назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [ 128 ] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


128

г) До сих пор не было необходимости выражать явно зависимость от а эксцесса е дележа а. Теперь мы делаем это для е, а также для / и g.

§ 46. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ РЕШЕНИЙ В РАЗЛОЖИМОЙ ИГРЕ 46.1. Элементарные свойства разложений

46.1.1. Вернемся теперь к разложению игры Г. Пусть игра Г разложима относительно множеств / и К = I -- J, причем А и Я являются ее "-компонентами.

Пусть дан любой обобщенный дележ а = {аи . . ., ап} для I; обращу ->

-зуем его J-, .йГ-компоненты 3, 7 = at для / и yt = at для i £ К) и их эксцессы:

эксцесс а в /: е=е (а)= 2j ai~~У(Л

(46:1) -{ эксцесс Р в /: / = / (а) = 2 ai - v()»

эксцесс 7 в К: g = g(a) = 2± а*- v(iT)х).

Так как (согласно (42.6.Ь) из п. 42.3.2 или же, равным образом, {41.6) из п. 41.3.2 при S = J и Т = К)

(46:2) v(/) + v(£) = v(7),

должно быть

(46:3) e = f + g. (46: А) Имеем

(46:А:а) Г 4 = А 4 +1 Н 4,

(46:А:Ь) Га = Да + Н[а.

(46:А:с) Игра Г несущественна тогда и только тогда, когда несущественны обе игры А и Н.

Доказательство. Утверждение (46:А:а). Применим последовательно к играм Г, А, Н определение (45:2) из п. 45.1:

(46:4) ri = v(7)-Sv((0),

(46:5) At = v(/)-Sv((0),

(46:6) H, = v(A:)-Sv((0).

Ввиду (46:2) сравнение (46:4) с суммой (46:5) и (46:6) дает (46:А:а).

-> -v -У

Утверждение (46:А:Ь). Пусть дележи а, 3, 7 определены как и выше

{перед (46:1)). Тогда дележ а является исключенным (в /), если для всех В. я= I

2ау(Д).



Вспоминая (41.6) из п. 41.3.2, мы можем написать для этого дележа

(46:7) 2 сс; + 2 a,iv(S) + v(T) для всех £ = Т<=К. ies ieT -> ->•

Снова дележи (3 и 7 являются исключенными (соответственно в / и К)у если

(46:8) Saiv(iS) для всех о с= •/,

(46:9) 2 аv (г) Для всех г

Но (46:7) эквивалентно (46:8), (46:9). Действительно, (46:7) получается сложением (46:8), (46:9), в то же время (46:7) при Т=0 сводится к (46:8), а при S = 0- к (46:9).

Таким образом, дележ а является исключенным тогда и только тогда,

когда его (/-, К-) компоненты р и 7 являются исключенными. Так как их эксцессы е и /, g связаны соотношением (46:3), для их минимумов это дает соотношение (см. (45:В:Ь))

Г2 = А2 + Нав

т. е. формулу (46:А:Ь).

Утверждение (46:А:с) получается сразу сочетанием (46:А:а) или (46:А:Ь) с (45:Е) в применении к Г, А, Н.

Обе величины Гь Г 2 являются количественными мерами существенности игры Г в смысле п. 45.3.1. Полученный выше результат утверждает, что обе эти величины аддитивны относительно композиции игр.

46.1.2. Другая лемма, которая будет полезна в наших дальнейших исследованиях, состоит в следующем:

(46:В) Если аЕ-р (в Г), то множество S из п. 30.1.1 в этом отно-

шении доминирования можно без потери общностих) выбрать так, что будут выполнены включения или SJ, или S gZ.

Доказательство. Рассмотрим указанное в п. 30.1.1 мно-

-> ->-

жество S для отношения доминирования а е- р. Если случайно окажется, что S s J или S К, то доказывать нечего, поэтому мы можем предположить, что не выполнено ни одно из включений S е /, S К. Следовательно, S = д54и Ти где St J, Ti К и ни S±, ни Т± не пусто.

Для всех i 6 S, т. е. для всех i £ S± и для всех i £ Т±, мы имеем at > рг-. Наконец,

2v(£).

Левая часть этого неравенства, очевидно, равна 2 а*+ 2 ot, а его пра-

iesi teTi

вая часть ввиду (41:6) из п. 41.3.2 равна v(5,1) + v(2,i). Таким образом,

2 ajvO.+ vi).

iesi iei

Следовательно, должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств

2 atv(Si), 2 oay(Ti). iesi ieTi

*) To есть это дополнительное ограничение на S не меняет (в этом случае!) понятия доминирования.



Таким образом, из трех условий доминирования п. 30.1.1 (для а е- р) условия (30:4:а) и (30:4:с) выполнены как для Siy так и для Г*, а условие (30:4:Ь) выполнено хотя бы для одного из этих множеств. Поэтому исходное множество S мы можем заменить либо на Si ( /), либо на Tt (е К).

Это завершает доказательство.

46.2. Разложение и его связь с решениями. Первоначальные результаты относительно F (е0)

46.2.1. Теперь мы направим наши исследования на главную цель этой части теории - нахождение всех решений Uj разложимой игры Г. Эта цель будет достигнута в п. 46.6 как заключительный результат последовательности из семи лемм.

Мы начнем с некоторых чисто описательных рассуждений.

Рассмотрим решение Uj игры Г для множества F (е0). Если U/ пусто, то сказать больше нечего. Предположим поэтому, что Uj непусто; ввиду (45:А) (или, что то же самое, ввиду (45:0)) это предположение эквивалентно неравенству

«о I г и--1A и - Н 4.

Используя обозначения (46:1) из п. 46.1.1, образуем величины:

{46:10) <

Замечание. Тот факт, что все эти величины могут быть образованы, т. е. то, что рассматриваемые максимумы и минимумы существуют и достигаются, можно установить простым рассуждением, основанным на свойствах непрерывности.

Действительно, как / (а) = 2а* - v («О» так и 8 (а) - 2а* ~~ v являются

непрерывными функциями дележа а, т. е. его компонент а4, . . ., ал. Поэтому существование их максимумов и минимумов есть хорошо известное следствие свойств непрерывности области изменения а - множества Uj.

Для читателя, который знаком с необходимой математической теорией - топологией, мы приведем точное утверждение и его доказательство. (Лежащие в основе математические факты рассматриваются, например, Каратеодори (см. сноску 1 на стр. 356; см. там стр. 136-140, особенно теорему 5.)

Uj есть множество в /г-мерном линейном пространстве Ln (см. п. 30.1.1). Для того чтобы быть уверенными, что каждая непрерывная функция имеет в Uj максимум и минимум, мы должны знать, что множество Uj ограничено и замкнуто.

Докажем теперь следующее: (*) Любое решение U для F (е0) [Е (е0)] в игре Г п лиц является ограниченным и замкнутым множеством в Ьп.

Доказательство. Ограниченность. Если дележ а = {а4, . . ., ап} при-

надлежит U, то для каждого i должно быть aj v ((i)) и ai ~ v СО = *о» а

шах / (а) - ф,

->

min / (а) = ф,

maxg(a) гр, аеих

min g (а) = г?.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [ 128 ] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]