назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [ 108 ] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


108

минирующей, хотя и не так просто, как «дискриминирующие» решения игры трех лиц. Она описывает более сложный и тонкий тип социальных взаимоотношений, причем скорее именно решением, чем самой игрой х). Ее можно считать несколько произвольной, но, так как мы рассматриваем «общество» очень малых размеров, все возможные нормы поведения должны очень точно и тонко соответствовать узости его возможностей.

Едва ли нужно останавливаться на том, что аналогичную дискриминацию любого другого игрока (1, 2, 3 вместо 4) можно выразить соответствующими решениями, которые мы смогли бы связать с тремя другими диагоналями куба Q.

§ 38. СЕМЕЙСТВО РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА

38.1. Преобразование решения, принадлежащего первой альтернативе

в центре

38.1.1. Мы продолжаем анализ разветвлений регпения (37:2) из п. 37.3.2. Окажется, что его можно подвергнуть некоторому специфическому преобразованию без потери его характерных свойств как решения.

Это преобразование состоит в умножении дележей (37:2) из п. 37.3.2 на общий (положительный) численный множитель z. В результате получается следующее множество дележей:

y=SJL. -i-, 0, - z\ , и дележи, получающиеся из (38:1) * этих перестановкой игроков

7" = {0, 0, 0, 0} !> 2> 3 4-

Для того чтобы эти векторы являлись дележами, нужно, чтобы все их компоненты были > -1 (т. е. 2> общего значения v (i)). Поскольку z > 0, это имеет место только при -z -1, т. е. мы должны иметь

(38:2) 0<zl.

Для z = 1 наше множество (38:1) совпадает с (37:2) из п. 37.3.2. Априори не видно, должно ли быть множество (38:1) решением той же игры для какого-либо другого z, удовлетворяющего (38:2). Прямая проверка показывает, что оно оказывается решением в том и только в том случае, когда z > 2/3, т. е. когда (38:2) заменяется на

(38:3) y<zrgl.

Важность этого семейства решений возрастает еще и оттого, что его можно распространить на некоторую трехмерную часть куба Q, окружающую его центр. Мы приведем полностью необходимое рассуждение, так как оно дает возможность продемонстрировать метод, который может иметь более широкие приложения в этих исследованиях.

Интерпретация этих результатов будет предпринята впоследствии.

38.1.2. Мы начинаем с замечания, что рассмотрение множества V, определенного в (38:1) для игры, описанной соотношениями (37:1) в п. 37.1.2 (т. е. соответствующей центру куба Q), можно заменить рассмотрением исходного множества V Из (37:2) в п. 37.3.2 для другой игры. В самом деле, наше множество (38:1) было получено из (37:2) умножением на z. Вместо этого мы могли бы оставить (37:2) и умножить на 1/z

*) По этому поводу см. рассуждение в п. 35.2.4.



характеристическуюТфункцию (37:1); при этом, правда, была бы нарушена], нормировка 7 = 1, которая была необходима для геометрического представления Q (см. п. 34.2.2), но мы идем на это.

Итак, основные идеи можно сформулировать следующим образом.

До сих пор мы исходили из данной игры и искали решения. Теперь мы предполагаем этот процесс обратить и, исходя из данного решения, искать игру. Точнее, мы начинаем с данного множества дележей V и ищем такую характеристическую функцию v (S) (т. е. такую игру), для которой, это множество V является решением.

Замечание. Эта обратная процедура вполне характеризует гибкость математического метода в отношении той некоторой степени свободы, которая в нем существует. Хотя сначала он отклоняет исследование в направлении, которое следует рассматривать как неестественное с любой точки зрения, кроме строго математической, тем не менее он эффективен; при помощи технических выкладок он в конце концов обнаруживает решение, которое не удавалось найти каким-либо другим путем.

После наших предыдущих примеров, где мы руководствовались эвристическими рассмотрениями, чрезвычайно поучительно разобрать этот случай, не связанный ни с какими эвристическими догадками, где решения найдены чисто математическим приемом, т. е. описанным выше обращением.

Для читателя, который, может быть, не удовлетворен таким приемом (т. е. исключительно техническим, а не концептуальным), мы указываем, что в математическом анализе он узаконен и широко применяется.

Мы неоднократно обнаруживали, что с эвристической процедурой справляться проще, чемсо строгой. Настоящий случай дает нам пример обратного.

Умножение v (S) из (37:1) в п. 37.1.2 на общий множитель означает, что мы по-прежнему требуем, чтобы было

(38:4) у(£) = 0, если S - двухэлементное множество, и, кроме того,

чтобы игра имела редуцированную форму (см. п. 27.1.4), т. е. чтобы было

(38:5) v ((1)) = v ((2)) - v ((3)) = v ((4)).

В самом деле, общее значение (38:5) равно - l/z и из (38:4), (38:5) и (25:3:а), (25:3:Ь) в п. 25.3.1 следует, что это v (S) такое же, как и в (37:1), только умноженное на l/z. Наше утверждение (38:3) означает, что множество V из (37:2) в п. 37.3.2 является решением для (38:4), (38:5) в том и только в том случае, если общее значение (38:5) (т. е. -l/z) fg -1 и > -3/2.

38.1.3. Сделаем теперь следующий шаг и отбросим требование редуцированности, т. е. (38:5). Таким образом, от v (S) мы требуем только выполнения (38:4), налагая ограничения на значения для двухэлементных множеств S. Сформулируем снова окончательный вид нашего вопроса:

(38:А) Рассмотрим все игры четырех лиц с нулевой суммой, где

(38:6) v(«S) = 0 для всех двухэлементных множеств S.

Для каких из них множество V из (37:2) в п. 37.3.2 является решением?

Заметим, что, так как мы опустили требования нормировки и редуцированности v (5), мы порвали все связи с геометрическим представлением в кубе Q. Поэтому в конце будет необходимо специальное преобразование, для того чтобы полученные результаты можно было вместить в рамки куба.



38.2. Строгое рассмотрение

38.2.1. Очевидно, что неизвестными в задаче (38:А) являются значения

(38:7) у((1))=-уи v((2))=-y2, v((3))=-y8, v((4))=-j/4.

Перейдем к выяснению того, как ограничение в условиях (38:А) влияет на числа уи у2, у3, г/4.

Эта игра больше не является симметричной х). Здесь перестановки игроков 1, 2, 3, 4 оказываются, законными, только если они сопровождаются соответствующими перестановками у±, у2, г/3, г/4 2).

Начнем с того, что наименьшая компонента векторов (37:2) в п. 37.3.2, связанная с данным игроком к, равна -1. Следовательно, эти векторы будут дележами в том и только в том случае, если -1 v ((к)), т. е.

(38:8) ykl для ft = l, 2, 3, 4.

Мы видим, какой оказывается характеристика V как множества дележей; посмотрим теперь, является ли оно решением. Это исследование аналогично доказательству, проведенному в пп. 36.2.3-5.

38.2.2. Снова применим замечания (36:5), (36:6) из п. 36.2.3. Двухэлементное множество S = (i, j) является эффективным для а =

-у ->

= {а!,а2, а3, а4}, когда at + а7- О (см. (38:А)). Следовательно, для а, а"

из (37:2) мы имеем: в а" любое двухэлементное множество S является

эффективным; в а никакое двухэлементное множество S, не содержащее

игрока 4, не является эффективным, а те множества S, которые содержат

его, т. е. S - (1, 4), (2, 4), (3, 4), очевидно, являются эффективными.

Однако если мы рассматриваем S = (1, 4), то мы можем отбросить два

других; S = (2, 4) получается из него перестановкой 1 и 2, которая -у

не влияет на а 3); 5 = (3, 4) хуже, чем S = (1, 4), после того как 1 и 3 поменяются местами, так как 1/2 0 4). Резюмируем:

(38:В) Среди двухэлементных множеств S следующие заведомо

необходимы (а все остальные заведомо не необходимы): (1, 4) для

-> ->

а 5), все для а".

Обратимся к трехэлементным множествам. По изложенному выше

на основании (36:6) мы можем исключить для а" все трехэлементные мно--> ->

жества, а для а - множества, содержащие (1, 4) или (2, 4) 6). Для а остается только S = (1, 2, 3).

2) Кроме случая, когда у± = у2 = у г = г/4-

2) Но против применения таких перестановок 1, 2, 3, 4 нечего возразить, как в формулировке (37:2) из п. 37.3.2.

3) Эта перестановка и дальнейшие, аналогичные ей, очевидно, законны, несмотря на сказанное в сноске 1 на стр. 337. См. сноску 1 на стр. 324 и сноску 2 на стр. 337.

4) Так как а\ = -1, мы можем исключить все множества, включая S = (1, 4), когда v ((4)) = -1, т. е. когда г/4 = 1, что возможно. Но мы не обязательно должны делать это. Мы предпочитаем этого не делать, чтобы одновременно рассматривать случаи ук = 1 и г/4 > 1 •

->

5) И все перестановки 1, 2, 3, 4; они также видоизменяют а.

-►

6) Второе получается из первого перестановкой 1 и 2, не изменяющей а. 22 Дж. Нейман, О. Моргенштерн

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [ 108 ] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]