42.3.2. Как указывалось в пп. 25.3.1 и 26.2, v (S) является характеристической функцией игры с нулевой суммой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. (Доказательство этого факта приводилось в пп. 25.3.3 и 26.1.) Какими станут эти условия в случае игры с постоянной суммой?
Для ответа на этот вопрос вспомним, что из указанных условий (25:3:а) - (25:3:с) вытекает равенство (25:4) из п. 25.4.1. Поэтому мы можем добавить к ним (25:4) и видоизменить условие (25:3:Ь) прибавлением v (/) к его правой части (сохраняя ввиду (25:4) равенство). Таким образом, характеристические функции v (S) всех игр с нулевой суммой удовлетворяют следующим условиям:
(42:6:а) v(0) = O,
(42:6:Ь) v (S) + v ( £) = v (/),
(42:6:с) v (S) + v (T) v(S[] Г), если S[)T = 0,
(42:6:d) v(/) = 0.
Но характеристические функции v (S) всех игр с постоянной суммой получаются из этих характеристических функций v (S) с помощью преобразования (42:5) п. 42.3.1. Как повлияет это преобразование на условия (42:6:а) - (42:6:d)?
Непосредственно проверяется, что условия (42:6:а) - (42:6:с) никак не затрагиваются, а условие (42:6:d) полностью нарушается *). Итак, мы видим, что
(42:D) v (S) является характеристической функцией игры с постоянной суммой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (42:6:а) - (42:6:с).
(Теперь мы будем писать v (S) вместо v (5).)
Как упоминалось выше, условие (42:6:d) больше не выполняется. Однако мы имеем
(42:6:d*) - v(I) = s.
Действительно, этот факт вытекает из равенства (42:3) и рассуждений п. 25.1.3. Его можно также вывести, сравнивая сноску 1 на. стр. 360 и сноску 1 на этой стр. (настоящая функция v (S) соответствует фигурирующей там функции v (5)). Кроме того, равенство (42:6:d*) интуитивно ясно: коалиция, состоящая из всех игроков, получает фиксированную сумму s игры.
42.4, Дележи, доминирование, решения в новой теории
42.4.1. Начиная с этого места,мы будем рассматривать характеристические функции произвольных игр с постоянной суммой, т. е. функции v (£), подчиненные только условиям (42:6:а) - (42:6:с).
Наша первая задача, естественно, будет состоять в распространении на эту более широкую область введенных в п. 30.1.1 понятий дележей, доминирования и решения.
*) Согласно (42:5) правая часть равенства (42:6:d) переходит в 2а* = 2а* а эта сумма совершенно произвольна. i==1
Начнем с распределений, или дележей. Мы можем перенести из п. 30.1.1 их интерпретацию как векторов
Ла = {аи . . ., ап}. Из условий (30:1) и (30:2) мы можем оставить неизменным (30:1): (42:7) a*v((0);
соображения в пользу этого *) здесь столь же обоснованы, как и ранее. Однако условие (30:2) следует изменить. Так как постоянная сумма игры равна s (см. (42:3) и (42:6:d*)), каждый дележ должен распределять именно эту величину, т. е. естественно потребовать выполнения равенства
<42:8) 2а* = *.
Ввиду (42:6:d*) это эквивалентно равенству (42:8*) S-v(/)2).
Определения эффективности, доминирования, решения мы переносим без изменений из п. 30.1.1 3), так как обоснования, которые мы привели к этим определениям, остаются в силе и для нашего обобщения.
42.4.2. Эти рассуждения подтверждаются еще следующим фактом:
(42:Е) При нашем новом понятии стратегической эквивалентности игр Г, Г с постоянной суммой 4) существует изоморфизм между их дележами, т. е. взаимно однозначное отображение дележей Г на дележи Г, при котором понятия п. 30.1.1 5) остаются инвариантными.
Этот факт является аналогом (31:Q) из п. 31.3.3 и может быть доказан таким же способом. Как и там, мы определяем соответствие
(42:9) а а
между дележами а = {at, ..., ап} игры Г и дележами а = {а[, ..., ап) игры Г формулой
(42:10) ak = ak + a°k,
где а[, . . ., определены формулой (27:2) п. 27.1.1.
После этого доказательство (31 :Q) п. 31.3.3 почти буквально повторяется. Единственное отличие состоит в том, что условие (30:2) из п. 30.1.1 заменяется на (42:8), но так как ввиду (27:2) из п. 27.1.1 v (/) = v (I) +
+ Заь это равенство также оказывается выполненным 6). Читатель, i=i
который вернется к п. 31.3, увидит, что все остальное, сказанное там, в равной степени применимо к нашему случаю.
*) ctf < v ((£)) было бы неприемлемо, ср., например, начало п. 29.2.1.
2) В частном случае игры с нулевой суммой s = v (/) = 0, так что (42:8) и (42:8*) совпадают с (30:2), как это и должно быть.
3) То есть, соответственно (30:3); (30:4:а) - (30:4:с); (30:5:а), (30:5:Ь) или (30:5:с).
4) Как определено в конце п. 42.2.2, т. е. формулой (27:2) п. 27.1.1 без (27:1).
5) Определенные заново в п. 42.4.1.
6) А это единственное место в упомянутом доказательстве, где используется
равенство 2ai = 0 (т- е- (27:1) из п. 27.1.1, которого мы больше не требуем). i=l
42.5. Существенность, несущественность и разложимость в новой теории
42.5.1. Из утверждения (42:С) п. 42.2.3 мы знаем, что каждая игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой. Следовательно, (42:Е) дает нам возможность перенести общие результаты § 31 с игр с нулевой суммой на игры с постоянной суммой, переходя от последнего класса к первому через стратегическую еквивалентность.
Это вынуждает нас определить несущественность для игры с постоянной суммой как ее стратегическую эквивалентность некоторой несущественной игре с нулевой суммой. Мы можем поэтому утверждать следующее:
(42:F) Игра с нулевой суммой несущественна тогда и только тогда,,
когда она стратегически эквивалентна игре, у которой v (S) = 0. (См. 23.1.3 или (27:С) п. 27.4.2.) Согласно сказанному выше,, то же самое относится к игре с постоянной суммой. (Но мы должны использовать наши новые определения несущественности и стратегической эквивалентности.)
Существенность, конечно, определяется как отрицание несущественности.
Применение формулы преобразования (42:5) из п. 42.3.1 к критериям п. 27.4 показывает, что необходимы только небольшие изменения. Формула (27.8) из п. 27.4.1 должна*быть заменена на
(42:11) Y = {v(/)-2 v ((/))} *
так как правая часть этой формулы инвариантна относительно преобразования (42:5) и переходит в (27:8) при v (/) = 0 (т. е. в случае игры с нулевой суммой).
Замена формулы (27:8) формулой (42:11).делает необходимой замену нуля на v (/) в правых частях обеих формул критерия (27:В) из п. 27.4.1. Критерии (27:С) и (27:D) из п. 27.4.2 инвариантны относительно преобразования (42:5) и, следовательно, не изменяются.
42.5.2. Теперь мы можем вернуться к обсуждению понятий композиции и разложения игр, рассматривавшихся в пп. 41.3-41.4, для более широкой области всех игр с постоянной суммой.
Все сказанное в п. 41.3 можно повторить дословно.
Когда мы переходим к п. 41.4, снова возникает сформулированный там вопрос (41 :А). Для того чтобы выяснить, нужны ли теперь какие-либо постулаты из п. 41.3.2, кроме (41:6) или (41:7), нам нужно вместо условий (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 исследовать условия (42:6:а) - (42:6:с) (для всех трех функций vr (/?), уд (£), vH (Т)).
Условия (42:6:а) и (42:6:с) проверяются сразу, точно так же как и условия (25:3:а) и (25:3:с) в п. 41.4. Что касается условия (42:6:Ь), то к нему применимо по существу доказательство условия (25:3:Ь), приведенное в п. 41.4, но на этот раз не требуется никаких дополнительных условий (подобных условиям (41:8) или (41:9) п. 41.4). Для упрощения изложения мы приведем это доказательство полностью.
Условие (42:6:Ь). Мы установим его справедливость для функций уд (S) и vH (Г), предполагая, что функция vr (R) ему удовлетворяет. Ввиду симметрии достаточно рассмотреть только функцию Уд (S).