назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [ 127 ] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


127

и, следовательно, (3 принадлежит множеству

W-Z>*(e0) = V.

-> ->

Следовательно, отношение осе~Р исключает возможность того, чтобы дележ -> ->

а также принадлежал решению V. Значит, а принадлежит множеству

W - Y = D* (е0).

->

Следовательно, а - исключенный дележ.

Далее, согласно (45:К) существует такой исключенный дележ

а £ Е (е0), что а е- р. Так как а - исключенный дележ, по теореме

(45:G) а принадлежит (решению для Е (е0)) V. Итак, оба дележа а и р

-> ->

принадлежат (решению) V и а е- Р; но эти утверждения противоречат друг другу.

Свойство (44:Е:Ь). Рассмотрим дележ р = (рА, . . ., рд}, принадлежащий F (е0), но не принадлежащий W. Для каждого 80 образуем

теперь дележ р (е) = {рА (е), . . рп (е)} = {рА + е, . . ., р„ + е}. Пусть 8 возрастает от нуля до тех пор, пока не осуществится впервые одно из следующих условий:

(45:17) Дележ P(s) принадлежит Е(е0)г),

(45:18) Дележ р(е) является исключенным2).

Мы различаем эти две возможности.

Условие (45:17) осуществляется впервые, скажем, при 8 =

->

= 8А 0 : р (8i) £ Е (е0), но этот дележ не явлется исключенным.

Если 8i = 0, то Р = р (0) g Е (е0). Так как р не принадлежит V 9= W, существует дележ а е- р, принадлежащий (решению для Е (е0)) V. Тем более а принадлежит W.

-у ->

Предположим теперь, что е4 > 0 и р (еА) £ V. Так как дележ р (е4) не является исключенным, существует такое непустое множество S I,

что (8i) < v Кроме того, всегда Р (е4) > Р*. Поэтому (5 (84) е- р,

и р (е4) £ V; значит, тем более Р (еА) £ W.

Предположим, наконец, что 6j>0 и р (еА) не принадлежит V. Так как Р (еА) £ Е (е0), существует дележ а е- р (е, принадлежащий (решению для Е (е0)) V. Так как всегда Р* (е4) > Р*, из а е- р (еА) следует

-> -> -> ->

ввиду (45: j), что а е- р. Кроме того, а £ V, а значит, тем более а £ W.

Условие (45:18) осуществляется раньше или одновременно с условием

->

(45:17), скажем, при е = е2>0. Тогда все еще р (е2) 6 F (*<>)» и этот дележ является исключенным.

1) То есть эксцесс Р (е) равен е0. Действительно, р (0) = р принадлежит F (е0), т. е. его эксцесс не больше, чем е0, и эксцесс р (е) возрастает с е.

2) То есть Рг (£) = v (£) Для всех S i. Каждая сумма Рг (е) возрастает с е.

ies ies



Если Р (е2) 6 Е (е0), то согласно (45:G) дележ Р (е2) принадлежит

-> ->

(решению для Е (е0)) V. Если р (е2) не принадлежит Е (е0), то Р (е2) £

->

£Z)* (е0)- Таким образом, в любом случае р (е2) £ W.

-> ~>

Это исключает возможность е2 = 0, так как дележ Р = Р (0) не принадлежит W. Поэтому е2 > 0.

Для 0 < 8 < е2 дележ р (е) не является исключенным, так что существует непустое множество S I, для которого 2 Pz (е) < v (£)• Следова-

тельно, по непрерывности, существует непустое множество S I, для которого 2Pf (8г) v (£)• Кроме того, всегда pf (е2) > Р* и, значит,

-у -> ->

Р (е2) е- р, а также р (е2) £ W.

Итак, в любом случае в W существует дележ а е- р. (Этим дележом а оказывались в различных случаях, соответственно, дележи а, р (ei),

-У -У

а, Р (е2).) Таким образом, условие (44:Е:Ь) выполнено.

Теперь мы можем дать обещанное доказательство.

Доказательство теоремы (45:1) получается немедленно путем сопоставления утверждений (45:L), (45:М), (45:N).

45.6. Подведение итогов и заключение

45.6.1. Наши основные результаты, полученные до сих пор, можно сформулировать следующим образом:

(45:0) Если

(45:0:а) е0<-\Т\±,

то множества Е(е0), F (е0) пусты и их единственным решением является пустое множество. Если

(45:0:Ь) -1 Г 4 е0 Г 2,

то множества Е(е0), F (е0) непусты, имеют оба одни и те же решения и все эти решения являются непустыми множествами. Если

(45:0:с) е0>Г2,

то множества Е(е0), F (е0) непусты, не имеют общих решений и все их решения являются непустыми множествами.

Доказательство получается сразу путем сопоставления (45:А), (45:1) и (45:Н).

Этот результат вполне проясняет критический характер значений е0 = - Г 1, Г 2 и еще больше подкрепляет точку зрения на них, выраженную в конце п. 45.1, а также после теоремы (45:Н) из п. 45.4.2: что происходит, когда е0 становится «слишком малым» или «слишком большим» в смысле п. 44.6.1.

45.6.2. Мы можем теперь доказать также некоторые соотношения, которые в дальнейшем (в п. 46:5) окалчутся полезными.



(45:Р) Пусть W - непустое решение для F (е0), т. е. предположим что е0 i> - Г !. Тогда

(45: Р: a) max е (а) = е0.

(45:P:b) min е (а) = min (е0, \ Г 2)г).

Кроме того,

(45:Р:с) maxe (a)--mine (a) = max(0, е0 - Г2)2).

"a£W a£W

Доказательство. (45:Р:с) следует из (45:Р:а) и (45:Р:Ь), так как е0 - min (е0, Г 2) = max (е0 - е0, е0 - Г 2) = max (0, е0 - \ Г 2).

Докажем теперь (45:Р:а) и (45:Р:Ь).

Из (45:1) следует, что W = Y[jD * (во), где V - решение

для Е (е0). Так как е0 - [ Г 14, V непусто (согласно (45 :А) или (45:0)).

->

Как мы знаем, е (а) = £0 Для а 6 V и е (а) <С е0 для а £ D * (е0).

Далее, для е0 Г 2 i?* (е0) пусто (согласно (45:Н)), так что

-* ->

(45:19) max е (а) ~ max е (а) = е0,

oGW aev

45:20) min е (а) = min е (а) = е0.

Для е0 > Г 2 -D * (е0) непусто (снова согласно (45:Н)) и представляет собой множество всех исключенных дележей а, для которых е (а) << Последовательно, согласно (45:В:Ь) из п. 45.2.3, эти е (а) имеют минимум, равный Г2. Итак, в этом случае мы имеем:

-> ->

(45:19*) max е (а) = max е (а) = e0l

a£W a£V

(45:20*) mine(a) = min е(о)==Г2.

aeW e-D*(eo)

Равенства (45:19) и (45:19 *) вместе дают (45:Р:а), а равенства (45:20) и (45:20 *) вместе дают (45:Р:Ь).

*) Наше утверждение включает требование о том, что эти максимум и минимум существуют.

2) Словесно: максимальный эксцесс в решении W равен максимальному эксцессу, возможному в F (е0), т. е. е0. Минимальный эксцесс в решении W снова равен е0, если только е0 Г 2; если же е0 > Г 2, то в этом случае он равен только Г 2. Иначе говоря, минимум есть число, возможно более близкое к е0, при условии, что он никогда не должен превышать Г 2.

«Ширина» интервала эксцессов равна превышению е0 над Г \ 2, если таковое имеется.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [ 127 ] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]