ства (25:1) (т. е. на (42:1)), и, следовательно, его нужно было бы провести заново.
В конце концов этот пересмотр станет необходим (см. главу XI), но еще не на данном этапе.
Для того чтобы получить точное представление о том, что именно нам необходимо сейчас, проведем дополнительные исследования, которым посвящены пп. 42.2.1 и 42.2.2.
42.2. Стратегическая эквивалентность. Игры с постоянной суммой
42.2.1. Рассмотрим игру Г с нулевой суммой, которая может удовлетворять условиям (41:6) и (41:8), а может и недудовлетворять им. Перейдем от игры Г к стратегически эквивалентной ей в смысле пп. 27.1.1 и 27.1.2 игре Г с введенными в этих пунктах числами a°v . . ., а. Очевидно, что выполнение условия (41:6) для Г эквивалентно его выполнению для Г *).
Для условия (41:8) положение совершенно иное. Переход от Г к Г изменяет левую часть (41:8) на величину 2 a°k и, следовательно, из выпол-
нения (41:8) в одном случае не следует его выполнение в другом. Действительно, имеет место следующее утверждение.
(42:А) Для любой игры Г можно выбрать стратегически эквивалентную ей игру Г, .удовлетворяющую условию (41:8).
Доказательство. Утверждение состоит в том, что мы можем выбрать такие числа а?, . . ., aQn, что 2 <4 = 0 (условие (27:1) из п. 27.1.1) и
v(/) + 2<4=o.
Это, очевидно, возможно, если только / Ф 0 или / Ф /, так как тогда величине 2aft можно придать любое значение. Если же / = 0 или / = /,
то доказывать нечего, так как тогда v (/) == 0 ввиду (25.3:а) из п. 25.3.1 и (25:4) из п. 25.4.1.
Этот результат можно интерпретировать следующим образом: если мы рассматриваем только игры с нулевой суммой 2), то условие (41:6) выражает тот факт, что, хотя сама игра Г может и не быть разложимой, она стратегически эквивалентна некоторой разложимой игре Г 3).
42.2.2. Полученный выше строгий результат показывает, в чем именно состоит слабость нашей теории. Разложимость является важным стратегическим свойством, и поэтому положение, при котором одна из двух стратегически эквивалентных игр считается разложимой, а другая нет, нежелательно. Необходимо поэтому так расширить эти понятия, чтобы свойство разложимости стало инвариантным относительно стратегической эквивалентности.
Другими словами, мы хотим так модифицировать наши понятия, чтобы преобразование (27:2) из п. 27.1.1, определяющеестратегическую
х) Ввиду (27:2) из п. 27.1.1. Заметим, что vr (S), vr (S) из (42:А) совпадают с v (S), v (S) из (27:2) п. 27.1.1.
2) То есть мы требуем выполнения этого условия не только для Г, но также для ее компонент Д, Н.
3) Понимание компонент игры в п. 35.2.2 в точности совпадает с этим, что непосредственно видно из замечания на стр. 316.
эквивалентность, не влияло на соотношение между разложимой игрой Г и ее компонентами А и Н. Это соотношение выражается равенством (41:3)
(4:2) vr (S U Т) = vA (S) + vH (Т) для S с= /, Т s К.
Если мы теперь применим преобразование (27:2) с одними и теми же а£ ко всем трем играм Г, А, Н, то соотношение (42:2), очевидно, не нарушится. Затруднение вызывает только предварительное условие (27:1). Соответственно для игр Г, А, Н оно утверждает, что
2«&=о, 2а°*=о, 2«°*=о,
k£I k£J k£K
в то время как теперь мы предполагаем, что выполнено первое соотношение, а два других могут нарушаться.
Поэтому естественный способ состоит в полном отказе от условия (27:1) из п. 27.1.1, т. е. в расширении области рассматриваемых игр включением в нее всех игр, стратегически эквивалентных играм с нулевой суммой, причем стратегическая эквивалентность определяется только преобразованием (27:2), без требования выполнения условия (27:1).
Как мы видели в п. 27.1.1, это равносильно замене функций
Жк (т4, ..., тд)
игры новыми функциями
Жъ (т1? . . ., тп) == Жк (т1? . .., тп) + а%.
(На a°v . . ., ап больше не накладываются условия (27:1).) Легко охарактеризовать систему функций Жи (т1? . . ., тп), получаемых этим способом из системы функций Жк (т4, . . ., хп), удовлетворяющих условию (42:1) из п. 42.1. Характерным для них является свойство
(42:3) 2 Mkfa, ...,т„) = *1)
(вместо упомянутого свойства (42:1)).
Подводя итоги, мы приходим к следующему:
(42:В) Мы расширяем область рассматриваемых игр, переходя от игр с нулевой суммой к играм с постоянной суммой 2). В то же время мы расширяем введенное в п. 27.1.1 понятие стратегической эквивалентности, по-прежнему определяя его упомянутым преобразованием (27:2), но опуская условие (27:1).
42.2.3. Важно понять, что приведенные выше обобщения не изменяют наших основных представлений относительно стратегической эквивалентности. Лучше всего в этом убедиться, рассматривая следующие два момента.
Во-первых, в п. 25.2.2 мы указали, что предполагаем изучить все количественные свойства игры только с помощью ее характеристической функции. Необходимо понять, что доводы в пользу этого соображения столь же обоснованы для рассматриваемых теперь игр с постоянной сум-
2) 5 = 0 - произвольная константа. Очевидно, что в преобразовании (27:2),.
в результате которого эта игра получается из игры с нулевой суммой, 2jak - 5-
2) Это придает точный смысл утверждению, приведенному в начале п. 42.1, согласно которому мы еще не подготовлены к рассмотрению произвольных игр.
мой, как и для первоначального (более узкого) класса игр с нулевой суммой. Эти доводы состоят в следующем:
(42:С) Каждая игра с постоянной суммой стратегически эквивалент-
на некоторой игре с нулевой суммой.
Доказательство. Преобразование (27:2), очевидно, заменяет
число s, определенное формулой (42:3), на s -f- 2а&- Теперь можно выбрать
числа aj, . . ., так, чтобы выполнялось равенство s + 2 a°k - 0>
т. е. перевести данную игру с постоянной суммой в стратегически эквивалентную ей игру с нулевой суммой.
Во-вторых, новое понятие стратегической эквивалентности необходимо только для вновь введенных игр с нулевой суммой. Для игр с нулевой суммой старое и новое понятия эквивалентности совпадают. Другими словами, если две игры с нулевой суммой получаются одна из другой с помощью преобразования (27:2) п. 27.1.1, то автоматически выполнено равенство (27:1). Действительно, это уже отмечалось в сноске 2 на стр. 266.
42.3. Характеристическая функция в новой теории
42.3.1. Если дана игра Г с постоянной суммой (с функциями ffik (ti» • • •» удовлетворяющими условию (42:3)), то, повторяя определения п. 25.1.3 *), мы можем ввести ее характеристическую функцию v (S). С другой стороны, следуя рассуждениям пп. 42.2.2 и 42.2.3, мы, как и в п. 42.2.2, можем получить игру Г с функциями 5Гь (Ti> . . ., хп) из игры с нулевой суммой Г с функциями &С(х . . ., хп) путем преобразования
(42:4) $ГСк (т4, ..., тп) = Жк (т4, ..., тЛ) + а\
с соответствующими a°v ..., а°п (см. сноску 1 на стр. 266), а затем определить характеристическую функцию v (S) игры Гформулой (27.2)п. 27.1.1:
(42:5) v(5)=v(5) + S ««.
Эти два определения эквивалентны, т. е. функция v (S), определенная формулами (42:4), (42:5), совпадает с функцией, полученной повторением рассуждений п. 25.1.3. Действительно, непосредственное изучение формул п. 25.1.3 сразу показывает, что в результате подстановки в них (42:4) получается формула (42:5) 2).
3 амечание. Так как мы рещили определять функцию v (S) с помощью только формул (42:2) и (42:5), мог бы возникнуть вопрос о корректности ее определения. Именно, данная игра Г с постоянной суммой с помощью преобразования (42:4), очевидно, может быть получена из многих различных игр нулевой суммой Г; всегда ли тогда формула (42:5) Сбудет определять одну и ту же функцию v (£)?
Нетрудно было бы доказать непосредственно, что это так. Это, однако, не требуется, потому что мы показали, что функция v (S) определенная формулой (42:5), совпадает с функцией, определенной в п. 25.1.3, так что v (S) определена корректно с помощью одной только игры Г.
А) Хотя игра Г больше не является игрой с нулевой суммой, все рассуждения п. 25.1.3 можно повторить дословно со следующими двумя исключениями. К правым частям равенств (25:1) и (25:2) п. 25.1.3 мы должны добавить s (ввиду того, что вместо (42.1) выполнено равенство (42:3)). Это различие абсолютно несущественно.
2) Легко найти словесное выражение этого факта.