Резюмируем:
(38:С) Среди трехэлементных множеств S одно, приводимое нижег
г заведомо необходимо (а все остальные заведомо не необходимы):
(1, 2, 3) для а.
Мы предоставляем читателю проверить утверждение (30:5:а) из
п. 30.1.1, т. е. что никакое а £ V не доминирует р £ V, (См. соответствующую часть доказательства в п. 36.2.4. Фактически последующее доказательство (30:5:Ь) также содержит необходимые шаги.)
38.2.3. Проверим теперь (30:5:Ь) из п. 30.1.1, т. е. что дележ рг не доминируемый элементами V, должен принадлежать множеству V.
Рассмотрим дележ р, не доминируемый элементами V. Если бы какие-нибудь два числа из рь р2, Рз» Р4 были бы <0, то мы всегда могли бы добиться (перестановкой 1, 2, 3, 4), чтобы было рь р2 < 0. Это дает нам
-у -у
по (38:В), что а" е- р по множеству S = (1, 2). Следовательно, не более одного из чисел р1? р2, р3, р4 будет <0. Если ни одно из них не <0, то все
они 0. Тогда каждая комйонента р будет соответствующей компонен-
ты а", и, так как оба вектора являются дележами (см. сноску 1 на стр. 326)г
они совпадают: р = а"; и поэтому Р £ V.
Следовательно, ровно одно из чисел рь р2, р3, р4 будет <0. Перестановкой 1, 2, 3, 4 мы можем добиться того, чтобы было р4 < 0.
Если бы какие-нибудь два числа из рь р2, р3 были бы < 1/2, то мы могли бы добиться (перестановкой 1, 2, 3), чтобы рь р2 < 1/2. Кроме того, р4 < 0. Поэтому при перестановке 3 и 4 получаем по (38 : С),
что а е- р по множеству S = (1, 2, 3). Следовательно, не более одного-из Рь Рг» Рз будет < 1/2. Если ни одно из них не < 1/2, то р1? р2, р3 1/2. Следовательно, р4 -3/2. Но р4 v ((4)) = - z/4, откуда -z/4 -3/2, т. е. г/4 3/2. Таким образом, чтобы исключить эту возможность, необходимо, чтобы z/4 < 3/2, и, так как мы можем свободно переставлять 1, 2, 3, 4, необходимо даже, чтобы
(38:9) z/fe< для & = 1, 2, 3,4.
Если это условие выполняется, то мы можем заключить, что ровно* одно из рь р2, р3 будет <1/2. Перестановкой 1, 2, 3 сделаем, чтобы р3 <С < 1/2.
Итак рь р2 1/2, р3 0. Если р4 -1 х), то каждая компонента р будет соответствующей компоненты а, и, так как оба вектора являются дележами (см. сноску 1 на стр. 326) они совпадают: р = а\ Поэтому Р £ V.
Следовательно, р4 < -1 и р3 < 1/2. Перестановка 1 и 3 дает, что-
на основании (38:В) а е- р по множеству S = (1, 4).
Это, наконец, является противоречием и поэтому завершает проверку (30:5:Ь) из п. 30.1.1.
*) Если у ((A)) - -1, т. е. если */4 = 1, то это, конечно, имеет место; мы, однако* не хотим предполагать этого (см. сноску 4 на стр. 337).
Условие (38:9), которое нам было нужно для этого доказательства, действительно необходимо: легко проверить, что
р I 2 2 2 2 J
не доминируется нашим множеством V, и единственная возможность для того, чтобы этот вектор не являлся дележом, состоит в -3/2 < <; v ((4)) = -1/4, т. е. г/4 < 3/2 х). Перестановка 1, 2, 3, 4 дает тогда (38:9).
Таким образом, нам необходимы (38:8) и (38:9). Резюмируем:
(38:D) Множество V из (37:2) в п. 37.3.2 является решением для игры (38:А) (вместе с (38:6), (38:7)) в том и только в том случае, если
(38:10) 1Ук<~ для Л = 1, 2,3,4.
38.2.4. Введем вновь в рассмотрение нормировку и редуцирование, чем мы временно пренебрегли, но что необходимо, для того чтобы связать эти результаты с кубом Q, как это было указано сразу после (38:А).
Формулы редуцирования из п. 27.1.4 показывают, что доля игрока к должна быть заменена величиной а\, где
а\ = - v ((к)) +1 {V ((!)) + v ((2)) + v ((3)) + v ((4))} =
= Уь - т (yi н #2 + Уз + Уд
v = -т <v К1» + v (<2»+v «3» + v «4»>=т to + й+и. +jr.).
Для двухэлементного множества S - (г, ;) значение v(£) увеличивается по сравнению со своим первоначальным значением 0 на величину
сх? + а) = yt + yj - у (г/4 + у% + у3 + У4) = у (У* + 30 ~ - 2/0
(А, I - игроки, отличные от г, /).
Ясно, что для указанного выше у будет у 1 > 0 (на основании (38:10)); следовательно, игра существенная. Нормировка проводится теперь делением характеристической функции и долей каждого из игроков на у. Таким образом, для S = (&, j) значения v (S) преобразуются далее к значениям
а?+а 2 У1 + У]~Ук - У1 У ~~ У\ + Уг + Уз + Уь
г) Заметим, что тот факт, что V не доминирует 3 нельзя исправить добавлением
к V дележа 3 (когда г/4 3/2). В самом деле, 3 доминирует а" = {0, 0, 0, 0} по мно-
->
жеству S - (1,2,3), так что было бы необходимо удалить ос" из V, таким образом создавая новые недоминируемые дележи и т. д.
Если yi - у2 = уз - Ук = 3/2, то замена единицы на 2/3 приводит нашу игру
обратно к форме (37:1) из п. 37.1.2, и этот дележ (3 превращается в аАУ = - {1/3,1/3,1/3, -1}из (37:3) в п. 37.4.1. Таким образом, дальнейшие попытки сделать множество V решением, вероятно, последовательно превращали бы его в (37:3), (37:4) из п. 37.4.1-2. Это стоит отметить, так как мы начали с (37:2) из п. 37.3.2.
Эти связи между двумя решениями (37:2) и (37:3), (37:4) следует разобрать далее.
Итак, эти значения представляют собой нормированную и редуцированную форму характеристической функции, которая и используется в п. 34.2.1 для представления в кубе Q. (34.2) вместе с написанным выше выражением дают формулы
171 - Уг-Уз + Vk
У1 + У2 + Уз + Уь
(38:11) { я;2=""УА + У2,"Уз,+ У4
V- У 1 + 2 + 3 + 4
X = -1-2 + 3 + /4 3 */1 + */2+*/3 + */4
для координат хи х2, х3 в Q.
38.2.5. Таким образом, равенства (38:10) и (38:11) определяют вместе область Q, в которой имеют место эти решения, т. е. решения (37:2) из п. 37.3.2, преобразованные так, как было указано выше. Это определение исчерпывающее, но неявное. Постараемся сделать его явным. Именно, если дана точка Q с координатами ж4, х2, х3, проверим, могут ли равенства (38:10) и (38:11) выполняться совместно (с подходящими Уи г/2, Уз, У*)-
Полагаем, что для предположительных уи у2, у31 г/4 выполняется равенство
(38:12) у, + у2 + у3 + у, - А ,
где z неопределено. Тогда уравнения (38:11) принимают вид
! У1 - У2 - Уз + Уь = -- ,
4х2 z
4а:я
(38:12*) ] -1 + 2 -з + г/4 =
I - Vi - У* + Уз + Уь =
Систему уравнений (38:12) и (38:12*) можно решить относительно уи Уг, Уз, У6
i i + xi-x2-x3 1-х1+х2-х3
- У 2 -
. z 7 Z
<38:13) ) l--+Xg 1+1 + 2 + 3
lу*=--z- у**--1-•
Теперь (38:11) удовлетворяется, и мы должны использовать имеющуюся свободу для выбора такого z, чтобы удовлетворялось (38:10). Пусть w - наибольшее, a v - наименьшее из четырех чисел
( щ = 1 +Xi - х2 - х3, U2 = l-Xi + Xz - X3i (38.14) j и3 = 1 - Х1 - х2 + х9, u=l + xi + X2 + x3.
Это известные величины, так как предполагается, что хи х2, х3 заданы. Ясно, что теперь (38:10) означает, что 1 viz и что wlz < 3/2, т. е.
(38:15) w<zv.