назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [ 123 ] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


123

сим из п. 30.1.1 *), так как оказывается, что выдвинутые при обсуждении аргументы для их обоснования, которые привели к этим определениям, сохраняют силу и для предлагаемых теперь обобщений. То же самое относится и к определению решений (см. там же) 2), но с одной оговоркой: согласно определению решения это понятие зависит от множества всех дележей, в котором оно рассматривается. Теперь, как указывалось в п. 44.5.1, при нашем новом понимании обобщенных дележей,, мы должны будем рассматривать наложенные на них ограничения, а именно, ограничения, наложенные на их эксцесс. Эти ограничения определят множество всех обобщенных дележей, которые будут рассматриваться, и тем самым определят понятие решения.

44.7.2. Особое внимание мы уделим двум типам ограничений.

Во-первых, мы рассмотрим случай, когда значение эксцесса задано. Тогда мы имеем уравнение

(44:11) е = е0

при заданном е0. Это ограничение означает, что поступление извне задано в смысле обсуждения п. 44.5.2.

Во-вторых, мы рассмотрим случай, когда задана только верхняя граница эксцесса, Тогда мы имеем неравенство

(44:12) ее0

для заданного е0. Смысл этого ограничения состоит в том, что задано максимальное значение поступления извне (с точки зрения получающих его игроков).

Случай, которым мы фактически интересуемся, есть первый случай,, т. е. случай из п. 44.5.2. Второй случай окажется технически полезным для исследования первого случая, хотя на первый взгляд его введение может показаться искусственным. Мы воздержимся от рассмотрения других альтернатив ввиду того, что нам удается завершить указанное выше исследование только с этими двумя случаями.

Обозначим через Е (е0) множество всех обобщенных дележей, удовлетворяющих условию (44:11) (первый случай). Учитывая (44:9) из п. 44.5.1, мы можем записать (44:11) в виде

(44:11*) 2 ai = w(I) + e0.

Обозначим через F (е0) множество всех обобщенных дележей, удовлетворяющих условию (44:12) (второй случай). Учитывая (44:9) из 44.5.1, мы можем записать (44:12) в виде

(44:12*) § агу(1) + е0.

Для полноты мы приведем еще раз свойство обобщенного дележа т которое должно быть добавлено как к (44:11*), так и к (44:12*):

(44:13) a*v((i)) для г = 1,

Заметим, что определения (44:9), как и (44:11*), (44:12*) и (44:13), инвариантны относительно изоморфизма, описанного в п. 42.4.2.

г) То есть, соответственно, указанные там (30:3), (30:4:а) - (30:4:с). 2) То есть (30:5:а), (30:5:Ь) или (30:5:с) (там же).



44.7.3. Теперь можно взять определение решения из п. 30.1.1. Ввиду центральной роли, которую играет это понятие, мы сформулируем его заново, модифицировав его применительно к новым условиям. В приводимом ниже определении можно всюду заменить Е (е0) на F (е0), что отмечено квадратными скобками.

Множество V s Е (е0) [F (е0)] называется решением для Е (е0) [F (е0)], если оно обладает следующими свойствами:

->

(44: Е:а) Никакой дележ Р £ V не доминируется никаким дележом а 6 V.

{44:Е:Ь) Каждый дележ Р 6 Е (е0) [F (е0)], не принадлежащий V, доми-

нируется некоторым дележом а £ V. *

(44:Е:а) и (44:Е:Ь) можно сформулировать в виде единственного условия:

(44:Е:с) V состоит из тех элементов Е (е0) IF (е0)], которые не доми-нируются никаким элементом из V.

Заметим, что Е (0) возвращает нас к исходным определениям п. 30.1.1 (игра с нулевой суммой) и п. 42.4.1 (игра с постоянной суммой).

44.7.4. Понятия композиции, разложения и компонент для обобщенных дележей снова можно определить согласно (44:1) - (44:4) из п. 44.2.1. Как указывалось в п. 44.4.2, техническая цель нашего обобщения понятия дележа теперь осуществлена. Разложение, а также и композиция, теперь всегда могут быть выполнены.

Связь этих понятий с множествами Е (е0) и F (е0) не очень проста; мы будем иметь дело с ней по мере надобности.

Для композиции, разложения и компонент множеств обобщенных дележей теперь можно повторить дословно определения п. 44.2.3.

§ 45. ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЭКСЦЕСС. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ

45.1. Нижняя граница эксцесса

45.1. В случаях, рассмотренных в пп. 30.1.1 и 42.4.1, дележи существуют всегда. Теперь положение иное: любое из множеств Е (е0), F (е0) для некоторых е0 может быть пустым. Очевидно, это произойдет в случае, когда (44:11*) или (44:12*) из п. 44.7.2 будут противоречить (44:13) из того же пункта,- это, очевидно, будет тот случай, когда для обеих альтернатив выполняется неравенство

v (/) + *„< Sv((0).

Так как ввиду (42:11) из п. 42.5.1 правая часть равна v(I) - ny, это неравенство означает, что

(45:1) е0<.пу.

Если Е (е0) [F (е0)] пусто, то очевидно, что пустое множество является решением для себя, а так как оно является единственным своим подмножеством, то оно является также единственным своим решением х). Если

х) Несмотря на свою тривиальность, это обстоятельство не должрго быть оставлено без внимания. Здесь текст фактически повторяет сноску 2 на стр. 297.



же, с другой стороны, Е (е0) [F (е0)] непусто, то никакое из его решений не может быть пустым. Это следует из дословного повторения доказательства (31:J) из п. 31.2.1.

Правая часть неравенства (45:1) определяется игрой Г; для этой величины (взятой с противоположным знаком и с учетом (42:11) из п. 42.5.1) мы введем следующее обозначение:

(45:2) I Г U = «Y = v (/) - S v ((»)).

Теперь мы можем подытожить наши замечания следующим образом:

(45:А) Если е0 < - Г f 4, то множества Е (е0) и F (е0) пусты,

и пустое множество является их единственным решением. В противном случае шГ Е (е0), ни F (е0), а также никакое решение любого из этих множеств не может быть пустым.

Этот результат дает первое указание на то, что существуют «слишком малые» значения е0 (т. е. ё) в смысле п. 44.6.1. Действительно, он подтверждает количественную оценку из сноски 1 на стр. 379.

45.2. Верхняя граница эксцесса. Исключенные и вполне исключенные дележи

45.2.1. Обратимся теперь к тем значениям е0 (т. е. е), которые «слишком велики» в смысле п. 44.6.1. Когда проявится дезорганизующее влияние величины е, которое мы там предвидели?

Как указывалось в п. 44.6.1, критическое явление состоит в следующем: эксцесс может быть слишком велик, чтобы его можно было полностью исчерпать требованиями, которые любой игрок в любой воображаемой коалиции, возможно, мог бы выдвинуть. Мы переходим к количественной формулировке этой мысли.

Лучше всего рассматривать сами обобщенные дележи, а не их эксцессы е. Такой дележ а находится за пределами любых требований, которые могут быть выдвинуты в любой коалиции, если он назначает игрокам* каждого (непустого) множества S I больше, чем эти игроки могли бы получить, образуя коалицию в Г, т. е. если для каждого непустого множества S I

(45:3) 2 at>Y(S).

i£S

Сравнение этого неравенства с (30:3) из п. 30.1.1 показывает, что наш критерий означает требование, состоящее в том, что каждое непустое

множество S является для а неэффективным.

В наших фактических рассуждениях будет выгодно несколько расширить ограничение (45:3) включением предельного случая равенства. Тогда это условие примет вид

(45:4) 2 at v для каждого S s / х).

Этим дележам а удобно дать специальное название. Дележи а, удовлетворяющие условию (45:3), мы будем называть вполне исключенными,

г) Больше нет необходимости исключать случай S = 0, так как неравенство (45:4), в отличие от неравенства (45:3), справедливо при S = 0. Действительно, в этом случае обе части неравенства обращаются в нуль.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [ 123 ] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]