и, следовательно, (3 принадлежит множеству
W-Z>*(e0) = V.
-> ->
Следовательно, отношение осе~Р исключает возможность того, чтобы дележ -> ->
а также принадлежал решению V. Значит, а принадлежит множеству
W - Y = D* (е0).
->
Следовательно, а - исключенный дележ.
Далее, согласно (45:К) существует такой исключенный дележ
а £ Е (е0), что а е- р. Так как а - исключенный дележ, по теореме
(45:G) а принадлежит (решению для Е (е0)) V. Итак, оба дележа а и р
-> ->
принадлежат (решению) V и а е- Р; но эти утверждения противоречат друг другу.
Свойство (44:Е:Ь). Рассмотрим дележ р = (рА, . . ., рд}, принадлежащий F (е0), но не принадлежащий W. Для каждого 80 образуем
теперь дележ р (е) = {рА (е), . . рп (е)} = {рА + е, . . ., р„ + е}. Пусть 8 возрастает от нуля до тех пор, пока не осуществится впервые одно из следующих условий:
(45:17) Дележ P(s) принадлежит Е(е0)г),
(45:18) Дележ р(е) является исключенным2).
Мы различаем эти две возможности.
Условие (45:17) осуществляется впервые, скажем, при 8 =
->
= 8А 0 : р (8i) £ Е (е0), но этот дележ не явлется исключенным.
Если 8i = 0, то Р = р (0) g Е (е0). Так как р не принадлежит V 9= W, существует дележ а е- р, принадлежащий (решению для Е (е0)) V. Тем более а принадлежит W.
-у ->
Предположим теперь, что е4 > 0 и р (еА) £ V. Так как дележ р (е4) не является исключенным, существует такое непустое множество S I,
что (8i) < v Кроме того, всегда Р (е4) > Р*. Поэтому (5 (84) е- р,
и р (е4) £ V; значит, тем более Р (еА) £ W.
Предположим, наконец, что 6j>0 и р (еА) не принадлежит V. Так как Р (еА) £ Е (е0), существует дележ а е- р (е, принадлежащий (решению для Е (е0)) V. Так как всегда Р* (е4) > Р*, из а е- р (еА) следует
-> -> -> ->
ввиду (45: j), что а е- р. Кроме того, а £ V, а значит, тем более а £ W.
Условие (45:18) осуществляется раньше или одновременно с условием
->
(45:17), скажем, при е = е2>0. Тогда все еще р (е2) 6 F (*<>)» и этот дележ является исключенным.
1) То есть эксцесс Р (е) равен е0. Действительно, р (0) = р принадлежит F (е0), т. е. его эксцесс не больше, чем е0, и эксцесс р (е) возрастает с е.
2) То есть Рг (£) = v (£) Для всех S i. Каждая сумма Рг (е) возрастает с е.
ies ies
Если Р (е2) 6 Е (е0), то согласно (45:G) дележ Р (е2) принадлежит
-> ->
(решению для Е (е0)) V. Если р (е2) не принадлежит Е (е0), то Р (е2) £
->
£Z)* (е0)- Таким образом, в любом случае р (е2) £ W.
-> ~>
Это исключает возможность е2 = 0, так как дележ Р = Р (0) не принадлежит W. Поэтому е2 > 0.
Для 0 < 8 < е2 дележ р (е) не является исключенным, так что существует непустое множество S I, для которого 2 Pz (е) < v (£)• Следова-
тельно, по непрерывности, существует непустое множество S I, для которого 2Pf (8г) v (£)• Кроме того, всегда pf (е2) > Р* и, значит,
-у -> ->
Р (е2) е- р, а также р (е2) £ W.
Итак, в любом случае в W существует дележ а е- р. (Этим дележом а оказывались в различных случаях, соответственно, дележи а, р (ei),
-У -У
а, Р (е2).) Таким образом, условие (44:Е:Ь) выполнено.
Теперь мы можем дать обещанное доказательство.
Доказательство теоремы (45:1) получается немедленно путем сопоставления утверждений (45:L), (45:М), (45:N).
45.6. Подведение итогов и заключение
45.6.1. Наши основные результаты, полученные до сих пор, можно сформулировать следующим образом:
(45:0) Если
(45:0:а) е0<-\Т\±,
то множества Е(е0), F (е0) пусты и их единственным решением является пустое множество. Если
(45:0:Ь) -1 Г 4 е0 Г 2,
то множества Е(е0), F (е0) непусты, имеют оба одни и те же решения и все эти решения являются непустыми множествами. Если
(45:0:с) е0>Г2,
то множества Е(е0), F (е0) непусты, не имеют общих решений и все их решения являются непустыми множествами.
Доказательство получается сразу путем сопоставления (45:А), (45:1) и (45:Н).
Этот результат вполне проясняет критический характер значений е0 = - Г 1, Г 2 и еще больше подкрепляет точку зрения на них, выраженную в конце п. 45.1, а также после теоремы (45:Н) из п. 45.4.2: что происходит, когда е0 становится «слишком малым» или «слишком большим» в смысле п. 44.6.1.
45.6.2. Мы можем теперь доказать также некоторые соотношения, которые в дальнейшем (в п. 46:5) окалчутся полезными.
(45:Р) Пусть W - непустое решение для F (е0), т. е. предположим что е0 i> - Г !. Тогда
(45: Р: a) max е (а) = е0.
(45:P:b) min е (а) = min (е0, \ Г 2)г).
Кроме того,
(45:Р:с) maxe (a)--mine (a) = max(0, е0 - Г2)2).
"a£W a£W
Доказательство. (45:Р:с) следует из (45:Р:а) и (45:Р:Ь), так как е0 - min (е0, Г 2) = max (е0 - е0, е0 - Г 2) = max (0, е0 - \ Г 2).
Докажем теперь (45:Р:а) и (45:Р:Ь).
Из (45:1) следует, что W = Y[jD * (во), где V - решение
для Е (е0). Так как е0 - [ Г 14, V непусто (согласно (45 :А) или (45:0)).
->
Как мы знаем, е (а) = £0 Для а 6 V и е (а) <С е0 для а £ D * (е0).
Далее, для е0 Г 2 i?* (е0) пусто (согласно (45:Н)), так что
-* ->
(45:19) max е (а) ~ max е (а) = е0,
oGW aev
45:20) min е (а) = min е (а) = е0.
Для е0 > Г 2 -D * (е0) непусто (снова согласно (45:Н)) и представляет собой множество всех исключенных дележей а, для которых е (а) << Последовательно, согласно (45:В:Ь) из п. 45.2.3, эти е (а) имеют минимум, равный Г2. Итак, в этом случае мы имеем:
-> ->
(45:19*) max е (а) = max е (а) = e0l
a£W a£V
(45:20*) mine(a) = min е(о)==Г2.
aeW e-D*(eo)
Равенства (45:19) и (45:19 *) вместе дают (45:Р:а), а равенства (45:20) и (45:20 *) вместе дают (45:Р:Ь).
*) Наше утверждение включает требование о том, что эти максимум и минимум существуют.
2) Словесно: максимальный эксцесс в решении W равен максимальному эксцессу, возможному в F (е0), т. е. е0. Минимальный эксцесс в решении W снова равен е0, если только е0 Г 2; если же е0 > Г 2, то в этом случае он равен только Г 2. Иначе говоря, минимум есть число, возможно более близкое к е0, при условии, что он никогда не должен превышать Г 2.
«Ширина» интервала эксцессов равна превышению е0 над Г \ 2, если таковое имеется.