назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


12

но допускает операцию образования «центра тяжести» двух положений г). Другие физико-геометрические понятия, обычно именуемые векторными - например, скорость и ускорение,- снова допускают операцию сложения.

3.4.3. Во всех тех случаях, когда подобной «естественной» операции приписывается наименование, напоминающее нам о некоторой математической операции,- подобно упомянутому выше примеру «сложения»,- следует всячески избегать недоразумений. Эта терминология не имеет своей целью провозглашение тождественности двух операций с одним и тем же названием, да это, очевидно, и не имеет места; она выражает лишь мнение о том, что они обладают сходными чертами, и надежду на то, что в конечном счете будет установлено некоторое соответствие между ними. Разумеется, это - если это вообще осуществимо - делается путем нахождения некоторой математической модели для рассматриваемой физической области, в рамках которой эти величины будут представляться числами, так что в модели математическая операция описывает синонимичную с ней «естественную» операцию.

Возвратимся к нашим примерам. «Энергия» и «масса» в подходящих математических моделях становятся числами, а «естественное» их сложение - обычным сложением. «Положение», равно как и векторные величины, становится тройками чисел2), именуемых соответственно координатами или компонентами. Естественное понятие «центра тяжести» двух положений 3) {#!, х2, х3} и {х[, хг, х3} с «массами» а и 1 - а (см. сноску 1 на стр. 47) реализуется в виде

{axi + (1 - а) х[, ах2 + (1 - а) х2, ах3 + (1 - а) х3} 4).

«Естественная» операция «сложения» векторов {xt, х2, х3} и {х[, х2, хв} описывается как {х± + х[, х2 + х2, х3 + х3) 5).

Все сказанное выше об «естественных» и математических операциях равным образом применимо к естественным и математическим отношениям. Хорошими примерами являются различные встречающиеся в физике варианты понятия «больше»: большая энергия, сила, теплота, скорость и т. д.

Эти «естественные» отношения являются наилучшей основой для построения математических моделей и согласования с ними физических данных.

Замечание 1. Наилучшей, но не единственной. Хорошим контрпримером является температура. «Естественное» понятие «больше» оказалось бы недостаточным для установления современной математической модели - шкалы абсолютной температуры. В действительности здесь использовались другие приемы. См. п. 3.2.1.

Замечание 2. Мы не хотим создавать у читателя ложного впечатления, что картина формирования математических моделей, т. е. создания физических теорий, описана здесь исчерпывающим образом. Не нужно забывать, что этот процесс весьма индивидуален и содержит множество этапов, которые трудно предвидеть. Одним из важных этапов является, например, «распутывание» понятий, т. е. расщепление некоторых вещей, которые при поверхностном рассмотрении кажутся представляющими одну физическую величину, на несколько математических понятий. Скажем, в соответствующих областях решающее значение имело «распутывание» силы и энергии или количества теплоты и температуры.

В настоящее время совершенно невозможно предвидеть, сколько подобных дифференциаций нам еще предстоит проделать в экономической теории.

х) По отношению к двум данным массам а и р, занимающим эти положения. Может оказаться удобным нормировать их так, чтобы общая масса была равна единице, т. е. принять Р = 1 - а.

2) Мы имеем в виду трехмерное евклидово пространство.

3) Теперь мы описываем их тремя числами - их координатами.

4) Обычно это обозначается как а {х±, х2, xz}+{i - #2» хз)- См. (16: А: с) в п. 16.2.1.

5) Обычно это обозначается через {х1у х2, #з}+ #2» з}- См. начало п. 16.2.1.



3.4.4. Здесь следует сделать еще одно замечание. Пусть для некоторой физической области найдена удовлетворительная математическая модель в указанном выше смысле и рассматриваемые физические величины согласованы с числами. В этом случае вовсе не обязательно, чтобы описание математической модели давало нам единственный путь согласования физических величин с числами. Иначе говоря, модель может давать целое семейство подобных соответствий - называемых в математике отображениями,- любое из которых можно использовать для целей теории. Переход от одного из этих соответствий к другому приводит к некоторому преобразованию числовых данных, описывающих физические величины. В этом случае мы говорим, что рассматриваемые физические величины описываются числами с точностью до этой системы преобразований. В математике подобные системы преобразований называются группами г).

Примеры подобных ситуаций весьма многочисленны. Так, геометрическое понятие расстояния является числом с точностью до умножения на положительные постоянные множители 2). Такова же ситуация с физической величиной массы. Физическое понятие энергии описывается числом с точностью до линейного преобразования, т. е. прибавления любой постоянной и умножения на любую положительную постоянную 3). Понятие положения определено с точностью до неоднородного ортогонального линейного преобразования 4» 5). Векторные понятия определены с точностью до однородных преобразований того же типа 5 6).

3.4.5. Возможны также случаи, когда физическая величина представляет собой число с точностью до любого монотонного преобразования. Так обстоит дело с величинами, для которых существует только «естественное» отношение «больше» - и ничего другого. Так было, например, с температурой, пока было известно только понятие «теплее» 7); то же справедливо для шкалы Мооса твердости минералов; то же справедливо и для полезности, если это понятие основано на идее предпочтения. При виде такого произвола в числовом описании в подобных случаях напрашивается мнение о том, что рассматриваемая величина вовсе не является численной. Представляется, однако, более целесообразным воздержаться от подобных качественных утверждений и вместо этого установить объек-

г) В другом контексте мы встретимся с группами в п. 28.1.1; там же можно найти ссылки на литературу.

2) Иначе говоря, фиксация единицы длины в евклидовой геометрии несущественна.

3) Иначе говоря, в механике несущественна фиксация нуля или единицы энергии. Ср. это с предыдущей сноской. Расстояние обладает естественным нулем - это расстояние от любой точки до нее самой.

4) Это значит, что {zj, х2, х3} заменяется на {xf, х%, х$}, где

я? = aiixi + а12х2 + а13хз + bt, X* = а21Х1 + aZ2x2 + а23х3 + &2> х* = a3ixx -f азгх2 + а33х3 + Ъ3.

Здесь cijj и Ъ1 - постоянные, а матрица (а) является ортогональной.

б) Иначе говоря, если речь идет о положении, то фиксация начала координат или репера в геометрии несущественна; если рассматриваются векторы, то несущественен выбор репера.

6) Это значит, что в приведенной выше сноске 4 все bt = 0. Иногда допустимым является более широкий класс матриц - именно все матрицы с ненулевыми определителями. Рассмотрение этих вопросов нам здесь не понадобится.

7) Но не существовало никакого количественно воспроизводимого метода измерения температуры.



тивным образом, с точностью до какой системы преобразований определено это численное описание. Случай, когда эта система преобразований состоит из всех монотонных преобразований, является, конечно, довольно крайним; различные градации на другом конце этой шкалы даются упомянутыми выше системами преобразований: неоднородными или однородными линейными преобразованиями в пространстве, линейными преобразованиями одной числовой переменной, умножением этой переменной на постоянную 1). В общем, может представиться и случай, когда численное описание является абсолютно строгим, т. е. когда не нужно допускать вообще никаких преобразований 2).

3.4.6. Система преобразований, с точностью до которой данная физическая величина описывается числами, может изменяться во времени, т. е. в зависимости от этапа развития предмета. Так, температура первоначально описывалась числом лишь с точностью до произвольного монотонного преобразования 3). С развитием термометрии (в частности, термометрии гармоничного идеального газа) класс этих преобразований был сужен до линейных, т. е. не хватало лишь абсолютного нуля и абсолютной единицы. Последующее развитие термодинамики зафиксировало даже абсолютный нуль, так что система преобразований в термодинамике состоит только из умножения на постоянные. Эти примеры могут быть дополнены другими, но, по-видимому, нам нет нужды вдаваться в более подробные обсуждения.

Представляется, что ситуация с полезностью имеет сходную природу. Мы можем встать на ту точку зрения, что единственным «естественным» видом данных в этой области является отношение «больше», т. е. понятие предпочтения. В этом случае полезности представляют собой числа с точностью до некоторого монотонного преобразования. В действительности эта точка зрения является в экономической литературе общепринятой; наиболее полное свое отражение она находит в методе кривых безразличия.

Для сужения системы преобразований необходимо обнаружить дальнейшие «естественные» операции или отношения в области полезности. Так, еще Парето 4) отметил, что достаточно было бы отношения равенства для разностей полезностей; в нашей терминологии это свело бы систему преобразований к линейным преобразованиям 5). Однако поскольку это соотношение не кажется нам в полной мере «естественным»- иначе говоря, поддающимся интерпретации путем воспроизводимых наблюдений,- это предположение не достигает своей цели.

г) Можно представить себе также и промежуточные случаи более широких, чем указанные, систем преобразований, которые, однако, не содержат всех монотонных преобразований. Различные формы теории относительности дают довольно сложные примеры таких случаев.

2) Говоря обычным языком, это должно быть справедливо для физических величин, для которых можно определить как абсолютный нуль, так и абсолютную единицу. Таков, например, случай с абсолютной величиной (но не вектором!) скорости в тех физических теориях, в которых скорость света играет некоторую нормативную роль,- в максвелловской электродинамике или в специальной теории относительности.

3) Пока было известно только понятие «теплее», т. е. «естественное» отношение «больше». Этот вопрос подробно обсуждался нами ранее.

4) V. Pareto, Manuel deconomie politique, Paris, 1907, p. 264.

5) Это в точности то же самое, что Евклид проделал для положения точки на прямой. Понятие предпочтения в теории полезности соответствует отношению «лежит справа от» в геометрии, а желательное для нас отношение равенства разностей полезности - геометрической конгруэнтности отрезков.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]