подстановка (41:4), (41:5) в (41:3) с использованием (41:1) для выражения R через S и Т дает
(41:6) vr (S[)T) = vr (S) + vr (T) для SJ, K.
Если для выражения S, T через R мы вместо (41:1) используем (41:2), то мы получим
(41:7) vr (R) = vr (R П /) + vr (Я П К) для RgI.
41.3.3. Для того чтобы должным образом выяснить роль уравнений (41:6), (41:7), необходим детальный пересмотр основных принципов, на которых <жи основаны. Это будет сделано в пп. 41.4-42.5.2. Однако два замечания относительно интерпретации этих уравнений можно сделать сразу.
Первое. Формула (41:6) выражает тот факт, что коалиция между игроками множества S J и игроками множества Т s К непривлекательна: в то время как могут существовать побудительные причины для того, чтобы игроки из / образовали коалицию между собой (и аналогично для игроков из К), не существует сил, действующих через границы множеств J и К.
Второе. Это дальнейшее замечание, являющееся продолжением сделанного в конце п. 27.4.3, предназначено для читателей, знакомых с математической теорией меры: (41:7) есть в точности определение измеримости, данное Каратеодори. Это понятие является фундаментальным в теории аддитивной меры, и подход Каратеодори к ней, по-видимому, до сих пор остается наилучшим технически г). Появление здесь этого подхода является замечательным фактом, заслуживающим дальнейшего изучения.
41.4. Анализ разложимости
41.4.1. Мы получили критерии (41:6), (41:7) разложимости игры Г подстановкой в основное условие (41:3) выражений для Уд (5), Vr(T), полученных из (41:4), (41:5). Этот вывод, однако, содержит пробел: мы не проверили, можно ли найти две такие игры А, Н, которые порождают функции va (£), vH (Т), определенные формально равенствами (41:4), (41:5).
Формализация этих дополнительных требований не встречает трудностей. Как мы знаем из п. 25.3.1, эти требования означают, что функции va (S) и vh (Т) удовлетворяют условиям (25:3:а) - (25:3:с). Нужно понять, что мы предполагаем, что заданная функция vr (R) порождается игрой Г, т. е. что vr (R) этим условиям удовлетворяет. Поэтому возникает следующий самостоятельный вопрос:
(41:А) Функция vr (R) удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1, а также сформулированному выше условию (41:6) или ,что то же самое, условию (41:7). Будут ли тогда также удовлетворять условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 функции va (/5), vH (Г), определенные равенствами (41:4), (41:5)? А если нет, то какие еще условия должны быть наложены на функцию vr (Л)?
Для решения этого вопроса мы проверим условия (25:3:а)?- (25:3:с) п. 25.3.1 отдельно для Уд (S) и для vH (Т). Проверять их удобно в другом порядке.
*) См. С. Caratheodorv, Vorlesungen tiber Reelle Funktionen, Berlin, 1918r Chapt. V.
41.4.2. Условие (25:3:а). Ввиду (41:4) и (41:5) выполнение этого условия для Уд (S) и vH (Т) следует из его выполнения для vr (i?).
Условие (25:3:с). Ввиду (41:4) и (41:5), это условие переносится с у г (R) на Уд (S) и vH (Т); при этом необходимо только перейти от ограничения R I к ограничениям S / и Т К.
Перед обсуждением оставшегося условия (25:3:Ь) сделаем замечание об утверждении (25:4) из п. 25.4.1. Так как это свойство является следствием условий (25:3:а) - (25:3:с), то оправдано выведение из него следствий, и мы увидим, что его использование упрощает исследование условия (25:3:Ь).
С этого момента нам придется одновременно использовать дополнения множеств в /, /, К. Поэтому необходимо избегать обозначения -S и писать вместо него соответственно I - S, J - S, К - S.
Условие (25:4). Для функций Уд (S) и vH (Т) роль множества / играют соответственно множества J и К. Поэтому для них это условие принимает вид:
уд (/) = 0, vH(*) = 0.
Ввиду (41:4), (41:5) это условие означает, что (41:8) vr(/) = 0,
(41:9) уг(К) = 0.
Так как К = 1 - /, условие (25:3:Ь) (примененное к функции уг(£)7 для которой, как предполагается, оно выполнено) дает
(41:10) vr(/) + vr(#) = 0.
Таким образом, в силу тождества (41:10), каждое из равенств (41:8) и (41:9) влечет другое.
В лице (41:8) или (41:9) мы фактически имеем новое условие, не вытекающее из (41:6) или (41:7).
Условие (25:3:Ь). Выполнение этого условия для Уд (S) и vH (Т) мы выведем из предположения о его выполнении для vr (R). Ввиду симметрии достаточно рассмотреть vA (S).
Должно быть доказано соотношение
(41:11) уд (S) + уд (J-S) -0.
Ввиду (41:4) это означает, что
(41:12) vr (S) + уг (/ - S) = 0.
Вследствие условия (41:8), выполнения которого мы так или иначе должны потребовать, это равенство можно записать в виде
(41:13) vr (S) + у г (/-£) = vr (/).
(Конечно, S J).
Чтобы доказать (41:13), применим (25:3:Ь) к vr (R), где R = J - S и R = /. Для этих множеств соответственно / - R = S\j К и I - R - = К. Тогда (41:13) принимает вид
vr (£)-vr (S[JK)=-yt (К)
vr(5Uif) = vr(5) + vrW, а это есть частный случай (41:6), где Т - К.
Таким образом, мы заполнили упомянутый в начале этого пункта пробел и ответили на вопросы (41:А).
(41:В) На функцию vr (R) должно быть наложено еще одно условие: (41:8) или (41:9).
Все установленное отвечает на вопрос п. 41.3.2 относительно разложимости.
(41 :С) Игра Г разложима относительно множеств J и К (см. п. 41.3.2)
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (41:6) (т. е. (41:7)) и (41:8) (т. е. (41:9)).
41.5. Желательность модификации
41.5.1. Два условия в (41 :С), которые, как мы доказали, эквивалентны разложимости, имеют весьма различную природу. Условие (41:6) (т. е. (41:7)) весьма существенно, в то время как (41:8) (т. е. (41:9)) выражает лишь довольно случайное обстоятельство. В дальнейшем этот факт мы оправдаем строго, но сначала будут полезны качественные замечания. Прототипом нашего понятия разложения была игра, упомянутая в начале п. 41.2.1, именно, игра, соответствующая вершине VIII в п. 35.2. Но эта игра удовлетворяет условию (41:6) и не удовлетворяет условию (41:8). (Первое вытекает из (35:7) в п. 35.2.1, а второе - из того, что v (/) = v ((1, 2, 3)) = 1 Ф 0.) Тем не менее эту игру мы рассматриваем как разложимую (где / = (1, 2, 3), К = (4)); каким образом тогда оказалось возможным, что она нарушает условие (41:8), которое, как мы установили, является необходимым для разложимости?
41.5.2. Ответ на это прост. Для описанной выше игры компоненты А (с / = (1, 2, 3)) и Н (с К = (4)) не полностью удовлетворяют условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. Точнее, они не удовлетворяют следствию (25:4) п. 25.4.1: неверно, что уд (/) = vh (К) = 0 (а именно из этого условия мы и вывели (41:8)). Другими словами, компоненты игры Г не являются играми с нулевой суммой. Конечно, Этот факт был полностью выяснен в ц. 35.2.2, где ему было уделено должное внимание.
Поэтому мы должны попытаться освободиться от условия (41:8), понимая, что это может заставить нас рассматривать игры, отличные от игр с нулевой суммой.
§ 42. МОДИФИКАЦИЯ ТЕОРИИ 42.1. Неполный отказ от условия равенства суммы нулю
42.1. Полный отказ от условия равенства нулкГсуммы для наших игр *) означал бы, что функции $£k . . ., тп), которые характеризуют ее в смысле п. 11.2.3, совершенно произвольны. Иначе говоря, опускается требование
(42:1) S SPfc(Tl, ...,t»)s0
пп. 11.4 и 25.1.3 и вместо него не накладывается никаких других условий. Это потребовало бы пересмотра значительной части всей теории, так как построение характеристической функции в § 25 опиралось на равен-
*) Мы снова обозначим игроков через 1, . . ., п.