назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [ 107 ] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


107

В это добавление, конечно, не входит ос" = {0, 0, 0, 0} из (37:2),

так как этот дележ может доминироваться дележом ос" *). Другими словами, расширение (т. е. стремление к устойчивости в смысле п. 4.3.3)

ос" до решения должно быть достигнуто при помощи совершенно других

-> -*

дележей (т. е. угрозами) как в случае ос" из (37:3), так и в случае ос из (37:2).

Представляется очень трудным найти эвристическую мотивировку для шагов, которые становятся теперь необходимыми. К счастью, однако, с этого места можно перейти к строгой процедуре, делая, таким образом, дальнейшие эвристические рассмотрения необязательными.

В самом деле, можно строго доказать, что существует ровно одно

симметричное расширение множества V из (37:3) до решения. Это про-

->

исходит добавлением следующих дележей ос = {аь ос2, а3, ос4}:

-> Г 1 1 1 \ л

(37:4) ocIV= 1 -3- » 3- t --3- у -"з г и перестановки, как и в (37:2).

37.4.3. Если желательна интерпретация этого решения, т. е. его

составляющей ocIV из (37:4), с точки зрения здравого смысла, то нужно сказать, что оно вовсе не оказывается ничьей (аналогично соответствую-

щему а" из (37:2)); более того, оно оказывается некоторым компромиссом между частью (двумя членами) возможной выигрывающей коалиции и двумя остальными игроками. Однако, как отмечено выше, мы не пытаемся найти полную эвристическую интерпретацию множества V из (37:3) и (37:4); в самом деле, вполне может оказаться, что эта часть точной теории уже выходит за пределы таких возможностей 2). Кроме того, несколько последующих примеров проиллюстрируют специфические особенности решения на гораздо более широкой основе. Мы снова воздерживаемся от приведения здесь строгого доказательства по указанным выше причинам. 1

37.5. Сравнение двух центральных решений

37.5.1. Два решения (37:2) и (37:3), (37:4), которые мы нашли для игры, описываемой центром, дают нам новый пример возможной множественности решений. Конечно, это явление мы наблюдали и раньше, именно в случае существенной игры трех лиц в п. 33.1.1. Но там все решения, за исключением одного, были в некотором смысле аномальными (мы обозначали это, употребляя термин «дискриминирующий»). Только одно решение в этом случае состояло из конечного множества дележей; это единственное решение обладало такой же симметрией, как и сама игра (т. е. оно было симметричным относительно всех игроков). На этот раз условия совершенно иные. Мы нашли здесь два решения, каждое из кото-рыхявляется конечным множеством дележей 3) и обладает полной симметрией игры. Обсуждение п. 37.1.2 показывает, что каждое из этих решений трудно рассматривать как «аномальное» или как «дискриминирующее»

г) По множеству S = (1, 2, 3).

2) Это явление широко распространено в математических теориях физического происхождения, даже если они берут начало из эвристических рассмотрений.

3) Простой подсчет указанных дележей и их различных перестановок показывает, что решение (37:2) состоит из 13 элементов, а решение (37:3), (37:4) - из 10.



в каком бы то ни было смысле; они существенно различаются по способу присоединения последнего участника коалиции из трех лиц и, следовательно, по всей видимости, соответствуют двум совершенно нормальным принципам социальной организации.

37.5.2. Менее нормальным, если вообще в этом плане может идти речь, представляется решение (37:3), (37:4). Как в (37:2), так и в (37:3),

(37:4) характер решения определялся теми дележами а и а", которые соответственно описывают полное решение. К этим дележам нужно было

добавить еще «устойчивые» дележи а" и aiv. Далее, в первом решении

этот дополнительный дележ а", очевидно, эвристически интерпретировался как ничья, в то время как во втором решении природа дополнитель-

->

ного alV оказалась более сложной.

Более подробный анализ обнаруживает, однако, что первое решение появляется в окружении особых явлений, которые нельзя ни объяснить, ни предвидеть при помощи эвристической процедуры, естественно приводящей к нему.

Эти явления весьма поучительны также и с общей точки зрения, так как они иллюстрируют несколько неожиданным образом некоторые возможности и интерпретации нашей теории. Поэтому мы в дальнейшем проанализируем их детально. Добавим, что аналогичное расширение второго решения до настоящего времени не найдено.

37#6» Несимметричные центральные решения

37.6.1. Начнем с того, что существуют некоторые конечные, но асимметричные решения, тесно связанные с (37:2) в п. 37.3.2, так как они содержат некоторые из дележей {1/2,1/2, 0, -1} х). Одно из этих решений- это то, которое получается при подходе к центру по диагонали 7-центр-У / с любой стороны и использовании там решения, указанного в п. 36.3. Иными словами, оно получается непрерывным приспособлением к упоминаемым там областям (36:В) и (36:С). (Вспомним, что точка хх = О, т. е. центр, принадлежит обеим этим областям; см. п. 36.3.2.) Так как это решение можно также рассматривать как выражающее некоторый самостоятельный принцип социальной организации, мы кратко опишем его.

Это решение обладает той же симметрией, что и решение, принадлежащее играм на диагонали /-центр-ТТ , поскольку оно действительно является одним из них: симметричным относительно игроков 1, 2, 3, в то время как игрок 4 занимает особое положение 2). Поэтому мы опишем его тем же способом, что и решения игр на диагонали, например, как (36:3) в п. 36.2.1. Здесь не допускаются только перестановки игроков 1, 2, 3, в то время как в описаниях (37:3) и (37:4) запрещались все перестановки игроков 1, 2, 3, 4.

37.6.2. В целях лучшего сравнения переформулируем в этих обозначениях (т. е. допуская только перестановки игроков 1, 2, 3) определение нашего первого полностью симметричного решения (37:2) из п. 37.3.2.

х) То есть некоторые, но не все из 12 перестановок этого дележа.

2) Именно тем, что положение игрока 4 в решении совершенно отлично от положения других, это решение отличаотся от двух ранее упомянутых симметричных решений.



Оцо состоит из следующих дележей 2): Р-{. Т.О. -1},

g fj jL ol ш дележей, получающихся из

(37*2*) 12 2 J этих перестановкой игроков

М4-.о.-1,4}. 1-2,3

Р = {0, 0, 0, 0}

Итак, асимметричное решение, о котором мы упоминали, состоит из дележей

р, Р", Р1У, как в (37:2*), и дележей, получающихся из

(37:5) г i -4 2) этих перестановкой игроков

< а л -л 2\ спил. 11CJ

Ру={, 0, -±, 0} ) 1, 2, 3.

Мы снова опускаем доказательство того, что дележи из (37:5) составляют решение. Вместо этого приведем интерпретацию различия между этим решением и решением из (37:2), т. е. первым (симметричным) решением в п. 37.3.2.

37.6.3. Это различие состоит в замене

Р*={т ° т} на Ру = {у ° -4 °} •

Таким образом, дележ (J", в котором игрок 4 принадлежал бы «первой» коалиции (см. п. 37.3.1), т. е. группе, выигрывающей максимальную

величину 1/2, удаляется и заменяется другим дележом, pv. Игрок 4 получает теперь несколько меньше, а проигрывающий среди игроков 1, 2, 3

(в этом размещении - игрок 3) получает несколько больше, чем в Р". Эта разность в точности равна 1/2, так что игрок 4 переходит в ничейную позицию, а игрок 3 из позиции полного проигрыша - 1 переходит в промежуточную позицию - 1/2.

В результате игроки 1, 2, 3 образуют «привилегированную» группу, и никто извне в «первую» коалицию не допускается. Но даже среди трех членов привилегированной группы продолжаются споры о коалиции, так как в «первую» коалицию могут войти только два участника. Стоит заметить, что член привилегированной группы может даже полностью проиграть, как в Р", но только с помощью большинства его «класса», образующего «первую» коалицию и могущего привлечь «непривилегированного» игрока 4 в качестве третьего члена «окончательной» коалиции.

37.6.4. Читатель заметит, что это описывает вполне возможную форму социальной организации. Несомненно, эта форма является дискри-

х) Наши р, Р", Р" исчерпывают а из (37:2) в п. 37.3.2, в то время как p[V равно а"

тождественно. Дележ а должен быть представлен тремя дележами У, Р", Р", так как в этой системе представления необходимо отметить, в какой из трех возможных пози-

ций этого дележа (т. е. значений , 0, -1) находится игрок 4.

2) Этот дележ $v по расположению выигрышей напоминает дележ aIV в (37:4) из п. 37.4.2, однако это аналогия ни к чему не ведет.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [ 107 ] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]