назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [ 120 ] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


120

Нужно заметить, что неразложимость и несущественность ввиду (43:J) и (43:К) несовместимы при п 2, но не при п = 1.

п = 2. Такая игра также должна быть несущественной ввиду первого замечания п. 27.5.2. Следовательно, она разложима.

л 3. Для таких игр разложимость есть явление исключительное. Действительно, из разложимости следует равенство (41:6) для некоторого / ф 0,7; следовательно, К = I - / Ф 0, /. Поэтому мы можем выбрать j из /, к из К. Тогда равенство (41:6) для S =(/), Т = (к) дает

(43:11) у((;, A)) = v((;)) + v((A)).

Но единственные уравнения, которым должны удовлетворять значения v (5), суть (25:3:а) и (25:3:Ь) из п. 25.3.1 (если рассматриваются игры с нулевой суммой) или (42:6:а) и (42:6:Ь) из п. 42.3.2. Уравнение (43:11) не является ни одним из них, так как в него входят только множества (/), (к), (/, /с), а это не те множества, которые входят в уравнения для v (S) (т. е. не 0, /, и не множества, дополняющие друг друга), так как пЗ1). Таким образом, (43:11) является дополнительным условием, которое, вообще говоря, не выполняется.

Согласно сказанному выше, в неразложимой игре не может быть п = 2, следовательно, в такой игре п = 1 или п 3. Комбинируя это утверждение с (43:Е), мы получаем следующий своеобразный результат:

(43:L) Каждый элемент разлагающего разбиения Пг есть либо одно-

элементное множество, либо же содержит пЗ элементов.

Заметим, что одноэлементные множества в Пг суть одноэлементные разлагающие множества 2), т. е. они соответствуют тем игрокам, которые представляют собой самостоятельные множества, отделенные от остальных игроков игры (с точки зрения стратегии коалиций). Они являются «болванами» в смысле п. 35.2.3 и замечания на стр. 340. Следовательно, наш результат (43:L) выражает следующий факт: игроки, не являющиеся «болванами», объединены в неразложимые компоненты, каждая из п 3 игроков. Это, по-видимому, является общим принципом социальной организации.

§ 44. РАЗЛОЖИМЫЕ ИГРЫ. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ 44.1. Решение разложимой игры и решения ее компонент

44.1. Мы завершили описательную часть нашего изучения композиции и разложения. Перейдем теперь к центральной части задачи - к исследованию решений в разложимой игре.

Рассмотрим игру Г, разложимую для множеств / и / - / = К с /- и Z-компонентами А и Н. Мы используем стратегическую эквивалентность, как это было показано в начале п. 42.5.3, для сведения всех трех игр к играм с нулевой суммой.

Предположим, что решения игры А, так же как и решения игры Н, известны; определяет ли это тогда решение игры Г? Другими словами, как получить решения разложимой игры из решений ее компонент? По этому поводу существует предположение, которое на первый взгляд представляется правдоподобным и к формулировке которого мы перейдем.

*) Для п = 2 это не так; (/, к) = 7, (/) и (к) являются дополнительными друг другу множествами.

2) Такое разлагающее множество является, конечно, автоматически минимальным.



44.2. Композиция и разложение дележей и множеств дележей

44.2.1. Будем использовать обозначения п. 41.3.1. Но, хотя мы пишем v (S) вместо vr (S), это обозначение заменяет, ввиду (41:4) и (41:5), также уд (S) и vH (S).

С другой стороны, мы должны проводить различие между дележами для игр Г, А, Н х). Для выражения этого различия лучше указывать то множество игроков, к которому относится дележ, а не ту игру, в которую они входят. Иначе говоря, мы будем помечать дележи индексами /, /, К, а не Г, А, Н. В этом смысле мы обозначаем дележи для / (т. е. в игре Г) через -у

(44:1) «/ = {«!. • • - , а*, • •«г},

а дележи для /, К (т. е. в играх А, Н) соответственно через

(44:2) & = {Pi, ...,Р*}.

(44:3) Т* = {?1-1 Y*"}-

Если три таких дележа связаны соотношением

ac = pi для i = l, ..., к\

(44:4) .„ л„ .„

v a,j» = у для 7 = 1 , ..., I ,

->- ->- ->-

то мы говорим, что а/ получается с помощью композиции из Pj и 7Я,

что Pj и 7я получаются с помощью разложения из o&j (для J, К) и что Р/

-> ->

и 7я являются соответственно (/-, К-) компонентами дележа а/.

Так как теперь мы имеем дело с играми с нулевой суммой, все эти дележи должны удовлетворять условиям (30:1) и (30:2) из п. 30.1.1. Они

сразу проверяются для дележей ос/, ук, связанных соотношением (44:4).

Условие (30:1) из п. 30.1.1. Выполнение его для р7, ук, очевидно,

эквивалентно его выполнению для aj.

Условие (30:2) из п. 30.1.1. Для Pj, ук это условие утверждает (ввиду (44:4)), что

(44:5) 2 аг = 0,

г=1 Z"

(44:6) 2 а;* = 0.

j"=l"

Для а7 оно означает, что

ft г*

(44:7) 2 0Ы-+ 2 а;> = 0.

г=1 i"=l"

Таким образом, выполнение этого условия для р и уя влечет его выпол-нение для аг, в то время как его выполнение для а/ не влечет его выполнения для Pj и ук; действительно, из (44:7) следует эквивалентность (44:5) и (44:6), но не следует выполнение любого из них.

*) Удобно ввести заново обозначения для игроков из п. 41.3.1.



Итак, мы имеем:

(44:А) Из любых двух дележей р7 и ук можно составить дележ ах,

в то время как дележ aj можно разложить на два дележа и ук тогда и только тогда, когда они удовлетворяют равенству (44:5), т. е. (44:6).

Такой дележ щ мы будем называть разложимым (относительно множеств /, К).

44.2.2. Описанное положение дел аналогично тому, которое имеет место для самих игр: композиция возможно всегда, в то время как разложение не всегда возможно. Здесь также разложимость есть явление исключительное х).

Наконец, нужно заметить, что понятие композиции дележей имеет простой интуитивный смысл. Оно соответствует той же самой операции, согласно которой два отдельных явления рассматриваются как одно

и которая играла соответствующую роль для игр в пп. 41.2.1, 41.2.3,

-> -»-»

41.2.4. Разложение дележа ocj (на pj, ук) возможно тогда и только тогда,

когда два самостоятельных множества игроков /, К получают в соответ-

->

ствии с множествами дележей а/ «справедливые платы», которые равны

нулю. В этом состоит смысл условия (44:А) (т. е. (44:5) и (44:6)).

->

44.2.3. Рассмотрим множество Vj; дележей fjj и множество WK деле-

жей ук. Пусть Uj - множество тех дележей aj, которые получаются

с помощью композиции всех Pj из Vj со всеми ук из WK. Тогда мы будем говорить, что Uj получается с помощью композиции из V/, W#> что Vj, WK получаются с помощью разложения из Ux (для J, К) и что V/, W# являются соответственно (/-, К-) компонентами Uj.

Очевидно, что операцию композиции можно выполнить всегда, каковы бы ни были Vj, Wk, в то время как данное множество Uj не всегда допускает разложение (относительно /, К). Если множество Uj может быть разложено, то мы его называем разложимым (относительно /, К).

Заметим, что разложимость Uj является очень сильным ограничением;

в частности, из него следует, что все элементы а/ из Uj должны быть разложимы (см. интерпретацию разложимости в конце п. 44.2.2).

Для того чтобы полнее проинтерпретировать эти понятия для множеств дележей Uj, Vj, WKy удобно ограничиться решениями игр Г, А, Н.

44.3. Композиция и разложение решений. Основные возможности и предположения

44.3.1. Пусть Vj, - два решения соответственно игр А, Н. Их композиция дает множество дележей U/, которое, как можно ожидать, является решением игры Г. Действительно, U/ представляет собой выражение нормы поведения, которое можно сформулировать следующим образом. Мы дадим словесную формулировку в тексте в виде утверждений (44:В:а) - (44:В:с), приводя в сносках их математические формулировки,

*) Существуют значительные технические различия между понятиями разложимости и т. д. для игр и для дележей. Отметим, однако, аналогию между соотношениями (41:4), (41:5) из п. 41.3.2; (41:8), (41:9), (41:10) из п. 41.4.2 и соотношениями (44:4), (44:5), (44:6), (44:7).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [ 120 ] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]