(Мы пишем v(S)- вместо vT(S).) Снова ввиду (41:6) / является разлагающим множеством игры Г, если
(43:5) v(S{]T) = v(S) + v(T) для S с= Т д= I-J.
Мы должны доказать эквивалентность условий (43:4) и (43:5). Так как / 9= /, очевидно, что (43:4) есть частный случай (43:5), поэтому нам необходимо доказать только, что из (43:4) следует (43:5).
Предположим поэтому, что выполнено условие (43:4). К игре Г мы можем применить формулу (41:6) с множествами /, К = I - /.
Рассмотрим два множества: S s /, Т <=: I - J. Пусть Т = T[)J, тогда Т" = Т - Г содержится в / - /. Таким образом, Т = Г \] Т", Т J, Т" <=: I - J, и применение к игре Г (41:6) с множествами J, I - J дает
(43:6) v(T)=v(T) + \(T").
Далее, S s / S / и Г сг /, так что S [) Г д= /. Кроме того, Г" д= / - /. Очевидно, что (S\j Т)\]Т" = S[) Т. Следовательно, применение к игре Г (41:6) с множествами J, I - J дает, кроме того,
(43:7) v (S U Т) = v (S U Г) + v (Т").
Наконец, Tc=I-J и Тs /, так что Г д=/ - /. Следовательно, (43:4) дает нам
(43:8) w(S\)T)=y(S)+y(T).
Подставим теперь (43:8) в (43:7) и с помощью (43:6) упростим правую часть; эти преобразования дают в точности требуемую формулу (43:5).
43.3.2. Утверждение (43:D) показывает, что стоит рассматривать только такие разлагающие множества /, для которых / Ф 0, но никакое собственное подмножество / Ф 0 множества / разлагающим не является. Такое множество /, по очевидным причинам, мы будем называть минимальным разлагающим множеством.
Рассмотрим наши определения неразложимости и минимальности. Из (43:D) сразу следует, что
{43:Е) /-компонента А игры Г неразложима тогда и только тогда, когда / есть минимальное разлагающее множество.
Минимальные разлагающие множества образуют совокупность, обладающую очень простыми свойствами, и определяют систему всех разлагающих множеств. Эти свойства выражаются следующими утверждениями:
(43:F) Любые два различных минимальных разлагающих множества
не пересекаются.
(43: G) Объединение всех минимальных разлагающих множеств равно /.
(43:Н) Составляя объединения по всевозможным семействам минимальных разлагающих множеств, мы получим в точности совокупность всех разлагающих множеств х).
2) Интуитивный смысл этих утверждений должен быть совершенно ясен. Они правдоподобным образом описывают структуру всех возможных способов разложе-лия игры Г.
Доказательство (43:F). Пусть /, /" - два минимальных разлагающих множества, имеющих непустое пересечение. Тогда согласно (43:С) / (]J" Ф 0 есть разлагающее множество, которое содержится и в /, и в /". Из минимальности / и /" следует, что / f] J" равно как /, так и /". Следовательно, / = /".
Доказательство (43:G) Достаточно показать, что каждое к 6 I принадлежит некоторому минимальному разлагающему множеству.
Существуют разлагающие множества, которые содержат игрока к (например, /). Пусть / - пересечение всех таких множеств. Согласно (43:С) / есть разлагающее множество. Если бы / не было минимальным, то существовало бы разлагающее множество / Ф 0, / и содержащееся в /. Но согласно (43:А), (43:С) множество /" = /-/ = /f] (/ - /) также является разлагающим, и очевидно также / Ф 0, /. Либо /, либо /" = / - / должно содержать к; пусть, например, это будет множество /. Тогда / содержится среди тех множеств, пересечением которых является множество /. Поэтому / /. Но это невозможно ввиду того, что / / и J ф J,
Доказательство (43:Н). Объединение произвольного семейства минимальных разлагающих множеств является, согласно (43:С), разлагающим множеством, так что нам остается только доказать обратное.
Пусть К - разлагающее множество. Если / - минимальное разлагающее множество, то, согласно (43:С), J(\K есть разлагающее множество; кроме того, J{\K е /; поэтому либо J{]K = 0, либо J{]K = J. В первом случае / и К не пересекаются, во втором / К. Итак, мы видим следующее:
(43:1) Каждое минимальное разлагающее множество / либо не пере-
секается с К, либо содержится в К.
Пусть К - объединение первых множеств /, а К" - объединение вторых. К U К" есть объединение всех минимальных разлагающих множеств, и, следовательно, согласно (43:G)
По определению, К* не пересекается с К, а К" содержится в К, т. е.
Из совместного выполнения условий (43:9) и (43:10) необходимо следует, что К" = К; поэтому К есть объединение соответствующей совокупности минимальных множеств, что и требовалось.
43.3.3. Утверждения (43:F) и (43:G) показывают, что минимальные разлагающие множества образуют разбиение множества / в смысле п. 8.3.1, а их объединение равно /. Это разбиение мы будем называть разлагающим разбиением игры Г и будем обозначать его через Пг. Теперь утверждение (43:Н.) можно выразить следующим образом:
(43:Н*) Разлагающее множество К I характеризуется следующим свойством: точки каждого элемента Пг находятся в одном и том же отношении к множеству К - иначе говоря, каждый элемент Пг либо содержится в К, либо не пересекается с К.
Таким образом, Пг показывает, насколько далеко можно продвинуться в разложении игры Г в /, не нарушая наложенных правилами
(43:9)
К\]К"=1.
(43:10)
К <= I - К,
Кс=К.
игры Г связей между игроками х). Ввиду (43:Е) элементы Пг характеризуются также и Tejjf свойством, что они разлагают Г на неразложимые компоненты.
43.4. Свойства разлагающего разбиения
43.4.1. После того как установлена природа разлагающего разбиения Пг, естественно изучить влияние степени тонкости этого разбиения. Мы собираемся исследовать только два крайних случая: случай, когда Пг является настолько мелким, насколько это возможно, т. е. когда оно разбивает множество / на одноэлементные множества, и случай, когда Пг является настолько крупным, насколько это возможно, т. е. когда оно не разбивает / совсем. Другими словами, в первом случае Пг есть совокупность всех одноэлементных множеств (в /), а во втором случае Пг состоит из одного множества /.
Смысл этих двух крайних случаев легко устанавливается следующим утверждением:
(43:J) Пг есть совокупность всех одноэлементных множеств (в /)
тогда и только тогда, когда игра несущественна.
Доказательство. Из (43:Н) или (43:Н*) ясно, что устанавливаемое свойство Пг эквивалентно утверждению о том, что все множества / ( /) являются разлагающими. Иначе говоря (ввиду (43:1)), для дополняющих друг друга множеств / и К ( = / - /) игра Г является разложимой. Это означает, что во всех этих случаях выполнено равенство (41:6). Отсюда, однако, следует, что условие, налагаемое равенством (41:6) на множества S, Т (т. е. S /, Т К), означает просто, что множества S, Т не пересекаются. Таким образом, наше утверждение принимает вид
v(S[)T)=v(S) + v(T) для5ПГ=0.
Но согласно (27:D) из п. 27.4.2 это есть условие несущественности.
(43:К) Пг состоит из множества / тогда и только тогда, когда игра Г неразложима.
Доказательство. Из (43:Н) (или (43:Н*)) следует, что устанавливаемое свойство Пг эквивалентно утверждению о том, что множества 0, / являются единственными разлагающими множествами. Но это есть в точности определение неразложимости, данное в начале п. 43.3.
Эти результаты показывают, что неразложимость и несущественность являются двумя крайними возможностями для игры. В частности, несущественность означает, что разложение игры Г, описанное в конце п. 43.3, можно довести до отдельных игроков, не нарушая никаких связей, установленных правилами игры Г2). Читатель должен сравнить это утверждение с нашим первоначальным определением несущественности в п. 27.3.1.
43.4.2. Между несущественностью, разложимостью и числом п игроков существует следующая связь.
п = 1. Это случай едва ли имеет практическую важность. Очевидно, такая игра неразложима 3), и в то же время она несущественна по первому замечанию п. 27.5.2.
х) То есть, не нарушая свойство самостоятельности полученных в результате разложения множеств.
2) То есть в этой игре каждый игрок представляет самостоятельное множество.
3) Так как / - одноэлементное множество, единственными его подмножествами являются множества 0,1.