правилам, но f без условия (46:12).
Таким образом, условие (46:12) можно интерпретировать следующим образом: оно выражает, в какой именно мере Uj не является разложимым. Этот факт представляет некоторый интерес в свете того, что было сказано в п. 44.3.3 относительно утверждения (44:D:a).
Можно даже сделать один шаг дальше. Легко установить необходимость условия (46:12) в (46:D). (Это соответствует (46:С:а), т. е. первым двум очень простым шагам в доказательстве (46:С).) Следовательно, (46:D) выражает тот факт, что Uj не дальше от разложимости, чем это неизбежно.
Все это, вместе с утверждением (44:D:b) из п. 44.3.3, делает весьма правдоподобным предположение о том, что Yj и WK должны быть решениями игр А и Н. Однако, учитывая обобщенность всех понятий, которые мы теперь используем, необходимо решить, какие множества следует взять в качестве F (/0) и F (go), причем /0 - эксцесс, который мы предполагаем использовать в /, a g0 - избыток в К 2). Окажется, что этими эксцессами
являются величины ф, я) п. 46.2.1.
*) Заметим, что эти дележи а и р не совпадают с дележами аир леммы (46:С);
-> -у -у
они являются К- компонентами последних, а также дележа у. Числа е (а) и е (р)
-у ->
являются эксцессами дележей а, р, образованных в / и К. Но эти эксцессы равны,
соответственно, / (a), g (р), а также равны / (у), g (у)- (Все эти обозначения связаны с (46:С).)
2) Читатель заметит, что этот вопрос в некотором смысле аналогичен вопросу о распределении данного эксцесса е0 в I между J и К,
Действительно, мы можем доказать следующее: (46 :Е)
(46:Е:а) V/ есть решение игры Д для (ф),
(46:E:b) WK есть решение игры Н для F(ty).
Однако удобнее получить сначала другой результат: (46:F)
(46:F:a) 4> + ty = e0,
(46:F:b) Ф + =в0.
Заметим, что в утверждении (46:Е), как и в (46:F), части (а) и (Ь) получаются друг из друга взаимной заменой, соответственно, /, А, ф, ф на К, Я, я), г). Следовательно, в каждом случае достаточно доказать только одну из частей (а) или (Ь); мы выбираем часть (а).
Доказательство. (46:F:a). Выберем такой дележ а £ Ujf для которого / (а) достигает своего максимума ф. Так как необходимо е (a) е0 и так как по определению g (а) г), (46:3) п. 46.1.1 дает
(46:13) Ф + $е0.
Предположим теперь, что равенство (46:F:a) неверно. Тогда из (46:13) следовало бы, что
(46:14) Ф + $<е0.
-> -> -
Используем выбранный выше дележ а £ Uj, для которого / (а) - ф,
а также выберем 3 £ Uj, для которого g (3) достигает своего минимума я).
Тогда /(а) + g $) =ф е0 (ввиду (46:13) или (46:14)). Таким
образом, дележ 7 из утверждения (46:С) также принадлежит Uj. Снова (46:С) и (46:14) вместе дают
e(y)=f(a) + g$) = v + y<e0,
т. е. 2y*<v (Л +о- Положим теперь
-►
б = (6lt . .., 8п} = {yi + е, ..., уп + е},
выбирая 8 > 0 так, чтобы 2 $t = v СО + *о- Таким образом, б принад-
лежит F (е0).
Если бы дележ б не принадлежал Uj, то в Uj существовал бы дележ т\ е- б. Ввиду (45:J) т] е- 7, что невозможно, так как и т], и 7 принадлежат Uj. Следовательно, б принадлежит Uj. Тогда
2 Si-v(/)>2Yi-v(/)=2ai-v(/))
г£/ i£J