г) До сих пор не было необходимости выражать явно зависимость от а эксцесса е дележа а. Теперь мы делаем это для е, а также для / и g.
§ 46. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ РЕШЕНИЙ В РАЗЛОЖИМОЙ ИГРЕ 46.1. Элементарные свойства разложений
46.1.1. Вернемся теперь к разложению игры Г. Пусть игра Г разложима относительно множеств / и К = I -- J, причем А и Я являются ее "-компонентами.
Пусть дан любой обобщенный дележ а = {аи . . ., ап} для I; обращу ->
-зуем его J-, .йГ-компоненты 3, 7 = at для / и yt = at для i £ К) и их эксцессы:
эксцесс а в /: е=е (а)= 2j ai~~У(Л
(46:1) -{ эксцесс Р в /: / = / (а) = 2 ai - v()»
эксцесс 7 в К: g = g(a) = 2± а*- v(iT)х).
Так как (согласно (42.6.Ь) из п. 42.3.2 или же, равным образом, {41.6) из п. 41.3.2 при S = J и Т = К)
(46:2) v(/) + v(£) = v(7),
должно быть
(46:3) e = f + g. (46: А) Имеем
(46:А:а) Г 4 = А 4 +1 Н 4,
(46:А:Ь) Га = Да + Н[а.
(46:А:с) Игра Г несущественна тогда и только тогда, когда несущественны обе игры А и Н.
Доказательство. Утверждение (46:А:а). Применим последовательно к играм Г, А, Н определение (45:2) из п. 45.1:
(46:4) ri = v(7)-Sv((0),
(46:5) At = v(/)-Sv((0),
(46:6) H, = v(A:)-Sv((0).
Ввиду (46:2) сравнение (46:4) с суммой (46:5) и (46:6) дает (46:А:а).
-> -v -У
Утверждение (46:А:Ь). Пусть дележи а, 3, 7 определены как и выше
{перед (46:1)). Тогда дележ а является исключенным (в /), если для всех В. я= I
2ау(Д).
Вспоминая (41.6) из п. 41.3.2, мы можем написать для этого дележа
(46:7) 2 сс; + 2 a,iv(S) + v(T) для всех £ = Т<=К. ies ieT -> ->•
Снова дележи (3 и 7 являются исключенными (соответственно в / и К)у если
(46:8) Saiv(iS) для всех о с= •/,
(46:9) 2 аv (г) Для всех г
Но (46:7) эквивалентно (46:8), (46:9). Действительно, (46:7) получается сложением (46:8), (46:9), в то же время (46:7) при Т=0 сводится к (46:8), а при S = 0- к (46:9).
Таким образом, дележ а является исключенным тогда и только тогда,
когда его (/-, К-) компоненты р и 7 являются исключенными. Так как их эксцессы е и /, g связаны соотношением (46:3), для их минимумов это дает соотношение (см. (45:В:Ь))
Г2 = А2 + Нав
т. е. формулу (46:А:Ь).
Утверждение (46:А:с) получается сразу сочетанием (46:А:а) или (46:А:Ь) с (45:Е) в применении к Г, А, Н.
Обе величины Гь Г 2 являются количественными мерами существенности игры Г в смысле п. 45.3.1. Полученный выше результат утверждает, что обе эти величины аддитивны относительно композиции игр.
46.1.2. Другая лемма, которая будет полезна в наших дальнейших исследованиях, состоит в следующем:
(46:В) Если аЕ-р (в Г), то множество S из п. 30.1.1 в этом отно-
шении доминирования можно без потери общностих) выбрать так, что будут выполнены включения или SJ, или S gZ.
Доказательство. Рассмотрим указанное в п. 30.1.1 мно-
-> ->-
жество S для отношения доминирования а е- р. Если случайно окажется, что S s J или S К, то доказывать нечего, поэтому мы можем предположить, что не выполнено ни одно из включений S е /, S К. Следовательно, S = д54и Ти где St J, Ti К и ни S±, ни Т± не пусто.
Для всех i 6 S, т. е. для всех i £ S± и для всех i £ Т±, мы имеем at > рг-. Наконец,
2v(£).
Левая часть этого неравенства, очевидно, равна 2 а*+ 2 ot, а его пра-
iesi teTi
вая часть ввиду (41:6) из п. 41.3.2 равна v(5,1) + v(2,i). Таким образом,
2 ajvO.+ vi).
iesi iei
Следовательно, должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств
2 atv(Si), 2 oay(Ti). iesi ieTi
*) To есть это дополнительное ограничение на S не меняет (в этом случае!) понятия доминирования.
Таким образом, из трех условий доминирования п. 30.1.1 (для а е- р) условия (30:4:а) и (30:4:с) выполнены как для Siy так и для Г*, а условие (30:4:Ь) выполнено хотя бы для одного из этих множеств. Поэтому исходное множество S мы можем заменить либо на Si ( /), либо на Tt (е К).
Это завершает доказательство.
46.2. Разложение и его связь с решениями. Первоначальные результаты относительно F (е0)
46.2.1. Теперь мы направим наши исследования на главную цель этой части теории - нахождение всех решений Uj разложимой игры Г. Эта цель будет достигнута в п. 46.6 как заключительный результат последовательности из семи лемм.
Мы начнем с некоторых чисто описательных рассуждений.
Рассмотрим решение Uj игры Г для множества F (е0). Если U/ пусто, то сказать больше нечего. Предположим поэтому, что Uj непусто; ввиду (45:А) (или, что то же самое, ввиду (45:0)) это предположение эквивалентно неравенству
«о I г и--1A и - Н 4.
Используя обозначения (46:1) из п. 46.1.1, образуем величины:
{46:10) <
Замечание. Тот факт, что все эти величины могут быть образованы, т. е. то, что рассматриваемые максимумы и минимумы существуют и достигаются, можно установить простым рассуждением, основанным на свойствах непрерывности.
Действительно, как / (а) = 2а* - v («О» так и 8 (а) - 2а* ~~ v являются
непрерывными функциями дележа а, т. е. его компонент а4, . . ., ал. Поэтому существование их максимумов и минимумов есть хорошо известное следствие свойств непрерывности области изменения а - множества Uj.
Для читателя, который знаком с необходимой математической теорией - топологией, мы приведем точное утверждение и его доказательство. (Лежащие в основе математические факты рассматриваются, например, Каратеодори (см. сноску 1 на стр. 356; см. там стр. 136-140, особенно теорему 5.)
Uj есть множество в /г-мерном линейном пространстве Ln (см. п. 30.1.1). Для того чтобы быть уверенными, что каждая непрерывная функция имеет в Uj максимум и минимум, мы должны знать, что множество Uj ограничено и замкнуто.
Докажем теперь следующее: (*) Любое решение U для F (е0) [Е (е0)] в игре Г п лиц является ограниченным и замкнутым множеством в Ьп.
Доказательство. Ограниченность. Если дележ а = {а4, . . ., ап} при-
надлежит U, то для каждого i должно быть aj v ((i)) и ai ~ v СО = *о» а
шах / (а) - ф,
->
min / (а) = ф,
maxg(a) гр, аеих
min g (а) = г?.