назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [ 113 ] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


113

Таким образом, для двухэлементного множества S = (t, 7) v (S) заменяется на

V"(S):

V (5) + о? + а«

Теперь простое вычисление дает нам

v"((l, 2)) = v"((l, 3)) = V((2, 3)) =

v"((l, 4)) = v"((2, 4)) = v"((3, 4)):

2(3ti-1) 3 + t)

2(3ii-l)

Эта характеристическая функция является нормированной и редуцированной формой, которая использовалась в п. 34.2 для представления в кубе Q. Равенства (34:2) из п. 34.2.1 вместе с приведенным выше выражением дают формулу х4 = х2 = xs - . При х1 = х2 = х3 это соотпо-шение можно также переписать в виде

(40:5)

(3-*,) (3 + л) = 10.

Теперь легко проверить, что (40:5) отображает т)-область (40:3) на •ггобласть (40:4). Это отображение, очевидно, монотонно. Все подробности:

1 2 5

77: -- - L JL I 2 7 S 3 13

А ±

13 7

i 1

~ 1

-> gL 1

5 9 3

! А

! в\с\ в

2 ив 343 • 4 Рис. 46.

видны из рис. 45 и из таблицы соответствующих значений х{ и ц на рис. 46. Кривая на рис. 45 отвечает соотношению (40:5) в плоскости хи т). Ясног что эта кривая является гиперболой (ее дугой).

40.3.3. Наш анализ 1-, 2-, 3-симметричных игр четырех лиц завершился результатом, зафиксированным в п. 36.3.2: такие игры, т. е. диагональ /-центр-У/7/ в Q, представляющая их, делятся на пять классов А - Е, каждый из которых характеризуется определенным качественным типом решений. Расположение зон А - Е на диагонали /-центр-F /, т. е. на интервале - 1 :g х{ 5g 1, показано на рис. 44.

Полученные результаты наводят поэтому на мысль о рассмотрении соответствующих классов симметричных игр пяти лиц Г в надежде, что из сравнения каждого класса с классом 1,2,3-симметричных игр четырех лиц Г появятся некоторые эвристические соображения о нахождении их решений.



Используя таблицу на рис. 46, мы получаем зоны А - Е в интервале -1 rg г] rg 2, являющиеся образами зон 4 - Z? в интервале - 1 arg 1. Все детали видны на рис. 46.

На этой основе можно провести детальный анализ симметричных игр пяти лиц. При этом обнаруживается, что зоны А, В на самом деле играют ту роль, которую мы от них и ожидали, но зоны С, D и Е следует заменить другими: С и D. Эти зоны А - Dr в интервале - у g т) 2 и их прообразы А - D в интервале - 1 rg а :g 1 (что получено опять с помощью таблицы на рис. 46) изображены на рис. 47.

Замечательным оказывается тот факт, что а-диаграмма рис. 47 оказывается более симметричной, чем диаграмма рис. 46, хотя именно последняя! важна для 1-, 2-, 3-симмет- . \r\f\ ti I

ричных игр четырех лиц. н- -\ \ \ i х

40.3.4. Анализ симмет- у L д j 1

ричных игр пяти лиц имеет 5 5

также некоторую эвристиче- \ А \В\С\ 3r I

скую ценность, помимо не- -1-м--1-yjj

посредственно даваемой им 1. qL L A j g

информации. В самом деле, 2 3 3 7

сравнивая симметричную иг- Рис 47.

ру пяти лиц Г с соответствующей ей 1, 2, 3-симметричной игрой четырех лиц Г и изучая различив в их решешх, мы замечаем стратегические эффекты объединения игроков 4 и 5 в одного (составного) игрока 4. В той мере, в которой решения не представляют никаких существенных трудностей (как указано выше, это будет в случае зон А и В), можно сказать, что такое объединение-не влияет на действительно существенные стратегические рассмотрения 1).. С другой стороны, когда возникают такие различия (это случается в остальных зонах), мы сталкиваемся с той интересной ситуацией, что даже если. 4 и 5 кооперируются в Г, их совместная позиция разрушается возможностью их разобщения 2).

Из-за недостатка места дальнейшее обсуждение, основанное на строгом понятии решений, проводиться не будет.

х) Конечно, в решениях игры Г следует ожидать изменений, когда игроки 4 и 5 находятся в различных коалициях. Ясно, что это не может иметь аналогии в Г. Все,, что мы понимаем под отсутствием существенных различий, это то, что дележи в решениях Г, которые указывают на коалицию 4 и 5, должны соответствовать эквивалентным дележам в решении Г.

Эти идеи требуют дальнейшей разработки, которая возможна, но которая завела-бы слишком далеко, чтобы излагать ее здесь.

2) Уже в п. 22.2 наше первое рассмотрение игры трех лиц показало, что раздел дохода внутри коалиции определяется возможностями каждого партнера в случае его отделения. Но ситуация, которую мы сейчас наблюдаем, иная. В рассматриваемой сейчас игре Г может оказаться, что это «фактическое» положение влияет даже на общий выигрыш игроков 4 и 5.

Качественный смысл такой возможности наилучшим образом обнаруживается при рассмотрении следующего положения: когда предварительная коалиция 4 и S торгуется о дальнейших союзах, ее позиция при переговорах зависит от случая, когда их коалиция нерасторжима (в Г), или когда допускается противное (в Г).



Глава IX

КОМПОЗИЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ ИГР

§ 41. КОМПОЗИЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ 41.1. Поиски игр п лиц, для которых можно найти все решения

41.1.1. Из двух предыдущих глав видна та скорость, с которой возрастает сложность нашей задачи при увеличении числа п участников до А% 5 и т. д. Несмотря на всю свою неполноту, приведенные рассуждения обнаружили такую тенденцию к разрастанию, что продвижение по этому пути за пределы случая пяти участников должно представляться совершенно безнадежным *). Кроме того, фрагментарный характер полученных этим способом результатов сильно ограничивает их пригодность для того, чтобы дать нам представление об общих возможностях теории.

С другой стороны, совершенно необходимо хотя бы в какой-то степени выяснить условия, которые начинают проявляться при больших значениях п. Помимо того, что это чрезвычайно вайшо для ожидаемых экономических и социологических приложений, необходимо учитывать также, что каждое увеличение числа п вызывает качественно новые явления. Это было ясно для каждого из случаев п = 2, 3, 4 (см. пп. 20.1.1, 20.2, 35.1.3, а также замечание на стр. 242), и если мы не наблюдали этого при п = 5, то это могло произойти из-за недостатка подробной информации об этом случае. В дальнейшем (см. конец п. 46.12) будет выяснено, что весьма важная качественная особенность появится впервые при п = 6.

ПЛ.2. По изложенным причинам необходимо найти некоторый метод исследования игр с большими значениями п. При существующем состоянии дел мы не можем надеяться на какое-либо систематическое или исчерпывающее исследование. Поэтому естественный подход будет состоять в нахождении некоторых частных классов игр с многими участниками 2), с которыми можно успешно иметь дело. Во многих областях точных и естественных наук обычная практика детального изучения подходящих частных случаев (которые практически поддаются разрешению и вместе с тем воплощают основные принципы) приводит к успехам систематической и исчерпывающей теории.

Мы опишем и обсудим два таких класса частных случаев. Их можно рассматривать как широкие обобщения двух игр четырех лиц, так что каждая из этих игр является прототипом одного из этих двух классов. Эти две игры четырех лиц соответствуют восьми вершинам куба Q, введенного в п. 34.2.2. В действительности мы увидим, что эти вершины представляют только два стратегически различных типа игр: с одной стороны, вершины I, V, VI, VII, рассмотренные в п. 35.1, и с другой, - вершины II, III, IV, VIII, рассмотренные в п. 35.2. Таким образом, вершины 1и VIII куба Q являются прототипами тех обобщений, которым будут посвящены эта и следующая главы.

г) Как было видно в главе VIII, уже для пяти участников пришлось ограничиться симметричным случаем. *

2) Причем они участвуют в игре так, что каждый из них играет существенную

роль!

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [ 113 ] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]