назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [ 105 ] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


105

*) Следовательно, сумма компонент для обоих векторов одинакова: она равна нулю.

2) Читатель заметит, что в процессе этого анализа использовались все множества из (36:8), (36:9), а р последовательно приравнивалось всем трем а, а", а,п из (36:3).

3) Что касается аг4 = -1, см. замечания, сделанные в начале доказательства.

36.2.5. Далее мы проверяем (30:5:Ь) из п. 30.1.1, т. е. то, что дележ р, который не доминируется элементами V, должен принадлежать V.

Рассмотрим дележ р, не доминируемый элементами V. Предположим сначала, что р4 <С х{. Если бы какая-нибудь из компонент рь р2, р3 была

<,хи то мы могли бы сделать (переставляя 1, 2, 3), чтобы р3 < х Это

-> ->

дает нам а" е- р по S = (3, 4) из (36:8). Следовательно,

Pi, р2, Рз*1.

Если бы какие-нибудь две компоненты из числа р1? р2, Рз были

<< (1 -#i)/2, то мы могли бы сделать (переставляя 1, 2, 3), чтобы рь

-> ->

р2 <С (1 - Xi)/2. Поэтому oJ е- р по S = (1, 2, 4) из (36:9). Следовательно, не более чем одна из компонент р1? р2, р3 будет <С (1 - х1)/21 т. е. хотя бы две из них (1 - #i)/2. Перестановкой 1, 2, 3 мы, таким образом, можем добиться, чтобы стало

Pi, k - 1 2А •

Ясно, что р4 -1. Таким образом, каждая компонента р будет соот-

ветствующей компоненты а, и так как оба вектора являются дележами1),

они совпадают: р = а. Поэтому р принадлежит V.

Предположим теперь, что р4 7> xt. Если бы какие-нибудь две компоненты из числа рь р2, Рз были <С -#i, то мы могли бы добиться (перестав-

-> ->

ляя 1, 2, 3), чтобы рь р2 < - xi- Поэтому а" е- р по S = (1, 2) из (36:8). Следовательно, не более чем одна из компонент р4, р2, р3 будет <С -Xi, т. е. две из них -х±. Переставляя 1, 2, 3, мы можем добиться того, чтобы было

Рь р2 -

Если Рз Xi, то из всего этого следует, что каждая компонента р будет

соответствующей компоненты а", и так как оба вектора являются деле-

-> -> ->

жами (см. сноску 1), то они совпадают: р = а", и поэтому Р 6 V.

Предположим поэтому, что р3 < #i- Если какая-нибудь из компонент Pi, р2 была бы < (1 - Xi)/2, то мы могли бы добиться (переставляя,

если нужно, 1, 2), чтобы Pi < (1 - Xi)/2. Это дает нам а е- р по S = (1, 3) из (36:8). Следовательно,

->

Ясно, что Рз 2 -1. Таким образом, каждая компонента р будет соответствующей компоненты а", и так как оба вектора являются дележами

-> ->

(см. сноску 1), они совпадают: р = а", и поэтому Р 6 V. Это завершает проверку (30:5:Ь) 2). Таким образом, мы установили критерий (36:А) 3).



36,3. Другие участки главной диагонали

36.3.1. Когда xi выходит за пределы области (36:А) из п. 36.2.1, т. е. когда эта переменная переходит границу в х± = -1/5, множество V из (36:3) перестает быть решением. В самом деле, можно найти решение, которое справедливо в некоторой области при xt > -1/5 (присоединяя х± = -1/5) и которое получается добавлением к V из (36:3) следующих дележей:

Точная формулировка теперь такова:

(36:В) Множество V из (36:3) и (36:10) является решением в том и только в том случае, когда -1/5 < х{ 0 2).

Доказательство (36:В) имеет тот же вид, что и приведенное выше доказательство (36:А), и мы не предполагаем здесь его обсуждать.

Области (36:А) и (36:В). исчерпывают ту часть всего допустимого интервала -1 rg xv 5g 1, на которой xt 0, т. е. половину У 7-центр диагонали У 7-центр-/.

36.3.2. Решения, аналогичные множеству V, описанному в (36:А) из п. 36.2.1 и в (36:В) из п. 36.3.1, можно найти по другую сторону х± > 0 диагонали, т. е. в половине центр-/. Оказывается, что в этой половине встречаются такие же качественные изменения, как в первой половине, описанной в (36:А) и в (36:В). Фактически существуют три таких интервала, именно:

а VIIJ Центр /

(36:С) 0xt<±9

(36:D) 1<,

л Рис. 44.

(36:Е) у Xil

(см. рис. 44, который следует сравнить с рис. 43).

Мы не будем обсуждать решения, соответствующие областям (36:С), (36:D), (36:Е)3).

Читатель, однако, может заметить, что xt = 0 принадлежит обеим (соседним) областям (36:В) и (36:С) и аналогично, xt = 1/3 принадлежит обеим областям (36:D) и (36:Е). Как показывает тщательная проверка соответствующих решений, это происходит потому, что, хотя в х = 0 и 1/3 имеются качественные изменения, эти изменения не являются разрывными.

Л С 5

1 / /

9 3

г) Анализ проведенного выше доказательства показывает, что когда х± становится > - 1/5, это оказывается неверным: множество £=(1, 3) (и вместе с ним (2, 3)) перестает

быть эффективным для а!. Зато, конечно, восстанавливается трехэлементное множество S = (1, 2, 3), которое было раньше исключено, так как множество (1, 3) (и (2, 3)) содержалось в нем.

Таким образом, доминирование этим элементом а из V теперь становится более трудным, и, следовательно, неудивительно, что в поисках решения приходится рассматривать некоторое расширение множества V.

2) Заметим, что разрыв в = -1/5 принадлежит (36:А), а не (36:В)! Точная теория совершенно недвусмысленна, даже в таких вопросах.

3) Другое семейство решений, также покрывающих часть этой же области, будет рассматриваться в п. 38.2. См., в частности, п. 38.2.7 и сноску 2 на стр. 342.



С другой стороны, точка х = 1/9 не принадлежит ни одной из соседних областей (36:С) или (36:D). Оказывается, что оба решения V, справедливые в этих двух областях, неприменимы в точке х± = 1/9. Условия в этой точке до сих пор еще недостаточно ясны.

§ 37. ЦЕНТР И ЕГО ОКРЕСТНОСТИ 37.1. Первоначальная ориентировка в отношении условии около центра

37.1.1. Рассмотрения предыдущего параграфа ограничивались одномерным подмножеством куба Q, именно диагональю FJ/7-центр-/. Используя перестановки игроков 1, 2, 3, 4 так, как описано в п. 34.3, эти рассуждения можно распространить на все четыре главные диагонали Q. Методами, аналогичными методам предыдущего параграфа, можно также найти решения вдоль некоторых других одномерных линий в Q. Таким образом, в Q существует обширная сеть линий, на которых решения известны. Мы не предполагаем их перечислять по той причине, что информация, которую можно на этом пути получить, вероятно/ соответствует теперь только временному состоянию дел.

Однако нужно заметить, что такой поиск решений вдоль отдельных изолированных одномерных линий, когда исследования ждет весь трехмерный массив куба Q, может быть разве лишь первым подходом к задаче. Если мы сможем найти такую трехмерную часть куба, хотя бы и малую, для всех точек которой годится один и тот же качественный тип решения, то мы будем иметь некоторое представление об условиях, которые следует ожидать. Оказывается, существует такая трехмерная часть вблизи центра Q. По этой причине мы будем обсуждать условия около центра.

37.1.2. Центр соответствует значениям координат хи х2, х3, равным О, 0, 0, и представляет собой, как было выяснено в п. 35.3.1, единственйую (полностью) симметричную игру в нашем множестве. Характеристическая функция этой игры принимает значение

(37:1) у (S) = \ 0, если S имеет

Г О 1

2 элементов

I о U

(см. (35:8)). Как и в соответствующих случаях в пп. 35.1, 35.2, 36.1, мы снова начинаем с эвристического анализа.

Очевидно, в этой игре целью всех стратегических усилий является образование коалиции из трех лиц. Ясно, что игрок, остающийся в одиночестве, проигрывает; в этом же смысле любая коалиция из трех лиц выигрывает; если же окончательно образуются двекоалиции по два игрока в каждой, то, очевидно, этот случай интерпретируется как ничья.

Здесь возникает следующий качественный вопрос. Целью в описанной игре является образование коалиции из трех лиц. Возможно, что в переговорах, предшествующих каждой из партий, сначала будет составляться коалиция из двух лиц. Эта коалиция будет затем договариваться с двумя остающимися игроками, пытаясь войти в соглашение с одним из них против другого. После того, как участие этого третьего игрока обеспечено, встает вопрос, будет ли он допущен в окончательную коалицию на тех же самых условиях, что и два первоначальных члена, илцнет. Если ответ

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [ 105 ] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]