назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [ 115 ] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


115

подстановка (41:4), (41:5) в (41:3) с использованием (41:1) для выражения R через S и Т дает

(41:6) vr (S[)T) = vr (S) + vr (T) для SJ, K.

Если для выражения S, T через R мы вместо (41:1) используем (41:2), то мы получим

(41:7) vr (R) = vr (R П /) + vr (Я П К) для RgI.

41.3.3. Для того чтобы должным образом выяснить роль уравнений (41:6), (41:7), необходим детальный пересмотр основных принципов, на которых <жи основаны. Это будет сделано в пп. 41.4-42.5.2. Однако два замечания относительно интерпретации этих уравнений можно сделать сразу.

Первое. Формула (41:6) выражает тот факт, что коалиция между игроками множества S J и игроками множества Т s К непривлекательна: в то время как могут существовать побудительные причины для того, чтобы игроки из / образовали коалицию между собой (и аналогично для игроков из К), не существует сил, действующих через границы множеств J и К.

Второе. Это дальнейшее замечание, являющееся продолжением сделанного в конце п. 27.4.3, предназначено для читателей, знакомых с математической теорией меры: (41:7) есть в точности определение измеримости, данное Каратеодори. Это понятие является фундаментальным в теории аддитивной меры, и подход Каратеодори к ней, по-видимому, до сих пор остается наилучшим технически г). Появление здесь этого подхода является замечательным фактом, заслуживающим дальнейшего изучения.

41.4. Анализ разложимости

41.4.1. Мы получили критерии (41:6), (41:7) разложимости игры Г подстановкой в основное условие (41:3) выражений для Уд (5), Vr(T), полученных из (41:4), (41:5). Этот вывод, однако, содержит пробел: мы не проверили, можно ли найти две такие игры А, Н, которые порождают функции va (£), vH (Т), определенные формально равенствами (41:4), (41:5).

Формализация этих дополнительных требований не встречает трудностей. Как мы знаем из п. 25.3.1, эти требования означают, что функции va (S) и vh (Т) удовлетворяют условиям (25:3:а) - (25:3:с). Нужно понять, что мы предполагаем, что заданная функция vr (R) порождается игрой Г, т. е. что vr (R) этим условиям удовлетворяет. Поэтому возникает следующий самостоятельный вопрос:

(41:А) Функция vr (R) удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1, а также сформулированному выше условию (41:6) или ,что то же самое, условию (41:7). Будут ли тогда также удовлетворять условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 функции va (/5), vH (Г), определенные равенствами (41:4), (41:5)? А если нет, то какие еще условия должны быть наложены на функцию vr (Л)?

Для решения этого вопроса мы проверим условия (25:3:а)?- (25:3:с) п. 25.3.1 отдельно для Уд (S) и для vH (Т). Проверять их удобно в другом порядке.

*) См. С. Caratheodorv, Vorlesungen tiber Reelle Funktionen, Berlin, 1918r Chapt. V.



41.4.2. Условие (25:3:а). Ввиду (41:4) и (41:5) выполнение этого условия для Уд (S) и vH (Т) следует из его выполнения для vr (i?).

Условие (25:3:с). Ввиду (41:4) и (41:5), это условие переносится с у г (R) на Уд (S) и vH (Т); при этом необходимо только перейти от ограничения R I к ограничениям S / и Т К.

Перед обсуждением оставшегося условия (25:3:Ь) сделаем замечание об утверждении (25:4) из п. 25.4.1. Так как это свойство является следствием условий (25:3:а) - (25:3:с), то оправдано выведение из него следствий, и мы увидим, что его использование упрощает исследование условия (25:3:Ь).

С этого момента нам придется одновременно использовать дополнения множеств в /, /, К. Поэтому необходимо избегать обозначения -S и писать вместо него соответственно I - S, J - S, К - S.

Условие (25:4). Для функций Уд (S) и vH (Т) роль множества / играют соответственно множества J и К. Поэтому для них это условие принимает вид:

уд (/) = 0, vH(*) = 0.

Ввиду (41:4), (41:5) это условие означает, что (41:8) vr(/) = 0,

(41:9) уг(К) = 0.

Так как К = 1 - /, условие (25:3:Ь) (примененное к функции уг(£)7 для которой, как предполагается, оно выполнено) дает

(41:10) vr(/) + vr(#) = 0.

Таким образом, в силу тождества (41:10), каждое из равенств (41:8) и (41:9) влечет другое.

В лице (41:8) или (41:9) мы фактически имеем новое условие, не вытекающее из (41:6) или (41:7).

Условие (25:3:Ь). Выполнение этого условия для Уд (S) и vH (Т) мы выведем из предположения о его выполнении для vr (R). Ввиду симметрии достаточно рассмотреть vA (S).

Должно быть доказано соотношение

(41:11) уд (S) + уд (J-S) -0.

Ввиду (41:4) это означает, что

(41:12) vr (S) + уг (/ - S) = 0.

Вследствие условия (41:8), выполнения которого мы так или иначе должны потребовать, это равенство можно записать в виде

(41:13) vr (S) + у г (/-£) = vr (/).

(Конечно, S J).

Чтобы доказать (41:13), применим (25:3:Ь) к vr (R), где R = J - S и R = /. Для этих множеств соответственно / - R = S\j К и I - R - = К. Тогда (41:13) принимает вид

vr (£)-vr (S[JK)=-yt (К)

vr(5Uif) = vr(5) + vrW, а это есть частный случай (41:6), где Т - К.



Таким образом, мы заполнили упомянутый в начале этого пункта пробел и ответили на вопросы (41:А).

(41:В) На функцию vr (R) должно быть наложено еще одно условие: (41:8) или (41:9).

Все установленное отвечает на вопрос п. 41.3.2 относительно разложимости.

(41 :С) Игра Г разложима относительно множеств J и К (см. п. 41.3.2)

тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (41:6) (т. е. (41:7)) и (41:8) (т. е. (41:9)).

41.5. Желательность модификации

41.5.1. Два условия в (41 :С), которые, как мы доказали, эквивалентны разложимости, имеют весьма различную природу. Условие (41:6) (т. е. (41:7)) весьма существенно, в то время как (41:8) (т. е. (41:9)) выражает лишь довольно случайное обстоятельство. В дальнейшем этот факт мы оправдаем строго, но сначала будут полезны качественные замечания. Прототипом нашего понятия разложения была игра, упомянутая в начале п. 41.2.1, именно, игра, соответствующая вершине VIII в п. 35.2. Но эта игра удовлетворяет условию (41:6) и не удовлетворяет условию (41:8). (Первое вытекает из (35:7) в п. 35.2.1, а второе - из того, что v (/) = v ((1, 2, 3)) = 1 Ф 0.) Тем не менее эту игру мы рассматриваем как разложимую (где / = (1, 2, 3), К = (4)); каким образом тогда оказалось возможным, что она нарушает условие (41:8), которое, как мы установили, является необходимым для разложимости?

41.5.2. Ответ на это прост. Для описанной выше игры компоненты А (с / = (1, 2, 3)) и Н (с К = (4)) не полностью удовлетворяют условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. Точнее, они не удовлетворяют следствию (25:4) п. 25.4.1: неверно, что уд (/) = vh (К) = 0 (а именно из этого условия мы и вывели (41:8)). Другими словами, компоненты игры Г не являются играми с нулевой суммой. Конечно, Этот факт был полностью выяснен в ц. 35.2.2, где ему было уделено должное внимание.

Поэтому мы должны попытаться освободиться от условия (41:8), понимая, что это может заставить нас рассматривать игры, отличные от игр с нулевой суммой.

§ 42. МОДИФИКАЦИЯ ТЕОРИИ 42.1. Неполный отказ от условия равенства суммы нулю

42.1. Полный отказ от условия равенства нулкГсуммы для наших игр *) означал бы, что функции $£k . . ., тп), которые характеризуют ее в смысле п. 11.2.3, совершенно произвольны. Иначе говоря, опускается требование

(42:1) S SPfc(Tl, ...,t»)s0

пп. 11.4 и 25.1.3 и вместо него не накладывается никаких других условий. Это потребовало бы пересмотра значительной части всей теории, так как построение характеристической функции в § 25 опиралось на равен-

*) Мы снова обозначим игроков через 1, . . ., п.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [ 115 ] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]