назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [ 111 ] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


111

Глава VIII

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ 715

УЧАСТНИКОВ

§ 39. ЧИСЛО ПАРАМЕТРОВ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ ИГР

39.1. Ситуация для п = 3, 4

39.1. Мы знаем, что существенные игры представляют подлинный предмет нашего исследования и что всегда можно предполагать, что они заданы в редуцированной форме с у = 1. В этом представлении существует ровно одна игра трех лиц с нулевой суммой, а игры четырех лиц образуют трехмерное многообразие х). Далее мы увидели, что (единственная) игра трех лиц с нулевой суммой автоматически симметрична, а трехмерное многообразие игр четырех лиц с нулевой суммой содержит ровно одну симметричную игру.

Выразим это для каждого из перечисленных множеств игр посредством указания его размерности, т. е. числа неопределенных параметров, которым следует приписать конкретные (численные) значения, для того чтобы охарактеризовать игру этого класса. Наиболее удобной формой является табл. 24, приведенная далее для всех п 3 2). Только что сделанные утверждения приведены в строках этой таблицы, соответствующих случаям п = 3, 4.

39.2. Ситуация для всех пЗ

39.2.1. Построим теперь интересующую нас таблицу, определяя число параметров игры п лиц с нулевой суммой, как для класса всех таких игр, так и для класса всех симметричных игр.

Характеристическая функция является совокупностью стольких чисел v (S), сколько существует подмножеств S в I = (1, . . ., п), т. е. 2П. Эти числа подчинены ограничениям (25:3:а) - (25:3:с) из п.25.3.1, а также ограничениям, вытекающим из редуцированности формы и нормировки 7 = 1, что выражено в (27:5) из п. 27.2. Согласно (25:3:Ь) можно найти v (-S) по данному v (S); следовательно, число параметров уменьшается в два раза 3), и мы имеем 2П-1 вместо 2п. Затем ограничение (25:3:а) фиксирует одно из остающихся v (S), именно v ((0)); (27:5) фиксирует п из остающихся v (S), именно v ((1)), . . ., v ((п)); следовательно, все перечисленные ограничения уменьшают число параметров на п + 1 4). Таким Образом, мы имеем 2n 1 - лг - 1 параметров. Наконец, ограничение (25:3:с) рассматривать не нужно, так как оно содержит только неравенства.

г) Что касается общих замечаний, см. пп. 27.1.4 и 27.3.2; относительно игры трех лиц с нулевой суммой см. п. 29.1.2; относительно игры четырех лиц с нулевой суммой см. п. 34.2.1.

2) Не имеется существенных игр с нулевой суммой для случаев п = 1, 2!

3) S и -S никогда не являются одним и тем же множеством!

4) s - 0,(1), . . ., (п) отличны друг от друга и от дополнений каждого из этих множеств.



Таблица 24. Существенные игры (редуцированная форма, у = 1)

Число игроков

Все игры

Симметричные игры

3 4 5

* Означает,

3 10 25 56 119

2п-1 - гс--1 что игра единственна

и+1 о

---2 для нечетного п

у - 2 для четного п

Быстрое возрастание элементов в левом столбце табл. 24 может служить еще одним указанием (если таковое необходимо) на возрастание сложности игры вместе с числом ее участников. Представляется достойным упоминания, что числа в правом столбце, т. е. для симметричных игр, также возрастают, хотя и гораздо медленнее.

х) Сопоставьте это со сноской 3 на стр. 344.

2) р = о, 1 отличны друг от друга и от каждого из п - р (последнее только ввиду условия п 3).

39.2.2. Если игра симметрична, то v (S) зависит только от числа элементов р множества S: v (S) = vp (см. п. 28.2.1).. Таким образом, v (S) - это совокупность стольких чисел vp, сколько имеется р - = 0,1, . . ., п, т. е. п + 1 чисел. Эти числа подчинены ограничениям (28:11 :а) - (28:11 :с) из п. 28.2.1; редуцированная форма получается автоматически, и мы также требуем, чтобы было у± = -у = -1. Ограничение (28:11 :Ь) фиксирует v„ p при данном vp; следовательно, оно уменьшает вдвое число параметров, если п - р Ф р. Если п - р = р г)г т. е. п = 2р (что может быть только при четном п, и тогда р - п/2), из (28:11 :Ь) следует, что это vp должно быть равно нулю. Поэтому мы

п-\~1 п

имеем --параметров, если п нечетно, и у, если п четно, вместо первоначальных п + 1. Далее, ограничение (28:11 :а) фиксирует один из остающихся параметров vp, именно v0; a vA = -у = -1 фиксирует еще одно из остающихся vp : следовательно эти ограничения уменьшают число

параметров еще на 2 2). Таким образом, мы имеем - 2 или у - 2

параметров. Наконец, ограничение (28:11 :с) не нужно рассматривать, так как оно содержит только неравенства.

39.2.3. Сведем всю эту информацию в табл. 24. Выпишем явно эти значения для конкретных п = 3, 4, 5, 6, 7, 8, первые два из которых мы рассмотрели раньше.



§ 40. СИММЕТРИЧНАЯ ИГРА ПЯТИ ЛИЦ

40.1. Формализация симметричной игры пяти лиц

40.1.1. Мы не будем пытаться непосредственно исследовать игру пяти лиц с нулевой суммой. Систематическая теория еще недостаточно разработана, чтобы это осуществить, а для описательного и казуистического подхода (как это было сделано для игры четырех лиц с нулевой суммой) число параметров этой игры, именно 10, слишком велико.

Однако возможно в последнем смысле рассмотреть симметричные игры пяти лиц с нулевой суммой. Число параметров, в данном случае 1, мало, но отлично от нуля, и это представляет собой качественно новое явление, заслуживающее внимания. Для п = 3, 4 существовала только одна симметричная игра, так что для п = 5 впервые строение симметричной игры допускает некоторое разнообразие.

40.1.2. Симметричная игра пяти лиц с нулевой суммой характеризуется числами vp и р - 0, 1, 2, 3, 4, 5 из п. 28.2.1, подчиненными сформулированным там ограничениям (28:11:а) - (25:11:с). Из ограничений (28:11:а), (28:11:Ь) следует, что (в случае у = 1)

(40:1) v0 = 0, Vi=-1, v4=l, v5 = 0

и v2 = - v3, т. е.

(40:2) v2=-г], v3 = t).

Далее из (28:11:с) вытекает, что vp+g vp + vq для р + q 5g 5, и мы можем подчинить р и q дальнейшим ограничениям из (28:12). Следовательно, р = 1, g = l, 21), ииз этих двух неравенств получается (при использовании (40:1) и (40:2)):

р=1, д=1: - 2 - т); р=1, q = 2: - 1 - rj =

т. е.

(40:3) ~y = = 2-

Резюмируем.

{40:А) Симметричная игра пяти лиц с нулевой суммой характеризуется одним параметром г\ посредством условий (40:1) и (40:2). Область изменения г] описывается неравенством (40:3).

40.2. Два крайних случая

40.2.1. Может оказаться полезным дать непосредственную картину описанных выше симметричных игр. Рассмотрим сначала два конца интервала (40:3):

1 = 2,

Пусть сначала т) = 2. В этом случае v (S) = -2 для любого двухэлементного множества S, т. е. любая коалиция из двух игроков проигры-

х) Это легко проверяется при помощи (28:12) или использования неравенств из сноски 2 на стр. 278. Они дают 1 q 2 и, следовательно, так как числа р и q целые, р = 1, q = 1, 2.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [ 111 ] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]