назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [ 106 ] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


106

утвердителен, то общий выигрыш окончательной коалиции, равный 1, будет разделен поровну между тремя участниками: 1/3, 1/3, 1/3. Если же ответ отрицателен, то два исходных члена- (принадлежащих начальной коалиции из двух лиц), вероятно, получат одинаковый выигрыш, но больший чем 1/3. Таким образом, единица будет разделена на части:

j + е, у + е, -j - 2е, где е > 0.

37.1.3. Первая альтернатива аналогична той, которую мы рассмотрели при анализе точки / в п. 35.1. Здесь участники входят в коалицию (1, 2, 3), если она вообще образуется, на равных правах. Вторая альтернатива соответствует ситуации в интервале, проанализированном в пп. 36.1-2. Здесь первоначально объединяются любые два игрока (причем ни один из них не может быть игроком 4), и эта коалиция затем допускает к участию одного из оставшихся игроков на менее благоприятных условиях.

37.1.4. Ситуация, с которой мы имеем дело сейчас, не вполне аналогична каждой из упомянутых.

В первом случае коалиция (1, 2) не смогла бы предъявить жесткие требования игроку 3, так как он им совершенно необходим: если 3 объединится с 4, то 1 и 2 полностью проиграют; точно так же (1, 2) как коалиция не смогла бы объединиться с 4 против 3, так как игроку 4 нужен для победы только один из них (см. описание в п. 35.1.3). В рассматриваемой теперь игре это не так: коалиция (1, 2) может использовать как 3, так и 4, и даже если 3 и 4 объединятся против нее, то получится лишь ничья.

Во втором случае дискриминация участника, который присоединяется к коалиции последним, правдоподобна, так как исходная коалиция из двух имеет гораздо более прочное строение, чем окончательная коалиция из трех. В самом деле, когда х± стремится к -1, последняя коалиция перестает чего-либо стоить (см. замечания в конце п. 36.1.2). В нашей игре такого качественного различия усмотреть нельзя. Первая коалиция (из двух) рассчитывает на поражение или ничыб, а образование окончательной коалиции (из трех) решает, будет ли ничья или победа.

Мы не имеем удовлетворительного основания для решения, кроме опробования обеих альтернатив. Однако перед тем, как это сделать, обратим внимание на важное ограничение наших рассмотрений.

37.2. Две альтернативы и роль симметрии

37.2.1. Заметим, что мы предполагаем, что одна и та же из двух вышеупомянутых альтернатив имеет место для всех четырех коалиций из трех игроков. В самом деле, сейчас мы ищем только .симметричные решения,

т. е. решения, которые содержат вместе с дележом а = {аи а2, а3, а4} все его перестановки.

Далее, из симметрии игры, вообще говоря, никоим образом не следует симметрия каждого из ее решений. Дискриминирующие решения, обсуждавшиеся в п. 33.1.1, делают это ясным уже для игры трех лиц. В п. 37.6 мы найдем дальнейшие примеры этого для симметричной игры четырех лиц, которую мы сейчас рассматриваем.

Однако следует ожидать, что асимметричные решения симметричной игры имеют слишком неясный характер, чтобы их можно было обнаружить при таком эвристическом обзоре, который мы сейчас проводим. (См. аналогичные явления в игре трех лиц, на которую ссылались выше.) Из-за этого мы сейчас ищем только симметричные решения.



37.2.2. Нужно сказать еще одну вещь: вполне допустимо, что, в то время как асимметричные решения существуют, общие организационные принципы, подобные принципам, соответствующим нашим двум альтернативам, либо справедливы для совокупности всех участников, либо вообще неверны. Это допущение вытекает из того, что число участников все еще очень мало, и действительно, может быть, слишком мало, чтобы оказалось возможным образование нескольких групп участников с различными принципами организации. Действительно, мы имеем дело только с четырьмя участниками, а, с другой стороны, ясно, что три - это минимальное число для какой-либо организации. Эти несколько неопределенные соображения найдут точное подтверждение по крайней мере в одном частном случае в (43:L) и в следствии из п. 43.4.2. В данный момент, однако, мы не в состоянии снабдить их каким-либо строгим доказательством.

37.3. Первая альтернатива в центре

37.3.1. Рассмотрим теперь две альтернативы из п. 37.1.2. Мы будем разбирать их в обратном порядке.

Предположим сначала, что два исходных участника принимают в свою коалицию третьего, только на менее благоприятных условиях. Тогда первую коалицию (из двух) нужно рассматривать как ядро, вокруг которого формируется окончательная коалиция (из трех). В этой последней фазе от первой коалиции следует ожидать, что она будет действовать в своих отношениях с двумя другими игроками как единый игрок, делая, таким образом, игру похожей на игру трех лиц. Если эта точка зрения является здравой, то мы можем повторить соответствующие рассуждения из п. 36.1.3.

Например, при выборе в качестве «первой» коалиции игроков (1, 2) предполагаемая игра трех лиц происходит между игроками (1, 2), 3, 4. Следовательно, рассуждения, на которые делалась ссылка выше, переносятся сюда полностью, только с измененными численными значениями: а = 0, Ъ = с = 1, откуда а = 1, р = у = 0 х).

Так как «первая» коалиция может состоять из любых двух игроков, эвристические обоснования, аналогичные обоснованиям, примененным при обсуждении игры трех лиц (в §§ 21, 22), позволяют ожидать, что партнеры в этой игре разобьются поровну: когда будет найден союзник равно как и в случае ничейного результата, причем подлежащий разделу выигрыш будет соответственно равен 1 или 0.

Замечание. В этом случае аргументация гораздо слабее, чем в ранее рассмотренном случае (или в соответствующем приложении в п. 36.1.3), так как любая «первая» коалиция может теперь достигнуть конца двумя различными способами (с ничьей или с победой). Единственное удовлетворительное решение о ценности аргументации получается лишь при применении точной теории. Желательная проверка фактически содержится в доказательстве пп. 38.2.1-3; в самом деле, это частный случай

г/1 = Z/2 = г/з = 1/4 = 1

из (38:D)* в п. 38.2.3.

37.3.2. Резюмируем: если сделанные выше предположения оправдываются, то положение дел таково.

Если «первая» коалиция есть (1, 2) и ей удается найти союзника и если игроком, который соединяется с ней в окончательной коалиции, является игрок 3, то игроки 1, 2, 3, 4 получают соответственно выигрыши 1/2,

х) Существенная разница между этим рассуждением и тем, на которое мы ссылались, состоит в том, что теперь игрок 4 больше не исключается из «первой» коалиции.



1/2, 0, -1. Если первая коалиция не имеет в этом отношении успеха, т. е. если происходит ничья, то эти выигрыши заменяются на 0, 0, 0, 0.

Если имеется другое распределение игроков, то к изложенному нужно применить соответствующую перестановку игроков 1, 2, 3, 4.

Теперь необходимо подвергнуть все сказанное строгой проверке. Наши эвристические догадки, очевидно, соответствуют следующему предположению.

Пусть V - множество следующих дележей:

(37:2) a={-i, 1, 0, -l} ,

и дележи, получающиеся из этих перестановкой игроков а" = {0, 0, 0, 0} (т. е. компонент) 1, 2, 3, 4.

Мы ожидаем, что это множество V является решением.

Строгое рассмотрение, аналогичное проведенному в п. 36.2, показывает, что это множество V действительно оказывается решением в смысле п. 30.1. Мы не приводим его здесь главным образом из-за того, что оно содержится в более общем доказательстве, которое будет дано позже (см. замечание на стр. 330).

37.4. Вторая альтернатива в центре

37.4.1. Предположим теперь, что в окончательной коалиции из трех игроков все ее участники имеют равные права. Тогда, если, например, эта коалиция образована из игроков 1, 2, 3, то игроки 1, 2, 3, 4 получают соответственно выигрыши 1/3, 1/3, 1/3, -1.

Было бы поспешным вывести из этого, что полученное множество дележей V будет являться решением, т. е. что решением будет множество

следующих дележей а = {аи а2, ос3, а4}:

/37*3) а" = \ - - - ll и такие же перестановки,

I 3 3 3 J как в (37:2).

Мы еще не предприняли попыток понять, как может произойти «мгновенное» образование окончательной коалиции, не предполагая предварительного существования привилегированного ядра из двух лиц.

37.4.2. В предыдущем решении (37:2) такое объяснение вполне естественно. Слоистая форма окончательной коалиции выражается дележом а, и мотив для оправдания этой схемы лежит в угрозе ничьей, выраженной дележом а". Точнее говоря, дележ а образует решение только

вместе с а", но не сам по себе.

В (37:3) этот второй элемент отсутствует. Прямая проверка в смысле

п. 30.1 обнаруживает, что а" удовлетворяет условию (30:5:а), но не (30:5:Ь), т. е. что эти дележи не доминируют друг друга, но остаются некоторые другие недоминируемые дележи. Следовательно, к V должны быть еще добавлены некоторые элементы*).

х) Для избежания неверного понимания заметим, что, вообще говоря, ни в каком отношении не является верным, что любое множество недоминируемых друг другом дележей можно пополнить до решения. В самом деле, задача о том, является ли данное множество дележей подмножеством некоторого (неизвестного) решения, еще не решена. В настоящем случае мы только выражаем надежду, что такое обобщение окажется возможным для конкретного V из (37:3), и эта надежда в дальнейшем оправдается. См. п. 30.3.7.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [ 106 ] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]