назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [ 104 ] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


104

По-видимому, именно эти аргументы оправдывают нашу точку зрения, что в природе решений имеется некоторое качественное изменение при

х±= -- (на диагонали 7-центр-У 7).

36.2.2. Доказательство (36:А) можно провести строго без какой-либо особой технической трудности. Оно состоит в несколько механическом перечислении ряда частных случаев и не проясняет принципиальной стороны вопроса Следовательно, читатель при желании может пропустить чтение доказательства, не теряя связи с основным направлением изложения. Он должен только помнить формулировку результатов в (36: А).

Тем не менее мы приведем доказательство полностью по следующей причине. Множество V из (36:3) было найдено эвристически, т. е. вообще без использования точной теории п. 30.1. Последующее строгое доказательство основывается только на теории п. 30.1 и посредством нее возвращает нас в конечном счете к единственно удовлетворительной точке зрения - к точной теории. Эвристические рассмотрения были только схемой для угадывания решения из-за недостатка лучших методов, и это - счастливая черта Точной теории, раз оказывается возможным угадать этим способом даваемые ею решения. Но такую догадку нужно затем проверить точным методом или, вернее, точный метод должен быть использован для определения того, в какой области значений дараметров догадка справедлива. Мы приводим строгое доказательство, чтобы дать возможность читателю подробно сопоставить и сравнить эти две процедуры: эвристическую и строгую.

36.2.3. Доказательство состоит в следующем.

Если Xi = -1, то мы находимся в вершине VIII и множество V из (36:3) совпадает с множеством, которое мы ввели эвристически (как решение) в п. 35.2.3, что легко можно строго проверить (см. также сноску 1 на стр. 315). Следовательно, теперь мы можем исключить этот случай и предположить, что

(36:4) *i>-1.

Мы сначала должны установить, какие из множеств S / = (1, 2, 3, 4) заведомо необходимы или заведомо не необходимы (в смысле п. 31.1.2), так как мы проводим доказательство как раз такого типа, который рассматривался там.

Непосредственно можно сделать следующие замечания:

(36:5) Вследствие (31:Н) в п. 31.1.5 трехэлементные множества S

заведомо необходимы, двухэлементные сомнительны, а все остальные заведомо не необходимы 2).

(36:6) Всякий раз, когда двухэлементное множество заведомо необходимо, мы должны исключить все трехэлементные множества, подмножеством которых оно является вследствие (31 :С) из п. 31.1.3.

х) Читатель может сопоставить это доказательство с доказательством, проводимым в связи с теорией игр двух лиц с нулевой суммой, например, комбинацию п. 16.4 с п. 17.6. Такое доказательство более прозрачно; оно обычно охватывает больше случаев и дает некоторое качественное разъяснение предмета и его связи с другими разделами математики. В ходе дальнейшего изложения теории такое доказательство встретится, например, в § 46. Однако большая часть теории все еще остается в примитивном и технически неудовлетворительном состоянии, типичными примерами чего являются последующие рассмотрения.

2) Ввиду того, что п = 4.



Поэтому мы будем теперь проверять двухэлементные множества. Это,

->

конечно, следует сделать для всех а в множестве V из (36:3).

Рассмотрим сначала те двухэлементные множества S, которые встречаются в дележе а г). Так как vl\ = -1, мы можем по (31:А) из п. 31.1.3 исключить возможность того, что S содержит игрока 4. Множество S = = (1, 2) было бы эффективным, если быа{ + &2 S£ v ((1, 2)), т. е. 1 - xt -2хи <i -1, что противоречит (36:4). S = (1, 3) эффективно, если а[ + а3 v ((1, 3)), т. е. (1 + xt)/2 -2хи х± -1/5. Таким образом, впервые появляется условие

(36:7)

соблюдение которого мы предполагали. S = (2, 3) мы можем не рассматривать, так как игроки 1 и 2 играют в а одинаковую роль (см. сноску 1).

Перейдем теперь к а". Так как а£ = -1, то мы исключаем теперь множества S, содержащие игрока 3 (см. выше). S = (1, 2) не рассматривается по прежней причине, так как а и а" совпадают на этих компонентах. S = (1, 4) было бы эффективным, если бы было а[ + <%l v ((1, 4)) т. е. (1 + xi)/2 2хи Xi 1/3, что противоречит (36:7). S = (2, 4) исключается по той же причине.

Возьмем, наконец, а!". S = (1, 2) эффективно: а™ + а" = v ((1, 2)), т. е. -2xi = -2xt. S = (1, 3) не нужно рассматривать по следующей

причине: мы уже рассмотрели S = (1, 2) для а"; если мы поменяем местами игроков 2 и 3 (см. сноску 1 на этой стр.), то это S перейдет в (1, 3)

с компонентами -хи -#4. Таким образом, наше первоначальное S =

->

= (1, 3) для сс" становится не необходимым по (31:В) из п. 31.1.3, так как вследствие (36:7) - #4 х±. S = (2, 3) исключается по той же причине. S .== (1, 4) было бы эффективным, если]бы было а" + a" v ((1, 4)), т. е. О 2#!, 0, что противоречит (36:7). S = (2, 4) исключается по той же причине. S = (3, 4) эффективно: а!," + а" = v ((3, 4)), т. е. 2х\ == 2х\.

Резюмируем:

(36:8) Среди двухэлементных множеств S три, перечисленные ниже,

заведомо необходимы (а все остальные заведомо не необходимы):

(1, 3) для а, (1, 2) и (3, 4) для а".

Что касается трехэлементных множеств £, то по (31:А) из п. 31.1.3 мы можем исключить множества, содержащие 4 для а и 3 для а". Следовательно, для а! остается только (1, 2, 3), а для а" - только (1, 2, 4). Из этих двух первое исключается по (36:6), так как оно содержит множество (1, 3) из списка (36:8). Для <хт любое трехэлементное множество содержит множество (1, 2) или множество (3, 4) из списка (36:8), следовательно, мы можем исключить их согласно (36:6).

*) Здесь и во всем последующем рассуждении мы для сокращения доказательства сохраним свободу выполнения перестановок игроков 1, 2, 3 (см. (36:3)). Следовательно, читатель должен будет впоследствии применить к нашим результатам эти перестановки игроков 1, 2, 3.



Резюмируем:

(36:9) Среди трехэлементных множеств S одно, данное ниже, заве-

домо необходимо (а все остальные заведомо не необходимы) 1):

(1, 2, 4) для а".

36.2,4. Проверим теперь условие (30:5:а) из п. 30.1.1, т. е. что ника--> ->

кое а £ V не доминирует ни одно 3 £ V.

а = сх. На основании (36:7) и (36:9) мы должны использовать S -

= (1, 3). Может ли а по этому множеству S доминировать а, или а",

или а", подвергнутый какой-нибудь из перестановок игроков 1, 2, 3? Для этого, прежде всего нужно существование компоненты меньшей, чем

Xi (это 3-я компонента а), среди компонент 1, 2, 3 рассматриваемого

-> -> ->

дележа. Таким образом, а! и а" исключаются 2). Также в а" исключаются компоненты 1, 2 (см. сноску 2 на этой стр.), но компонента 3 остается.

Но теперь другая из компонент 1, 2, 3 этого дележа а" должна быть

< (1 - Xi)l2 (это 1-я компонента а), что невозможно, так как обе ком-

поненты 1, 2 дележа а" равны (1 - х±)/2.

-у -у

а = а". По (36:8) и (36:9) мы должны использовать S = (1, 2, 4).

Может ли а" по этому S доминировать какой-либо дележ а, или а",

или а", подвергнутый перестановке игроков 1, 2, 3? Для этого прежде всего требуется, чтобы компонента 4 рассматриваемого дележа была <#i

(это 4-я компонента а"). Таким образом, а" и а" исключаются. Для а! мы, далее, должны потребовать, чтобы две из ее компонент 1, 2, 3 были

< (1 - Xi)/2 (это 1-я и 2-я компоненты а"), что невозможно, так как только одна из этих компонент Ф (1 - a:4)/2.

а = а". По (36:8) и (36:9) мы должны использовать S = (1, 2),

а затем S = (3, 4). Пусть S = (1, 2); может ли а" доминировать по такому S в том же смысле, что и выше? Для этого требуется существование двух

компонент <С -Xi (это 1-я и 2-я компоненты ат) среди компонент 1, 2, 3

рассматриваемого дележа. Это невозможно для а", так как там только

одна из этих компонент Ф -xt. Это также невозможно для а или а", так как в этих случаях только одна из компонент Ф (1 - х)12 3). Пусть

S = (3, 4); может ли а" доминировать по этому £? Для этого требуется прежде всего чтобы 4-я компонента рассматриваемого дележа была <#i

-у • -у -у -у

(это 4-я компонента а"). Таким образом, а" и aw исключаются. Для а мы, далее, должны потребовать существование компоненты <Сх4 (это 3-я

компонента aw) среди его компонент 1, 2, 3, и это невозможно, так как все эти компоненты Xi (см. сноску 2 на этой стр.). Это завершает проверку (30:5:а).

*) Так как по (36:5) трехэлементное множество заведомо необходимо, это является другой стороной явления, упомянутого в конце замечания на стр. 293.

2) В самом деле, по (36:7) (1 - х1)/2 хи т. е. 1/3 и - а, т, е. Xi 0.

3) И (1 - Xi)/2 -*«., т. е. i= -1.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [ 104 ] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]