т. е.
(45:8) S «г-ссйу.
Суммирование (45:8) по к = 1, /г дает
п 2 а* - 2 а& гсу,
г=1 ft=l
т. е.
г=1 г=1
Но v (/) = 0, так что е = 2аг- Таким образом, для всех исключенных
дележей е у; следовательно, Г 2 2 ~~~[ У-
Доказательство второго из неравенств (45:7).
Положим а00= у и а00 = «, . . ., а°п0} = {а00, . . ., а00}. Этот
дележ а00 является исключенным, т. е. для всех S s I он удовлетворяет неравенству (45:4). Действительно, пусть р - число элементов S. Тогда мы имеем:
р = 0; S = 0, и (45:4) тривиально;
р = 1; £ = (£), и (45:4) принимает вид a00v ((£)), т. е. -- у -уу что очевидно;
р 2; (45:4) принимает вид pa00 v (S); но ввиду (27:7) из п. 27.2
v(S)rg(rc-p) 7,
так что достаточно доказать, что pa00 (п - р) у, т. е. что р -у- у
= (w - Р) Y* Это эквивалентно неравенству у тгу, которое следует
из того, что р 2.
Таким образом, дележ а00 действительно является исключенным. Так как v (/) = 0, эксцесс равен
е№ = па*> = п{п~2)у.
Следовательно, Г 2 п п\-
45.3.3. Заслуживает внимания рассмотрение неравенств (45:F) последовательно для п = 1, 2, 3, 4, ...
п = 1, 2; в этих случаях коэффициент- в нижней границе неравенства больше, чем коэффициент -i в верхней границе1). Это
может показаться абсурдным. Но так как для п = 1, 2 игра Г необходимым образом несущественна (см. первое замечание в п. 27.5.2), в этих случаях мы имеем Г 4 = 0, Г [ 2 = 0, так что противоречия исчезают.
2) Они равны соответственно оо и -1/2 для п = 1 и 1 и 0 для п = 2. Отметим также парадоксальные значения оо и -1/2!.
п = 3j б этом случае два коэффициента и 71 2 совпадают: оба они 1
равны , так что неравенства сводятся к одному уравнению
(45:9) Га = 4-Г1.
п Л; в этих случаях коэффициент--г нижней границы определенно
меньше коэффициента ~2) верхней границы1). Поэтому для Г12 неравенства оставляют здесь невырождающийся интервал.
Нижняя граница Г 2 = I I 1 является точной, т. е. для каждого
7г 4 имеется существенная игра, для которой достигается эта граница. Также существуют для каждого п 4 существенные игры, для которых
Г 2 > J[ZT\ I Г i7 но, по-видимому, достичь верхней границы Г 2 =
= Г 1 в нашем неравенстве невозможно. Точное значение верхней границы до сих пор еще не было найдено. У нас нет необходимости обсуядать эти вопросы здесь или где-либо дальше 2).
45.3.4. Выражаясь более качественно, мы можем поэтому сказать, что Г i и [ Г 2 являются количественными мерами существенности игры Г. Они измеряют эту существенность различными и до некоторой степени независимыми способами. Действительно, отношение Г2/Г 1? которое не определено для п = 1, 2 (нет существенных игр!) и постоянно для п = 3 (значение его равно V2), изменяется при п 4 вместе с Г.
В пп. 45.1 и 45.2 мы видели, что эти две величины действительно измеряют границы, между которыми заданный эксцесс не будет «дезорганизовывать» игроков в смысле п. 44.6.1. Согласно нашим результатам, эксцесс е, меньший чем - Г 1? «слишком мал», а эксцесс е, больший чем Г 2? «слишком велик» в этом смысле. Более точный смысл этой точке зрения будет придан в п. 46.8.
45.4. Исключенные дележи и различные решения. Теорема, связывающая Е (е0) и F (е0)
45.4.1. Из (44:Е:с) в определении решения в п. 44.7.3 и результата (45:D) п. 45.2.4 сразу следует утверждение.
(45:G) Решение V для множества Е (е0) [F (е0)] должно содержать каждый исключенный обобщенный дележ из Е (е0) [F (е0)].
Важность этого результата состоит в той роли, которую он будет играть в последующих исследованиях.
\ п 2
*) -т< -о- означает, что 2 < (п - 1) (п - 2), что, очевидно, справедливо
для всех п 4.
2) Для п = 4 наше неравенство принимает вид - Г 4 Г2= Г 4. Как
отмечалось выше, мы знаем существенную игру, для которой Г 2 = 1 Г 14, а также
игру, для которой Г 2 = "2" I Г I 1-
После того, что было сказано о роли Е (е0) и F (е0) в начале п. 44.7.2, становится очевидной важность установления исчерпывающих взаимосвязей между этими двумя случаями. Иначе говоря, мы должны установить связь между решениями для Е (е0) и F (е0).
Оценить интуитивно все различие между Е (е0) и F (е0) и их решениями нелегко. Заранее трудно понять, почему вообще должно появиться какое-либо различие: в первом случае «дар», полученный игроками извне, имеет заданное значение е0, а во втором случае задано его максимальное значение е0. Трудно понять, каким образом в «устойчивой» норме поведения (т. е. в решении) «внешнему источнику», который хочет вложить не больше, чем е0, когда-либо будет дана возможность вложить меньше, чем е0. Однако наш прошлый опыт предостерегает нас от поспешных заключений в этом отношении. Так, в пп. 33.1 и 38.3 мы видели, что уже игры трех и четырех лиц имеют решения, в которых изолированный и потерпевший поражение игрок не «эксплуатируется» до предела физических возможностей, и исследуемый сейчас случай до некоторой степени аналогичен этому.
45.4.2. (45:G) дает нам возможность сформулировать более точное утверждение:
Согласно (45: G), исключенный обобщенный дележ а принадлежит каждому решению для F (е0), если он принадлежит F (е0). С другой
стороны, дележ а, очевидно, не может принадлежать никакому решению для Е (е0), если он не принадлежит Е (е0). Введем теперь определение:
(45:10) D* (е0) есть множество всех исключенных обобщенных дележей а, принадлежащих F (е0), но не принадлежащих Е (е0).
Итак, мы видим, что любое решение для F (е0) содержит все элементы Z)* (е0); любое решение для Е (е0) не содержит элементов /)* (е0). Следовательно, если/)* (е0) непусто, то F (е0) и Е (е0) наверняка не имеют общих решений.
Далее, исключенный дележ а £ D* (е0) характеризуется тем, что он имеет эксцесс е, не больший чем е0, но не равный е0у т. е. он характеризуется неравенством
(45:11) е<е0.
Из этого мы заключаем, что
(45:Н) D*(e0) пусто тогда и только тогда, когда 0Г2.
Доказательство. Ввиду (45:В) и (45:11) множество Z)* (е0) непусто тогда и только тогда, когда существует число е0, удовлетворяющее неравенствам Г ( 2 е < т. е. е0 > Г 2. Следовательно, Z)* (е0) пусто тогда и только тогда, когда е0 ) Г 2.
Таким образом решения для F (е0) и Е (е0), несомненно, различны, когда е0 > Г 2. Этот факт является еще одним доказательством того, что эксцесс е0 «слишком велик» для нормального поведения, когда он больше j Г 2.
45.4.3. Теперь мы можем доказать, что указанное выше различие между решениями для Е (е0) и F (е0) является единственным. Точнее это выглядит так: