назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [ 114 ] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


114

41.2. Первый тип. Композиция и разложение

41.2.1. Рассмотрим сначала вершину VIII куба] Q, изученную в п. 35.2. Как было выяснено в п. 35.2.2, эта игра имеет следующую характерную черту: множество четырех игроков распадается в ней на два отдельных подмножества (одно, состоящее из трех игроков, а другое - из одного), которые не взаимодействуют друг с другом. Иначе говоря, можно считать, что игроки, составляющие каждое множество, участвуют в отдельной игре, имеют дело друг с другом и совершенно не связаны с игроками из другого множества.

Естественным обобщением этой игры является игра Г п = к + I лиц, обладающая следующим свойством: множество игроков распадается на два подмножества, соответственно из к и I элементов, причем ни один игрок из одного подмножества не взаимодействует ни с одним игроком из другого подмножества. Таким образом, можно считать, что игроки каждого подмножества участвуют в отдельной игре (эти игры можно соответственно обозначить через А и Н), взаимодействуют только между собой и совершенно не связаны с игроками из другого множества.

Эту связь между играми Г, А и Н мы будем описывать в следующих терминах: композиция игр А и Н дает игру Г и, обратно, игру Г можно разложить на компоненты А и Н *).

3 амечание. При первоначальном описании игры в п. 35.2 второе множество состояло из одного игрока, который назывался также «болваном». Это обстоятельство наводит на мысль о следующем обобщении, отличном от описанного выше: это - игра, в которой игроки распадаются на два таких подмножества, что игроки первого подмножества взаимодействуют только между собой и т. д., а игроки второго подмножества не оказывают влияния на игру ни в отношении своей собственной судьбы, ни в отношении судьбы остальных игроков (такие игроки тогда являются «болванами»).

Это, однако, лишь частный случай обобщения, которое мы рассматриваем. Оно получится, если в качестве игры Н второго подмножества игроков взять несущественную игру, т. е. такую игру, в которой каждому игроку приписан определенный выигрыш, на который ни один из игроков не может влиять. (См. п. 27.3.1 и конец п. 43.4.2. Возможно, что игрок в несущественной игре мог бы ухудшить свое положение, играя неподходящим образом. Для «болвана» нам следовало бы исключить эту возможность, но этот факт не имеет большого значения.)

Общее исследование, которое мы собираемся предпринять (для случая, когда обе игры А и Н существенны), обнаружит явление, не проявляющееся в том частном случае, который описывает вершина VIII п. 35.2, т. е. в случае «болванов» (игра Н несущественна). Это новое явление будет обсуждаться в пп. 46.7, 46.8, а случай «болванов», когда ничего нового не наблюдается,- в п. 46.9.

41.2.2. Прежде чем мы точно сформулируем приведенные выше словесные определения, уместно сделать некоторые качественные замечания.

Во-первых, надо заметить, что наш метод композиции и разложения во многом сходен с методом, который успешно применялся во многих областях современной математики 2). Так как природа этих вопросов требует высокой математической техники, мы здесь не будем больше говорить о них. Достаточно указать на то, что предлагаемый метод частично был мотивирован именно этими аналогиями. Исчерпывающие, но не тривиальные результаты, которые мы получим, а также сможем использовать для дальнейших интерпретаций, с технической точки зрения являются довольно обнадеживающим признаком.

*) Представляется естественным распространить понятия композиции и- разложения на случай более чем двух компонент. Это будет проделано в пп. 43.2 и 43.3.

2) См. G. Birkhoff and MacLane: A Survey of Modern Algebra, New York, 1941, Chapt. XIIL



41.2.3. Во-вторыхДчитатель сможет почувствовать, что операция композиции имеет совершенно формальную и фиктивную природу. Почему две игры А и Н, в которых участвуют два различных множества игроков, не имеющих абсолютно никакого влияния друг на друга, должны рассматриваться как единая игра Г?

Наше исследование обнаружит, что полное разделение игр А и Н в вопросах, касающихся их правил, не обязательно влечет то же для вопросов, касающихся их решений. Именно, хотя эти два множества игроков не могут влиять друг на друга непосредственно, но тем не менее, когда <щи рассматриваются как единое множество - одно общество,- могут существовать устойчивые нормы поведения, которые устанавливают связи между ними 1). Значение этого обстоятельства будет более полно выяснено, когда мы дойдем до соответствующего места.

41.2.4. Кроме всего сказанного, нужно заметить, что этот метод композиции является довольно обычным как в естественных науках, так и в экономической теории. Так, вполне законно рассматривать как одну две отдельные механические системы, даже если одна из них расположена, скажем, на Юпитере, а другая - на Уране. Точно так же допустимо рассматривать как единое целое внутренние экономики двух государств, даже если мы пренебрегаем связями между ними. Это, конечно, является только предварительным шагом перед введением сил взаимодействия между системами. Так, в нашем первом примере в качестве двух систем мы могли бы выбрать сами планеты Юпитер и Уран (находящиеся в гравитационном поле Солнца), а затем в качестве взаимодействия ввести гравитационные силы, с которыми эти планеты воздействуют друг на друга. Во втором примере взаимодействие появляется с рассмотрением внешней торговли, международных перемещений капитала, переселений и т. п.

Точно так же мы могли бы использовать разложимую игру Г в качестве основы для изучения других, близких игр, которые, в свою очередь, це поддаются разложению 2).

Однако в наших исследованиях эти последние возможности не будут рассматриваться. Наши интересы будут лежать в области связей между понятиями, введенными в начале этого параграфа.

41.3. Точные определения

41.3.1. Перейдемтеперь к точному математическому описанию композиции и разложения игр.

Пусть к игроков 1, . . ., к, составляющих множество / = (1, ... • • -1 к), участвуют в игре А, а I игроков 1", . . ., Z", составляющих множество К = (1", . . Г), участвуют в игре Н. Мы еще раз подчеркиваем, что множества игроков в играх А и Н не пересекаются 3) и что игры А и Н не оказывают никакого влияния друг на друга. Обозначим харак-

*) Имеется некоторая аналогия между этим фактом и отмеченным ранее явлением (см. пп. 21.3, 37.2.1), состоящим в том, что симметрия в правилах игры не обязательно влечет такую же симметрию в решениях.

2) См. п. 35.3.3 в применении к окрестности вершины /, которая, согласно п. 35.2, соответствует разложимой игре. Здесь уместно также напомнить замечание о возмущениях в сноске 2 на стр. 319.

3) Если в двух играх участвуют одновременно одни и те же игроки 1, . . ., я, то имеет место совершенно другая ситуация. В этом случае наблюдается суперпозиция игр, о которой шла речь в п. 27.6.2, а также в п. 35.3.4. Ее влияние на стратегии гораздо более сложно и едва ли может быть описано общими правилами, как это указывалось в п. 35.3.4.



теристические функции этих игр соответственно через Уд (S) и vH (Т), где S е / и Т s .

При образовании составной игры Г для ее п = к + игроков удобно использовать те же самые обозначения 1, . . к, 1", . . Г х). Эти игроки составляют множество

I=sJ[iKs=(it .... к, 1", .... 1", ...,Г).

Очевидно, что каждое множество R I допускает единственное представление в виде

(41:1) R = S[)T, £<=/, ТК,

а обращение этой формулы имеет вид

(41:2) S = R()J, f = i?n#2).

Обозначим характеристическую функцию игры Г через vr (Д), где R I. Интуитивно ясный факт, состоящий в том, что игры А и Н объединяются в игру Г, не влияя друг на друга, имеет следующее количественное выражение: значение коалиции R I в игре Г получается сложением значения ее части S (gzJ) из / в игре А и значения ее части Т К) из I в игре Н. Формально этот факт выражается следующим образом:

(41:3) vr (R) = уд (S) + vH (Т),

где R, Sj Т определяются формулами (41:1) или, что то же самое, формулами (41:2) 3).

41.3.2. Формула (41:3) выражает составную характеристическую функцию vp (R) через ее компоненты уд (S) и vH (Г). Однако эта формула содержит также решение обратной задачи: выразить уд (£), vH (Т) через vr (R). Действительно, Уд (0) = vH (0) = 0 4). Следовательно, полагая в (41:3) сначала Т = 0, а затем 5=0» мы получаем:

(41:4) vA(5) = vr(*y) для 5д/,

(41:5) Ун(Г) = уг(Л для ТК5).

Теперь мы можем выразить факт разложимости игры Г по отношению к двум множествам J ж К. Именно, данная игра Г (с множеством игроков I = J [} К) должна быть такой, чтобы ее можно было разложить на две подходящим образом выбранные игры А (с множеством игроков /) и Н (с множеством игроков К). Сформулированное так свойство игры Г, утверждающее существование неизвестных игр А, Н, является неявным. Однако оно будет выражено как явное свойство Г.

Действительно, если существуют две такие игры А и Н, то они должны определяться* соотношениями (41:4), (41:5). Следовательно, рассматриваемое свойство Г состоит в том, что игры А, Н, определенные равенствами (41:4) и (41:5), удовлетворяют соотношению (41:3). Поэтому

г) Вместо обычных обозначений 1, . . ., п.

2) Формулы (41.1) и (41.2) имеют непосредственное словесное содержание. Для читателя может быть полезно его сформулировать.

3) Конечно, нетрудно дать строгий вывод этого соотношения, основываясь на п. 25.1.3. Все изложенное в п. 25.3.2 применимо и к этому случаю.

4) Заметим, что пустое множество 0 является подмножеством как /, так и К; так как / и К не пересекаются,0 будет их единственным общим подмножеством.

б) Это - пример технической полезности нашего взгляда на пустое множество 0 как на коалицию. См. сноску 1 на стр. 261.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [ 114 ] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]