2) Интуитивный смысл этих утверждений чрезвычайно прост: правдоподобно, что для того, чтобы получить исключенный или вполне исключенный дележ, необходим некоторый (положительный) минимум эксцесса. I Г 2 есть этот минимум, или, вернее, нижняя граница. Так как понятия «исключенный» и «вполне исключенный» отличаются только предельным случаем (знак равенства в соотношении (45:4)), имеются основания для того, чтобы их нижние границы были равны. Эти факты выражены точно в утверждении (45:В).
2) Заметим, что это необходимо доказать! Оценка, которую мы приводим здесьг является грубой; относительно более точных оценок см. (45:F) ниже.
а дележи, удовлетворяющие условию (45:4),- исключенными. Как указывалось, последнее понятие будет действительно необходимо в наших доказательствах - оба термина предназначены для выражения того факта, что обобщенный дележ исключен из игры, т. е. он не может быть эффективно поддержан в игре никакой коалицией.
45.2.2. Полезно еще одно замечание.
Единственным ограничением, наложенным на обобщенные, дележи, является условие (44:13) из п. 44.7.2;
(45:5) а,- v ((i)) для i - 1, ..., п.
Если теперь выполнено требование (45:4), чтобы дележ был исключенным,- а следовательно, и тем более, если выполнено требование (45:3), чтобы дележ был вполне исключенным,- то нет необходимости дополнительно постулировать условие (45:5). Действительно, (45:5) есть частный случай (45:4) для S = (i).
Это замечание будет неявно использовано в последующих доказательствах.
45.2.3. Теперь мы можем вернуться к эксцессам, т. е. охарактеризовать те эксцессы, которые принадлежат исключенным (или вполне исключенным) дележам. Формальная характеристика такова:
(45:В) Игра Г определяет число [ Г j 2, обладающее следующими
свойствами:
(45:В:а) Вполне исключенный обобщенный дележ с эксцессом е существует тогда и только тогда, когда е > Г 12.
(45:В:Б) Исключенный обобщенный дележ с эксцессом е существует тогда .и только тогда, когда е J Г 2 1).
Доказательство. Существование исключенного дележа а 2). Пусть а0 - максимум v (S) для всех S / (в том числе а0 v (0) = 0). Положим
а° = « . . ., ап} = {а°, . . ., а0}. Тогда для каждого непустого множества S I мы имеем S а? = а°
J i£S
v (S). Это неравенство есть условие (45:4), так что дележ а0 является исключенным.
->
Свойства исключенного дележа а. Согласно доказанному выше существуют исключенные дележи
а = {аи ..., ап],
а вместе с ними и их эксцессы е = а1 - v (/). Ввиду (45:4) (для S = I)
все эти эксцессы е неотрицательны. По непрерывности отсюда следует, что эти эксцессы е имеют минимум е*. Выберем исключенный дележ
а* = {а*, . . ., а*}, имеющий этот эксцесс е* *). Положим теперь
(45:6) Г2 = е*.
Доказательство утверждений (45:В:а) и (45:В:Ь). Если а = {oti, . . ., ап} - исключенный дележ, то по определению е =
= 2аг - v СО = Если а = {oti, . . ., ап) - вполне исключенный
дележ, то неравенство (45:3) останется в силе, если из каждого at
->
мы вычтем достаточно малое б > 0. Поэтому дележ а = {ах - - б, . . ., ап - 6} является исключенным. Следовательно, по определению
е -пб=2 (а, -б) -v(/)e*, е>е*.
->
Рассмотрим теперь исключенный дележ а* = {а*, а%}, где
2 o?-v(/) = e*.
Тогда для а* выполнено (45:4); следовательно, если мы каждое а* увеличим на б > 0, то будет выполнено (45:3). Поэтому дележ а" = {а* + + 6, . . ctn + 6} является вполне исключенным. Его эксцесс равен
е = 2 (а* + б) - v (/) = е* + /гб. Таким образом, каждый эксцесс е,
равный е* + /гб, т. е. каждый эксцесс е, больший чем е*, является эксцессом вполне исключенного дележа, а следовательно, тем более эксцессом некоторого исключенного дележа; е*, конечно, есть эксцесс исключенного дележа а*.
Таким образом, все части (45:В:а), (45:В:Ь) выполнены при (45:6).
45.2.4. Вполне исключенные и исключенные обобщенные дележи тесно связаны также с понятием доминирования. Соответствующие свойства формулируются далее в (45:С) и (45:D). Они составляют своеобразный антитезис друг другу. Это удивительный факт, так как два наших понятия строго аналогичны друг другу; действительно, второе понятие получается из первого включением его предельных случаев.
(45:С) Вполне исключенный обобщенный дележ а не доминирует
->
никакой другой обобщенный дележ р.
-> -> ~>
Доказательство. Если а е- 3, то дележ а должен иметь непустое эффективное множество.
(45: D) Обобщенный дележ а является исключенным тогда и только тогда, когда он не доминируется никаким другим обобщенным
дележом р.
х) Это использование непрерывности обоснованно ввиду того, что в соотношении (45:4) допускается знак равенства.
Доказательство. Достаточность того, что дележ является ->•
исключенным. Пусть а = (а4, . . ., ап} - исключенный дележ. Предпо-
-► ->
ложим противное, т. е. что Р е- а по эффективному множеству S. Тогда S непусто и af < Pi для i £ S. Таким образом, 2az < 2jPz v что
противоречит (45:4).
Необходимость того, что дележ является исключенным. Пусть S - (неизбежно непустое) множество, для которого нарушено условие (45:4), т. е. для которого 2ai < v Тогда для достаточно малого 8 > О спра-
ведливо неравенство
S («i + d)v(5).
->•
Положим р = (Pi, . . ., Р} = {at + б, . . ., а„ + б}; тогда всегда должно быть аг < P*» и S оказывается эффективным для 3: 2Р* = v
-> ->
Таким образом, р е- а.
45,3. Рассмотрение двух границ Г14, Г12. Их отношение
45.3.1. Оба числа Г 4, Г 2, определенные в (45:2) из п. 45.1 и (45:В) из п. 45.2.3, представляют собой способ количественного измерения существенности игры Г. Точнее говоря,
(45:Ё) Если игра Г несущественна, то Г t = 0, Г 2 = 0. Если игра Г существенна, то Г 4 > 0, Г 2 > 0.
Доказательство. Утверждения, касающиеся числа Г j 4, которое ввиду (45:2) из п. 45.1 равно пу, совпадают с определениями несущественности и существенности из п. 27.3 в том виде, в котором они были заново сформулированы в п. 42.5.1.
Утверждения, касающиеся Г12, следуют из соответствующих утверждений относительно Г 4 в силу неравенств (45:F), которые мы можем здесь использовать.
45.3.2. Количественное отношение между Г 4 и Г 2 характеризуется следующим образом.
Всегда
(45:F) iriiriin.
Доказательство. Как мы знаем, [ Г 4 и Г 2 инвариантны относительно стратегической эквивалентности; поэтому мы можем предположить, что игра Г является игрой с нулевой суммой и даже редуцированной в смысле п. 27.1.4. Тогда мы можем использовать обозначения и соотношения из п. 27.2.
Так как Г 4 = пу, мы хотим доказать, что
(45:7) ТГ[22=2)Г.
Доказательство первого из неравенств (45:7). Пусть
->
а = {аи a} - исключенный дележ. Тогда для множества S = I-(к), имеющего п - 1 элементов, (45:4) дает
Навигация
