назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [ 121 ] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


121

которые, как проверит читатель, в точности соответствуют нашему определению композиции.

(44:В:а) Игроки из / всегда получают в совокупности свои «справедливые платы» (нуль), и то же самое верно для игроков из К1).

(44:В:Ь) Не существует никакой связи между судьбой игроков из множества / и игроков из множества К 2).

(44:В:с) Судьба игроков из / определяется нормой поведения Vj3), а судьба игроков из К определяется нормой поведения W# 4).

Если представить себе, что две компоненты игры возникли совершенно независимо друг от друга, то это есть правдоподобный способ рассматривать их отдельные решения Vj, WK как единое решение Uj составной игры Г.

Однако, так как решение есть понятие точное, это утверждение нуждается в доказательстве, т. е. мы должны доказать следующее:

(44:С) Если Vj, WK - решения игр А, Н, то их композиция Uj есть

решение игры Г.

44.3.2. Это утверждение, кстати, представляет собой другой пример характерного соотношения между здравым смыслом и математической строгостью. Хотя некоторое утверждение (в нашем случае - утверждение о том, что Uj есть решение, если решениями являются Vj, WK) вытекает из здравого смысла, оно не является обоснованным в пределах теории (в нашем случае - на основании определений п. 30.1.1), пока оно не доказано математически. В этих пределах могло бы показаться, что строгость важнее, чем здравый смысл. Такое утверждение, однако, ограничено дальнейшим соображением, состоящим в том, что если математическим доказательством не удается установить результат, вытекающий из здравого смысла, то имеются веские доводы для того, чтобы вообще отказаться от соответствующей теории. Таким образом, примат математического метода распространяется только на установление контроля над теориями - таким путем, который не был бы доступен одному только здравому смыслу.

Мы увидим, что утверждение (44:С) верно, хотя и не тривиально. Хотелось бы ожидать, что также верно утверждение, обратное утверждению (44:С), т. е. потребовать доказательства следующего утверждения:

(44:D) Если Uj - решение Г, то его можно разложить на решения Vj, W* игр А, Н.

На первый взгляд это утверждение весьма правдоподобно: так как игра Г фактически есть композиция двух совершенно независимых игр, то каким образом какое-либо решение игры Г могло бы не отразить эту ее составную структуру?

Однако удивительный факт состоит в том, что утверждение (44:D), вообще говоря, неверно. Читатель мог бы подумать, что этот факт должен заставить нас отказаться от нашей теории (т. е. в смысле п. 30.1.1) или,

*) Каждый элемент а/ из Uj разложим.

2) Любой дележ Pj, использованный для образования Uj, и любой дележ у#, использованный для образования Uj, в результате композиции дают элемент а7 из Uj.

3) Упомянутые выше дележи 3j являются в точности элементами Vj.



*) Этот факт аналогичен явлению, состоящему в том, что симметричная игра может иметь несимметричное решение; см. п. 37.2.1.

до крайней мере, существенно ее модифицировать, если мы серьезно принимаем сформулированное выше методологическое положение. Однако мы покажем, что предпосылки для утверждения (44:D), основанные на «здравом смысле», весьма сомнительны. Действительно, наш результат, противоречащий утверждению (44:D), получит весьма правдоподобную интерпретацию, которая с успехом связывает его с хорошо известными явлениями в социальных организациях.

44.3.3. Правильное понимание причин ложности утверждения (44:D) и обоснованности теории, которая его заменяет, делает необходимыми более детальные исследования. Прежде чем перейти к ним, было бы полезно сначала сделать некоторые разъяснения относительно того, почему утверждение (44:D) оказывается неверным.

Утверждение (44:D) естественно разбить на два:

(44:D:a) Если Uj - решение игры Г, то оно разложимо (относительно J, К).

(44:D:b) Если решение Uj игры Г разложимо (относительно /, К), то его компоненты Yj, WK являются решениями игр А, Н.

Теперь будет показано, что утверждение (44:D:b) верно, a (44:D:a) - нет, т. е. может оказаться, что разложимая игра обладает неразложимым решением *).

Однако разложимость решения (или любого множества дележей) выражается условиями (44:В:а) - (44:В:с) из п. 44.3.1. Поэтому для неразложимого решения, о котором говорилось выше, одно или более из этих условий должно нарушаться. Окажется (см. п. 46.11), что условием, которое нарушается, является условие (44:В:а). Этот факт может показаться очень серьезным, потому что условие (44:В:а) является основным в том смысле, что если оно нарушается, то условия (44:В:Ь), (44:В:с) нельзя даже сформулировать.

Понятие разложения обладает некоторой Гибкостью. Это его свойство проявилось в пп. 42.2.1, 42.2.2 и 42.5.2, где нам удалось модификацией этого понятия избавиться от неудобного дополнительного условия, связанного с разложимостью игры. Мы увидим, что нам снова удается обойти трудности с помощью этого приема, так что утверждение (44:D) будет заменено правильной и удовлетворительной теоремой. Поэтому мы должны стремиться так модифицировать нашу систему, чтобы от условия (44:В:а) можно было отказаться.

Мы достигнем этой цели, и тогда станет ясно, что условия (44:В:Ь) и (44:В:с) не представляют трудностей и* что можно получить законченный результат.

44.4. Обобщение теории. Внешние источники

44.4.1. Теперь пришло время отказаться от ограничения, которое мы временно ввели в п. 44.1; это ограничение состоит в том, что все рассматриваемые игры являются играми с нулевой суммой. Мы возвращаемся к точке зрения п. 42.2.2, согласно которой все игры являются играми е постоянной суммой.

Приняв это соглашение, рассмотрим игру Г, являющуюся разложимой (относительно /, К) соответственно с /-, Z-компонентами А, Н.



Теорию композиции и разложения дележей, изложенную в пп. 44.2.1, 44.2.2, теперь можно повторить с незначительными изменениями.

Соотношения (44:1) - (44:4) могут быть оставлены без изменений, а в равенствах (44:5) - (44:7) изменяются только правые части. Так как соотношение (30.2) из п. 30.1.1 было заменено условием (42:8*) из п. 42.4.1, формулы (44:5) - (44:7) теперь принимают вид

(44:5*) J a, = v(/)f

i=l ,

(44:6*) S ay = v(K)

hf V

(44;7*) 2 at + 2 ai" = v (/) = v (7) + v (К).

i=l j"-=l"

(Последнее равенство в правой части имеет место ввиду (42:6:Ь) из п. 42.3.2 или, что то же самое, ввиду (41:6) из п. 41.3.2, где S = /, Т = К.) Эта ситуация в точности соответствует ситуации п. 44.2.1; действительно, она получается из последней с помощью изоморфизма п. 42.4.2.

Таким образом, дележ dfcj удовлетворяет условию (44:7*), но для его разложимости необходимо выполнение условий (44:5*), (44:6*); вместе с тем из (44:7*) в действительности следует лишь эквивалентность условий (44:5*) и (44:6*), но не следует выполнение какого-либо из них.

Таким образом, критерий разложимости (44:А) из п. 44.2.1 по-прежнему верен, только с условиями (44:5*) и (44:6*) вместо условий (44:5) и (44:6). Здесь можно повторить окончательное заключение п. 44.2.2:

разложение дележа aj (на ук) возможно тогда и только тогда, когда ->

этот дележ а/ предписывает этим двум самостоятельным множествам игроков /, К в точности то, что им положено,- теперь эти величины суть v (/), v (К) *).

Так как мы знаем, что это ограничение для разложимости дележей, причиной которого .является (44:В:а) из п. 44.3.1, есть источник трудностей, мы должны снять его. Это означает снятие условий (44:5*) и (44:6*), т. е. условия (42:8*) п. 42.4.1, из которого они вытекают.

44.4.2. В соответствии со сказанным выше, мы попытаемся развить теорию игры Г с постоянной суммой с новым понятием дележей, которое основано только на условии (42:7) из п. 42.4.1 (т. е. на (30:1) из п. 30.1.1), без требования (42:8*) из п. 42.4.1.

Другими словами 2), обобщенный- дележ представляет собой набор чисел G&!, . . ., an, обладающих следующим свойством:

(44:8) a* v ((г)) для i = 1, . .., /г.

Мы не налагаем никаких условий на 2 а*- Эти обобщенные дележи

мы также будем рассматривать как векторы

->

a = {a4, ..., ап}.

) Вместо нуля, как указывалось выше.

!) Мы снова обозначаем игроков через 1, . . ., тг.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [ 121 ] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]