вает г). Таким образом, коалиция из трех (являющаяся дополнением к только что рассмотренной) оказывается выигрывающей. Это описывает нам всю суть дела: в постепенной кристаллизации коалиций точка, в которой происходит переход от проигрыша к победе, находится там, где размер коалиции увеличивается от двух к трем, и в этой точке переход «составляет 100% 2). Резюмируем:

{40:В) г] = 2 описывает игру, в которой единственной целью всех игроков является образование коалиции из трех игроков.

40.2.2. Рассмотрим теперь случай т] = -1/2. В этом случае мы имеем следующее:

(1 (4

v(S) =

если

имеет

элемента.

Коалиция из четырех всегда выигрывает 3).

Теперь выше приведенная формула показывает, что коалиция из двух так же хороша, в смысле доли каждого участника, как и коалиция из четырех; следовательно, разумно и первую, и последнюю коалиции считать выигрывающими в равной мере. Если мы станем на такую более широкую точку зрения относительно того, что такое выигрыш, то мы снова можем утверждать, что о процессе разыгрывания игры можно сказать все, что нужно: в образовании коалиций точка, в которой происходит переход от проигрыша к победе, находится там, где размер коалиции увеличивается от одного к двум: в этой точке мы имеем 100-процентный переход 4).

Резюмируем:

{40:С) г) = -1/2 описывает игру, в которой единственной целью

всех игроков является образование коалиций из двух игроков.

40.2.3. На основании выводов (40:В) и (40:С) было бы совсем просто эвристически угадать решения для соответствующих им игр. Это так же просто, как и строгое доказательство того, что эти множества дележей действительно являются решениями, но мы не будем рассматривать этот вопрос более подробно.

*) См. обсуждение в п. 35.1.1, особенно замечание на стр. 313.

2) Один игрок проигрывает так же, как и двое; четверо выигрывают не больше троих. Конечно, у коалиции из трех нет никаких оснований принять четвертого партнера. Представляется (эвристически) правдоподобным, что если они его примут, то только на наихудших из возможных условий. Но тем не менее такая коалиция из четырех, рассматриваемая как одно целое, выигрывает, так как остающийся изолированный игрок проигрывает.

3) В любой игре п лиц с нулевой суммой любая коалиция из п - 1 выигрывает, так как изолированный игрок всегда проигрывает. (См. сноску выше.)

4) Один игрок проигрывает, а два или четыре игрока выигрывают. Коалиция из трех игроков является составным случаем, заслуживающим некоторого внимания: v (S) = -1/2 для трехэлементного множества S, т. е. это значение получается добавлением - 1 к значению 1/2 для двухэлементного множества. Таким образом, коалиция из трех не лучше, чем выигрывающая коалиция из двух (которая в ней содержится) плюс отдельно остающийся изолированный и проигрывающий игрок. Эта коалиция является такой комбинацией выигрывающей и проигрывающей групп, которая не изменяет прежней ситуации.

Прежде чем перейти к рассмотрению других значений г\ из (40:3), заметим, что выводы (40:В) и (40:С), очевидно, представляют собой прос-стейшие примеры общего метода определения игр. Эта процедура (более общая, чем в главе X, на которую была ссылка в замечании на стр. 313) будет исчерпывающим образом рассмотрена в другом месте (в том числе и для асимметричных игр). Она подчинена некоторым ограничениям арифметической природы; таким образом ясно, что не может быть (существенных, симметричных, с нулевой суммой) игр п лиц, в которых любая коалиция из р лиц выигрывает, если р является делителем п, так как в противном случае могут образоваться nip таких коалиций, каждая из которых выигрывает, и не остается проигрывающих игроков. С другой стороны, то же самое требование при р = п - 1 вообще не накладывает ограничений на игру (см. сноску 3, стр. 347).

40.3. Связь между симметричной игрой пяти лиц и 1,2,3-симметричными играми четырех лиц

40.3.1. Рассмотрим теперь значение г), расположенное внутри интервала (40:3). Эта ситуация в некотором роде аналогична ситуации, рассмотренной в конце п. 35.3. У нас имеются некоторые эвристические соображения относительно условий на обоих концах (40:3) (см. выше). Любая точка г) из (40:3) в некотором смысле «окружена» этими концевыми точками. Точнее говоря, она является их центром тяжести при подходящих весах этих точек х). Замечания, сделанные выше, применяются снова: хотя это построение описывает все игры (40:3) в виде комбинаций крайних случаев (40:В), (40:С), тем не менее неизвестно, могут ли быть стратегии исходной игры получены непосредственно из стратегий крайних игр. Наш опыт в случае игры четырех лиц с нулевой суммой говорит сам за себя.

Имеется, однако, и другая аналогия с играми четырех лиц, дающая некоторые эвристические соображения. Число параметров в нашем случае такое же, как для игр четырех лиц с нулевой суммой, симметричных относительно игроков 1, 2, 3; мы теперь имеем единственный параметр г, пробегающий интервал

(40:3) -4т!2,

а упомянутые игры имели параметр хи изменяющийся в (40:4) - 1х,12).

Эта аналогия между полностью симметричной игрой пяти лиц и 1, 2, 3-симметричной игрой четырех лиц пока чисто формальная. Однако в ней скрывается более глубокий смысл. Чтобы увидеть это, поступим следующим образом.

40.3.2. Рассмотрим симметричную игру пяти лиц, где ц принадлежит интервалу (40:3). Модифицируем теперь эту игру, объединяя игроков 4 и 5 в одно лицо, т. е. в игрока 4. Обозначим новую игру через Г. Важно понять, что Г - совершенно новая игра: мы не утверждали, что в Г игроки 4 и 5 будут обязательно действовать совместно, т. е. составят коалицию, и т. п., или что имеются какие-то общие стратегические при-

1) Читатель легко сможет вывести это представление в смысле замечания на стр. 319 с помощью наших уравнений (40:1), (40:2) в п. 40.1.2.

2) См. п. 35.3.2. В представлении на кубе Q, использованного там, xt = х2 = х3.

чины, которые мотивировали образование именно такой коалиции 1). Мы заставили игроков 4 и 5 объединиться; мы сделали это в результате изменения правил игры и тем самым заменой игры Г на игру Г.

Итак, Г - это симметричная игра пяти лиц, а Г - 1,2, 3-симметрич-ная игра четырех лиц 2). По данному г) для Г мы хотим определить хх для Г, для того, чтобы определить соответствие между (40:3) и (40:4). Затем мы будем исследовать, существуют ли, несмотря на все сказанное, какие-либо связи между стратегиями, т. е. между решениями игр Г и Г.

Характеристическая функция v (S) игры Г выражается непосредственно через характеристическую функцию v (S) игры Г. В самом деле:

v ((1)) = v ((1)) = -1, v ((2)) = v ((2)) = - 1,

v ((3)) = v ((3)) = -1, v ((4)) = v ((4, 5)) = - т,,

v((l, 2)) = v((l, 2))= -т, v((l, 3)) = v((l, 3))= т),

v((2, 3)) = v((2, 3))=-ть v((l, 4)) = v((l, 4, 5)) = t,,

v ((2, 4)) = v ((2, 4, 5)) = n, v ((3, 4)) = v (3, 4, 5)) -= tj,

v((l, 2, 3)) = v((l, 2, 3)) = r, v((l, 2, 4)) = v((l, 2, 4,5)) = 1,

3. 4)) = v((l, 3, 4, 5)) = 1, v((2, 3, 4)) = v((2, 3, 4, 5))=1

и, разумеется,

v(0) = v"((l, 2, 3, 4)) = 0.

В то время как игра Г была нормирована и редуцирована, игра Г" не является таковой, и мы должны привести ее к такой форме, так как мы хотим вычислить для нее параметры х±, х2, х3, т. е. найти ее местоположение в кубе Q из п. 34.2.2.

Поэтому применим сначала формулы редуцирования из п. 27.1.4. Они показывают, что выигрыш игрока к - 1, 2, 3, 4 должен быть заменен величиной al, где

«X = - V ((*)) + 4- К ((1)) + V ((2)) + v ((3)) + v ((4))}.

V = -т {V ((1)) + V ((2)) + v ((3)) + v ((4))}.

Следовательно,

< + < + < =

3(1-Л) „ 3 + г]

з-i-

2 5

Ясно, что здесь 7 -- = > 0 по (40:3); следовательно, игра является существенной. Нормировка осуществляется теперь делением доли каждого игрока на 7.

*) Это должно контрастировать с рассуждениями п. 36.1.2, где аналогичная комбинация двух игроков была составлена при таких условиях, что это объединение казалось стратегически оправданным.

2) Участники игры Г - это игроки 1, 2, 3, 4, 5, все равноправные в исходной игре Г. Участники игры Г - это игроки 1, 2, 3 и составной игрок (4, 5), т. е. игрок 4. Ясно, что 1, 2, 3 играют свою прежнюю роль, а 4 - другую.