назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [ 110 ] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


110

Очевидно, это условие может выполняться (для z) в том и только в том случае, если

(38:16) yw<v

Но если (38:16) удовлетворяется, то из условия (38:15) следует, что z может принимать бесконечное число значений - целый интервал.

38.2.6. Прежде чем сделать какие-либо выводы из (38:15), (38:16), мы приведем явные формулы, выражающие, что стало с решением (37:2) из п. 37.3.2 при наших преобразованиях. Мы должны взять фигурирую-

-У -У

щие там дележи а, а", добавить к к-ш компоненте (т. е. к выигрышу игрока к) величину ah и разделить все это на у.

Эти действия преобразуют возможные значения компоненты к, которые по (37.2) равны 1/2, 0, -1, следующим образом. Рассмотрим сначала к = 1 и используем имеющиеся выше выражения для а& и у так же, как и в (38:13). Тогда

J ,

1 2±CCi 2 + 4у1 - (у1 + у2 + у3 + Уь) z .

- переходит в -=- , ,- -- = тг + xt - х2 - хг,

2 у У1 + Уг + Уз + Уь 2 1 1 4 61

л а1 4у*~~(У1 + У2 + У3 + У4> ~

U переходит в ~7T-=Z-7, i „ i „ i „-- xi~xz~хз,

r У У1~ГУ2~ГУз-ТУк

a - ! + <*! - + У\ - {У\ + Уг + Уз + Уд -1 переходит в-----Т1 + У2 + У3 + У,-= ~* +х,-хг-~ х,.

Для остальных к = 2, 3, 4 эти выражения изменяются только в том, что х± - х2 - х3 заменяется в них соответственно *) на - х± + х2 - х3у - Х\ - х2 -f- х3, х -f- х2 -f- х3.

Резюмируя (и вспоминая (38:14)), мы имеем следующее:

(38:Е) Компонента к преобразуется следующим образом:

у переходит в -j-f-uk - 1,

О переходит в ии - 1, - 1 переходит в - z + и\ - 1,

где и1? z2» u3i uk из (38:14).

Мы предоставляем читателю переформулировать (37:2) с модификацией (38:Е), обращая особое внимание на правильное выполнение требуемых там перестановок 1, 2, 3, 4.

Заметим, что для центра, т. е. для случая хг = х2 = х3 = О, модификация (38:Е) воспроизводит формулы (38:1) из п. 38.1.1 так, как это нужно.

38.2.7. Вернемся теперь к обсуждению (38:15) и (38:16).

Условие (38:16) выражает, что четыре числа ил, и2, и3, щ из (38:14) не слишком удалены друг от друга: их минимум превосходит 2/3 их максимума, т. е. относительное изменение их величин меньше, чем 2:3.

Это, конечно, справедливо в центре, где хх = х2 = х3 = 0; там все Щ-> и2, и3, щ = 1. Следовательно, в этом случае v = w = 1, и (38:15) превращается в 2/3 < z 5g 1, доказывая тем самым ранее сделанные утверждения в этом обсуждении (см. (38:3) в п. 38.1.1).

г) Это непосредственно следует из вида уравнений (38:13) и из рассмотрения влияния перестановок игроков 1, 2, 3, 4 на координаты xit х2, я3, что описано в п. 34.3.2.



Обозначим ту часть Q, в которой справедливо (38:16), через Z. Тогда даже достаточно малая окрестность центра принадлежит Z г). Поэтому Z является трехмерной частью внутренности Q, содержащей центр внутри себя.

Мы можем также выразить связь Z с диагоналями Q, например с диагональю /-центр-У /. Z содержит следующие участки диагонали (см. рис. 44): в одну сторону ровно С, а в другую - немного меньше, чем половину В 2). Добавим, что эти решения отличаются от семейства решений, справедливых в (36:В) и (36:С), о которых упоминалось в п. 36.3.

38.3. Интерпретация решений

38.3.1. Семейство решений, которое мы таким образом нашли, обладает несколькими замечательными особенностями.

Заметим сначала, что для любой игры (т. е. для любой точки Z), для которой это семейство вообще дает решение, оно дает бесконечно много решений3). Все сказанное в п. 37.5.1 снова приложимо: эти решения представляют собой конечные множества дележей 4) и обладают полной симметрией игры5). Таким образом, ни в одном из этих решений нет «дискриминации». Также им не могут быть предписаны различия в «организационных принципах», которые мы обсуждали выше. Тем не менее для различения этих решений имеется простой «организационный принцип», который можно представить в качественной словесной формулировке. Переходим к его формулировке.

38.3.2. Рассмотрим (38:Е), где описаны преобразования, которым должно быть подвергнуто (37:2) из п. 37.3.2. Очевидно, что наихудшим возможным исходом для игрока к в этом решении является последнее выражение (так как оно соответствует -1), т. е. - z + uk - 1. Это выражение >> или =г -1, смотря по тому, будет z <С или = гг&. Далее, ии и2,

Щ - это четыре числа из (38:14), наименьшее из которых есть v. По (38:15) z v, т. е. всегда - z + uh - 1 -1, и знак = имеет место только для наибольшего возможного значения z, z = v, и то лишь для тех к, для которых uk достигает своего минимума v.

1) Если х±, х2, х3 отличаются от 0 менее чем на , то каждое из четырех чисел и2, и3, щ из (36:14) < + И->"~==:"У слеД°вательн0» относительная их величина изменяется < - : ~ = 4г . Поэтому мы все еще находимся в Z. Дру-

О О и

гими словами, Z содержит куб с тем же центром, что и у Q, но имеющий 1/15 (линейного) размера Q. В действительности Z несколько шире; его объем равен примерно 1/1000 объема Q.

2) На этой диагонали xt = х2 = х3; поэтому щ, и2, и3, щ равны (трижды) 1 - *j и 1 -f- 3xi. Так как для хх 0 должно быть v = 1 - и и? = 1 -f- 3*l7 неравенство (38:16) принимает вид xi <; 1/2. Для xt 0 мы имеем и = 1+3*!, w = 1 - х, следовательно, (38:16) становится > - 1/11. Поэтому пересечение равно

0 *i < -д- (ЭТО В ТОЧНОСТИ С),

1 / 1 \

0 *! > - - I а 5 - это 0 *! >--- I .

3) Решение, которое мы нашли, содержит четыре параметра: у1ч у2, у3, г/4, а игры, для которых оно справедливо,- только три параметра: xlt х2, х3.

4) Каждое насчитываем 13 элементов, как в (37:2) из п. 37.3.2.

б) В центре *4 = х2 = х3 = 0 мы имеем ух = у2 = у3 - у± (см. (38:13)), т. е. симметрию относительно 1, 2, 3, 4. На диагонали х = х2 = х3 мы имеем у\ = у2 = у3 (см. (38:13)), т. е. симметрию относительно 1, 2, 3.



Сформулируем сказанное:

(38:F) В этом семействе решений, даже в случае наихудшего возмож-

ного исхода, игрок к получает, в общем, выигрыш несомненно лучший, чем он мог бы сам себе гарантировать, т. е. v ((к)) = -1. Это преимущество исчезает только тогда, когда z принимает наибольшее возможное значение, z = v, и то только для тех к, для которых соответствующее число щ, и2, и3, щ в (38:14) минимально.

Другими словами: в этих решениях проигрывающий игрок вообще не полностью «эксплуатируется»; его выигрыш не сводится к наименьшему возможному уровню, к тому уровню, который он может себе гарантировать самостоятельно, т. е. v ((к)) = -1. Мы раньше наблюдали такое ограничение со стороны выигрывающей коалиции в «мягком» варианте «дискриминирующих» решений игры трех лиц, рассмотренной в п. 33.1. (т. е. когда с> -1, см. конец п. 33.1.2). Но там только один игрок мог быть объектом такого неравноправия в каком-либо решении, и это явление со своим исключительным свойством произошло из конкуренции коалиций. Теперь нет больше дискриминации или сегрегации; вместо этого данное ограничение применяется вообще ко всем игрокам, и в центре Q (см. (38:1) в п. 38.1.1, где z < 1) решение даже симметрично!

Замечание. Существует также количественное различие, имеющее некоторую значимость. Как в нашем настоящем изложении (игра четырех лиц, соответствующая центру куба (?), так и в ранее рассмотренном случае (игра трех лиц в смысле п. 33.1), наилучшее, что игрок в состоянии получить (в тех решениях, которые мы нашли), это 1/2, а наихудшее -1.

Верхний предел величины, получаемой в случае поражения в тех наших решениях, где игрок не полностью «эксплуатируется», теперь равен -2/3 (т. е. -z, где 2/3 < z 1), а раньше он равнялся 1/2 (т. е. с, где -1 с < 1/2). Поэтому эта зона

(-2/3) - (-1) 1/3 00 2 0/

покрывает теперь 4 - ~- , т. е. 22-% рассматриваемого интервала, в то

1/Z-(-1) o/Z • У

время как раньше она покрывала 100%.

38.3.3. Даже когда z принимает максимальное значение и, в общем случае только один игрок утратит это преимущество, так как вообще четыре числа ии и2, и3, щ из (38:14) различны и только одно из них равно своему минимуму и. Все четыре игрока утратят его одновременно, только если все числа щ, и2, и3, щ равны своему минимуму v, т. е. равны друг другу, и одного взгляда на (38:14) достаточно, чтобы показать, что это возможно только тогда, когда = х2 = х3 = 0, т. е. в центре.

Это явление неполной «эксплуатации» проигрывающего игрока является очень важной возможной (но не необходимой) особенностью наших решений, т. е. социальных норм. По-видимому, в общей теории оно играет еще большую роль.

В заключение отметим, что некоторые из решений, упомянутых нами, но не описанных в п. 36.3.2, также обладают этой особенностью. Это решения в С на рис. 44. Но тем не менее они отличаются от решений, которые мы здесь рассмотрели.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [ 110 ] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]