назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [ 125 ] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


125

т. е.

(45:8) S «г-ссйу.

Суммирование (45:8) по к = 1, /г дает

п 2 а* - 2 а& гсу,

г=1 ft=l

т. е.

г=1 г=1

Но v (/) = 0, так что е = 2аг- Таким образом, для всех исключенных

дележей е у; следовательно, Г 2 2 ~~~[ У-

Доказательство второго из неравенств (45:7).

Положим а00= у и а00 = «, . . ., а°п0} = {а00, . . ., а00}. Этот

дележ а00 является исключенным, т. е. для всех S s I он удовлетворяет неравенству (45:4). Действительно, пусть р - число элементов S. Тогда мы имеем:

р = 0; S = 0, и (45:4) тривиально;

р = 1; £ = (£), и (45:4) принимает вид a00v ((£)), т. е. -- у -уу что очевидно;

р 2; (45:4) принимает вид pa00 v (S); но ввиду (27:7) из п. 27.2

v(S)rg(rc-p) 7,

так что достаточно доказать, что pa00 (п - р) у, т. е. что р -у- у

= (w - Р) Y* Это эквивалентно неравенству у тгу, которое следует

из того, что р 2.

Таким образом, дележ а00 действительно является исключенным. Так как v (/) = 0, эксцесс равен

е№ = па*> = п{п~2)у.

Следовательно, Г 2 п п\-

45.3.3. Заслуживает внимания рассмотрение неравенств (45:F) последовательно для п = 1, 2, 3, 4, ...

п = 1, 2; в этих случаях коэффициент- в нижней границе неравенства больше, чем коэффициент -i в верхней границе1). Это

может показаться абсурдным. Но так как для п = 1, 2 игра Г необходимым образом несущественна (см. первое замечание в п. 27.5.2), в этих случаях мы имеем Г 4 = 0, Г [ 2 = 0, так что противоречия исчезают.

2) Они равны соответственно оо и -1/2 для п = 1 и 1 и 0 для п = 2. Отметим также парадоксальные значения оо и -1/2!.



п = 3j б этом случае два коэффициента и 71 2 совпадают: оба они 1

равны , так что неравенства сводятся к одному уравнению

(45:9) Га = 4-Г1.

п Л; в этих случаях коэффициент--г нижней границы определенно

меньше коэффициента ~2) верхней границы1). Поэтому для Г12 неравенства оставляют здесь невырождающийся интервал.

Нижняя граница Г 2 = I I 1 является точной, т. е. для каждого

7г 4 имеется существенная игра, для которой достигается эта граница. Также существуют для каждого п 4 существенные игры, для которых

Г 2 > J[ZT\ I Г i7 но, по-видимому, достичь верхней границы Г 2 =

= Г 1 в нашем неравенстве невозможно. Точное значение верхней границы до сих пор еще не было найдено. У нас нет необходимости обсуядать эти вопросы здесь или где-либо дальше 2).

45.3.4. Выражаясь более качественно, мы можем поэтому сказать, что Г i и [ Г 2 являются количественными мерами существенности игры Г. Они измеряют эту существенность различными и до некоторой степени независимыми способами. Действительно, отношение Г2/Г 1? которое не определено для п = 1, 2 (нет существенных игр!) и постоянно для п = 3 (значение его равно V2), изменяется при п 4 вместе с Г.

В пп. 45.1 и 45.2 мы видели, что эти две величины действительно измеряют границы, между которыми заданный эксцесс не будет «дезорганизовывать» игроков в смысле п. 44.6.1. Согласно нашим результатам, эксцесс е, меньший чем - Г 1? «слишком мал», а эксцесс е, больший чем Г 2? «слишком велик» в этом смысле. Более точный смысл этой точке зрения будет придан в п. 46.8.

45.4. Исключенные дележи и различные решения. Теорема, связывающая Е (е0) и F (е0)

45.4.1. Из (44:Е:с) в определении решения в п. 44.7.3 и результата (45:D) п. 45.2.4 сразу следует утверждение.

(45:G) Решение V для множества Е (е0) [F (е0)] должно содержать каждый исключенный обобщенный дележ из Е (е0) [F (е0)].

Важность этого результата состоит в той роли, которую он будет играть в последующих исследованиях.

\ п 2

*) -т< -о- означает, что 2 < (п - 1) (п - 2), что, очевидно, справедливо

для всех п 4.

2) Для п = 4 наше неравенство принимает вид - Г 4 Г2= Г 4. Как

отмечалось выше, мы знаем существенную игру, для которой Г 2 = 1 Г 14, а также

игру, для которой Г 2 = "2" I Г I 1-



После того, что было сказано о роли Е (е0) и F (е0) в начале п. 44.7.2, становится очевидной важность установления исчерпывающих взаимосвязей между этими двумя случаями. Иначе говоря, мы должны установить связь между решениями для Е (е0) и F (е0).

Оценить интуитивно все различие между Е (е0) и F (е0) и их решениями нелегко. Заранее трудно понять, почему вообще должно появиться какое-либо различие: в первом случае «дар», полученный игроками извне, имеет заданное значение е0, а во втором случае задано его максимальное значение е0. Трудно понять, каким образом в «устойчивой» норме поведения (т. е. в решении) «внешнему источнику», который хочет вложить не больше, чем е0, когда-либо будет дана возможность вложить меньше, чем е0. Однако наш прошлый опыт предостерегает нас от поспешных заключений в этом отношении. Так, в пп. 33.1 и 38.3 мы видели, что уже игры трех и четырех лиц имеют решения, в которых изолированный и потерпевший поражение игрок не «эксплуатируется» до предела физических возможностей, и исследуемый сейчас случай до некоторой степени аналогичен этому.

45.4.2. (45:G) дает нам возможность сформулировать более точное утверждение:

Согласно (45: G), исключенный обобщенный дележ а принадлежит каждому решению для F (е0), если он принадлежит F (е0). С другой

стороны, дележ а, очевидно, не может принадлежать никакому решению для Е (е0), если он не принадлежит Е (е0). Введем теперь определение:

(45:10) D* (е0) есть множество всех исключенных обобщенных дележей а, принадлежащих F (е0), но не принадлежащих Е (е0).

Итак, мы видим, что любое решение для F (е0) содержит все элементы Z)* (е0); любое решение для Е (е0) не содержит элементов /)* (е0). Следовательно, если/)* (е0) непусто, то F (е0) и Е (е0) наверняка не имеют общих решений.

Далее, исключенный дележ а £ D* (е0) характеризуется тем, что он имеет эксцесс е, не больший чем е0, но не равный е0у т. е. он характеризуется неравенством

(45:11) е<е0.

Из этого мы заключаем, что

(45:Н) D*(e0) пусто тогда и только тогда, когда 0Г2.

Доказательство. Ввиду (45:В) и (45:11) множество Z)* (е0) непусто тогда и только тогда, когда существует число е0, удовлетворяющее неравенствам Г ( 2 е < т. е. е0 > Г 2. Следовательно, Z)* (е0) пусто тогда и только тогда, когда е0 ) Г 2.

Таким образом решения для F (е0) и Е (е0), несомненно, различны, когда е0 > Г 2. Этот факт является еще одним доказательством того, что эксцесс е0 «слишком велик» для нормального поведения, когда он больше j Г 2.

45.4.3. Теперь мы можем доказать, что указанное выше различие между решениями для Е (е0) и F (е0) является единственным. Точнее это выглядит так:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [ 125 ] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]