назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [ 117 ] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


117

42.3.2. Как указывалось в пп. 25.3.1 и 26.2, v (S) является характеристической функцией игры с нулевой суммой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. (Доказательство этого факта приводилось в пп. 25.3.3 и 26.1.) Какими станут эти условия в случае игры с постоянной суммой?

Для ответа на этот вопрос вспомним, что из указанных условий (25:3:а) - (25:3:с) вытекает равенство (25:4) из п. 25.4.1. Поэтому мы можем добавить к ним (25:4) и видоизменить условие (25:3:Ь) прибавлением v (/) к его правой части (сохраняя ввиду (25:4) равенство). Таким образом, характеристические функции v (S) всех игр с нулевой суммой удовлетворяют следующим условиям:

(42:6:а) v(0) = O,

(42:6:Ь) v (S) + v ( £) = v (/),

(42:6:с) v (S) + v (T) v(S[] Г), если S[)T = 0,

(42:6:d) v(/) = 0.

Но характеристические функции v (S) всех игр с постоянной суммой получаются из этих характеристических функций v (S) с помощью преобразования (42:5) п. 42.3.1. Как повлияет это преобразование на условия (42:6:а) - (42:6:d)?

Непосредственно проверяется, что условия (42:6:а) - (42:6:с) никак не затрагиваются, а условие (42:6:d) полностью нарушается *). Итак, мы видим, что

(42:D) v (S) является характеристической функцией игры с постоянной суммой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (42:6:а) - (42:6:с).

(Теперь мы будем писать v (S) вместо v (5).)

Как упоминалось выше, условие (42:6:d) больше не выполняется. Однако мы имеем

(42:6:d*) - v(I) = s.

Действительно, этот факт вытекает из равенства (42:3) и рассуждений п. 25.1.3. Его можно также вывести, сравнивая сноску 1 на. стр. 360 и сноску 1 на этой стр. (настоящая функция v (S) соответствует фигурирующей там функции v (5)). Кроме того, равенство (42:6:d*) интуитивно ясно: коалиция, состоящая из всех игроков, получает фиксированную сумму s игры.

42.4, Дележи, доминирование, решения в новой теории

42.4.1. Начиная с этого места,мы будем рассматривать характеристические функции произвольных игр с постоянной суммой, т. е. функции v (£), подчиненные только условиям (42:6:а) - (42:6:с).

Наша первая задача, естественно, будет состоять в распространении на эту более широкую область введенных в п. 30.1.1 понятий дележей, доминирования и решения.

*) Согласно (42:5) правая часть равенства (42:6:d) переходит в 2а* = 2а* а эта сумма совершенно произвольна. i==1



Начнем с распределений, или дележей. Мы можем перенести из п. 30.1.1 их интерпретацию как векторов

Ла = {аи . . ., ап}. Из условий (30:1) и (30:2) мы можем оставить неизменным (30:1): (42:7) a*v((0);

соображения в пользу этого *) здесь столь же обоснованы, как и ранее. Однако условие (30:2) следует изменить. Так как постоянная сумма игры равна s (см. (42:3) и (42:6:d*)), каждый дележ должен распределять именно эту величину, т. е. естественно потребовать выполнения равенства

<42:8) 2а* = *.

Ввиду (42:6:d*) это эквивалентно равенству (42:8*) S-v(/)2).

Определения эффективности, доминирования, решения мы переносим без изменений из п. 30.1.1 3), так как обоснования, которые мы привели к этим определениям, остаются в силе и для нашего обобщения.

42.4.2. Эти рассуждения подтверждаются еще следующим фактом:

(42:Е) При нашем новом понятии стратегической эквивалентности игр Г, Г с постоянной суммой 4) существует изоморфизм между их дележами, т. е. взаимно однозначное отображение дележей Г на дележи Г, при котором понятия п. 30.1.1 5) остаются инвариантными.

Этот факт является аналогом (31:Q) из п. 31.3.3 и может быть доказан таким же способом. Как и там, мы определяем соответствие

(42:9) а а

между дележами а = {at, ..., ап} игры Г и дележами а = {а[, ..., ап) игры Г формулой

(42:10) ak = ak + a°k,

где а[, . . ., определены формулой (27:2) п. 27.1.1.

После этого доказательство (31 :Q) п. 31.3.3 почти буквально повторяется. Единственное отличие состоит в том, что условие (30:2) из п. 30.1.1 заменяется на (42:8), но так как ввиду (27:2) из п. 27.1.1 v (/) = v (I) +

+ Заь это равенство также оказывается выполненным 6). Читатель, i=i

который вернется к п. 31.3, увидит, что все остальное, сказанное там, в равной степени применимо к нашему случаю.

*) ctf < v ((£)) было бы неприемлемо, ср., например, начало п. 29.2.1.

2) В частном случае игры с нулевой суммой s = v (/) = 0, так что (42:8) и (42:8*) совпадают с (30:2), как это и должно быть.

3) То есть, соответственно (30:3); (30:4:а) - (30:4:с); (30:5:а), (30:5:Ь) или (30:5:с).

4) Как определено в конце п. 42.2.2, т. е. формулой (27:2) п. 27.1.1 без (27:1).

5) Определенные заново в п. 42.4.1.

6) А это единственное место в упомянутом доказательстве, где используется

равенство 2ai = 0 (т- е- (27:1) из п. 27.1.1, которого мы больше не требуем). i=l



42.5. Существенность, несущественность и разложимость в новой теории

42.5.1. Из утверждения (42:С) п. 42.2.3 мы знаем, что каждая игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой. Следовательно, (42:Е) дает нам возможность перенести общие результаты § 31 с игр с нулевой суммой на игры с постоянной суммой, переходя от последнего класса к первому через стратегическую еквивалентность.

Это вынуждает нас определить несущественность для игры с постоянной суммой как ее стратегическую эквивалентность некоторой несущественной игре с нулевой суммой. Мы можем поэтому утверждать следующее:

(42:F) Игра с нулевой суммой несущественна тогда и только тогда,,

когда она стратегически эквивалентна игре, у которой v (S) = 0. (См. 23.1.3 или (27:С) п. 27.4.2.) Согласно сказанному выше,, то же самое относится к игре с постоянной суммой. (Но мы должны использовать наши новые определения несущественности и стратегической эквивалентности.)

Существенность, конечно, определяется как отрицание несущественности.

Применение формулы преобразования (42:5) из п. 42.3.1 к критериям п. 27.4 показывает, что необходимы только небольшие изменения. Формула (27.8) из п. 27.4.1 должна*быть заменена на

(42:11) Y = {v(/)-2 v ((/))} *

так как правая часть этой формулы инвариантна относительно преобразования (42:5) и переходит в (27:8) при v (/) = 0 (т. е. в случае игры с нулевой суммой).

Замена формулы (27:8) формулой (42:11).делает необходимой замену нуля на v (/) в правых частях обеих формул критерия (27:В) из п. 27.4.1. Критерии (27:С) и (27:D) из п. 27.4.2 инвариантны относительно преобразования (42:5) и, следовательно, не изменяются.

42.5.2. Теперь мы можем вернуться к обсуждению понятий композиции и разложения игр, рассматривавшихся в пп. 41.3-41.4, для более широкой области всех игр с постоянной суммой.

Все сказанное в п. 41.3 можно повторить дословно.

Когда мы переходим к п. 41.4, снова возникает сформулированный там вопрос (41 :А). Для того чтобы выяснить, нужны ли теперь какие-либо постулаты из п. 41.3.2, кроме (41:6) или (41:7), нам нужно вместо условий (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 исследовать условия (42:6:а) - (42:6:с) (для всех трех функций vr (/?), уд (£), vH (Т)).

Условия (42:6:а) и (42:6:с) проверяются сразу, точно так же как и условия (25:3:а) и (25:3:с) в п. 41.4. Что касается условия (42:6:Ь), то к нему применимо по существу доказательство условия (25:3:Ь), приведенное в п. 41.4, но на этот раз не требуется никаких дополнительных условий (подобных условиям (41:8) или (41:9) п. 41.4). Для упрощения изложения мы приведем это доказательство полностью.

Условие (42:6:Ь). Мы установим его справедливость для функций уд (S) и vH (Г), предполагая, что функция vr (R) ему удовлетворяет. Ввиду симметрии достаточно рассмотреть только функцию Уд (S).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [ 117 ] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]