назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [ 103 ] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


103

«вместо кровно двух, несущественно: общую операцию можно получить, итерируя частную.

Из этих замечаний следует, что трудности, с которыми мы столкнемся далее, имеют прямое отношение к п. 27.6.3, как там было отмечено.

Можно даже надеяться, что эта комбинация будет некоторым образом аналогична расположению центра тяжести X точек / - VIII. .

В пп. 36.3.2 и 38.2.5-7 мы увидим, что это справедливо в отдельных частях Q, но, конечно, не везде в Q. На самом деле в некоторой внутренней области Q наблюдаются явления, качественно отличные от явлений в точках / - VIII. Все это показывает, сколь тщательно следует подходить к понятиям, связанным со стратегиями или с предположениями о них. Математический подход в настоящий момент находится в таком зачаточном состоянии, что требуется накопление большого опыта, прежде чем можно будет почувствовать себя уверенно в этой области.

36.1. Участок, примыкающий к вершине VIII* Эвристическое описание

36.1.1. Систематическая теория игр четырех лиц еще не разработана настолько, чтобы представить полный список решений для всех игр, описываемых точками Q. Мы не в состоянии указать даже по одному решению для каждой такой игры. До сих пор исследования достигали успеха только в определении решений (иногда одного, иногда нескольких) в некоторых частях Q. Только для каждой из восьми вершин / - VIII установлен полный список решений. В настоящее время части Q, для которых решения известны, образуют, вообще говоря, довольно случайные линейные, плоские и пространственные области. Они распределены по всему Q, но не заполняют его полностью.

Полный список решений, известных для вершин / - VIII, можно легко установить с помощью результатов гл. IX и X, где эти игры будут рассматриваться в рамках некоторых более обширных разделов общей теории. Пока мы ограничимся фрагментным подходом, который состоит в описании частных решений в тех случаях, когда они известны. Цель .этого описания будет заключаться отнюдь не в точной оценке современного состояния этих исследований х), к тому же это заняло бы очень много места. Мы только рассмотрим отдельные случаи, которые, как мы надеемся, достаточно наглядны.

36.1.2. Мы рассмотрим сначала условия на главной диагонали /-центр-VIII в Q вблизи ее конца в вершине VIII, где xi = х2 = х3 = -1 (см. п. 35.3.3), и попытаемся произвести распространение, насколько это возможно, на xt = х2 = х3 > -1 (рис. 43). На этой диагонали

§ 36. РАССМОТРЕНИЕ ГЛАВНЫХ ДИАГОНАЛЕЙ

<36:1)

2(и игрок 4

принадлежит S)

у (5)

если S имеет элементов \

2(и игрок 4

не принадлежит S).



Диагональ I-Цвнтр - VIII V/M / Центр

Рис. 43.

(заметим, что это дает (35:1) из п. 35.1.1 для xt = 1 и (35:6) из п. 35.2.1 для Xi = -1). Мы предполагаем, что xt больше, чем -1, но не очень намного; как велико может быть это отклонение, выяснится позже. Рассмотрим сначала эту ситуацию эвристически.

Так как предполагается, что xt не очень отличается от -1, рассуждения п. 35.2 могут все еще оставаться в силе. Образование двухэлементной коалиции из игроков 1, 2, 3 может даже теперь являться важнейшей стратегической целью, но не единственной: формула (35:7) из п. 35.2.1 перестает быть верной; вместо нее мы имеем

(36:2) v(S[}T)>v(S) + v(T),

если S П Т - 0

при Т = (4) 1). В самом деле, из (36:1) легко найти, что это превышение всегда равно 2) 2 (1 + Xi). Для xt = -1 оно обращается в нуль, но мы имеем xt немного > -1; поэтому это выражение немного >0. Заметим, что для упомянутой выше коалиции из двух игроков, куда не входит игрок 4, превышение в (36:2) 3), согласно (36:1), всегда равно 2 (1 - xt). Для х = -1 это выражение равно 4, а так как немного больше -1, то оно будет только немного меньше 4.

Таким образом, первая коалиция (из двух игроков, отличных от игрока 4) является намного более сильной, чем любая другая (где появляется игрок 4). Тем не менее последними коалициями не следует пренебрегать. Так как первая коалиция сильнее, можно ожидать; что она образуется с самого начала и что, как только она образовалась, она будет действовать как один игрок по отношению к двум оставшимся. Следовательно, можно ожидать, что в конце концов образуется некоторого рода игра трех лиц.

36.1.3. Если взять в качестве первой коалиции (1, 2), то предположительная игра трех лиц будет происходить между игроками (1, 2), 3, 4 4). В этой игре значения а, Ь, с из п. 23.1 равны

a = v((3,4)) = 2xlf b = v((l,2,4)) = l, c = v((l, 2, 3)) = 1 *).

Следовательно, если мы можем применить полученные там результаты (все это чрезвычайно эвристично!), то игрок (1, 2) получает величину a = (- а + Ъ + с)/2 - 1 - xt в случае успеха (в образовании* одной из последних коалиций) и -a = --2xi при неудаче. Игрок 3 получает

л) Если S = 0 или -Г. то в этом случае в (36:2) всегда имеет место знак =. То есть в рассматриваемой ситуации коалиция S должна состоять из одного или двух элементов.

2) Согласно предыдущей сноске S имеет один или два элемента и не содержит игрока 4.

3) То есть теперь S, Т - два одноэлементных множества, не содержащих игрока 4.

4) Можно было бы сказать, что игрок (1,2) - это юридическое лицо, в то время как игроки 3, 4 в нашем примере - физические лица.

5) Напомним, что во всех последующих формулах xt близко к -1, т. е. по предположению отрицательно; следовательно, - х± - это выигрыш, а х± - проигрыш.



величину р = (а - Ъ + с)/2 = xt в случае успеха и -Ъ = -1 при неудаче. Игрок 4 получает величину у = (а + Ъ - с)/2 = х± в случае успеха, и -с = -1 при неудаче.

Так как «первыми» могут являться коалиции (1, 3), (2, 3), так же как и (1, 2), вследствие тех же самых эвристических причин, что и при обсуждении игры трех лиц (в §§ 21, 22), можно ожидать, что партнеры в этих коалициях разделят выигрыш поровну. Таким образом, когда коалиция добивается успеха (см. выше), ее члены могут надеяться на выигрыш (1 - #i)/2 каждый, а в случае проигрыша - на xt каждый.

36.1.4. Резюмируем. Если наши предположения подтвердятся, то ситуация будет следующей.

Если «первой» является коалиция (1, 2) и ей удается найти союзника и если тем игроком, который соединяется в окончательной Коалиции с игроками 1, 2, оказывается игрок 3, то игроки 1, 2, 3, 4 получают соответственно выигрыши (1 - #i)/2, (1 - #i)/2, х±, -1. Если таким присоединяющимся к игрокам 1, 2 оказывается игрок 4, то эти величины заменяются на (1 - #i)/2, (1 - х±)/2у -1, х±. Если «первая» коалиция (1, 2) неудачна, т. е. если игроки 3, 4 объединяются против нее, то все игроки получают соответственно выигрыши -х±, -х хи х±.

Если «первой» является коалиция (1, 3) или (2, 3), то к приведенному описанию нужно применить соответствующую подстановку игроков 1, 2, 3.

36.2. Участок, примыкающий к вершине VIII. Точное описание

36.2.1. Теперь необходимо строго проверить все сказанное. Эвристический набросок, очевидно, соответствует следующему предположению. Пусть V - следующее множество дележей:

(36*3) а"- -Г1-"*1 1 ~Xi -1 # ЭТИХ пеРестановкои игроков

дележи, получающиеся из IX перестановкой игрок (т. е. компонент) 1, 2, 3

Об" - { - Х\ч -х±У

(см. сноску 5, стр. 321). Мы ожидаем, что это множество V является решением в строгом смысле п. 30.1, если х± близко к -1; мы должны установить, так ли это и для какого именно промежутка изменения х±.

Установление этого (если вообще возможно) приводит к следующему результату.

(36:А) Множество V, состоящее из векторов (36:3), является решением в том и только в том случае, если -1 х± -1/5.

Это является ответом на вопрос, в каком по размеру промежутке (от начальной точки х± = -1, т. е. от вершины VIII) приведенное выше эвристическое рассмотрение приводит к правильному результату.

Замечание. Мы хотим подчеркнуть, что (36:А) не утверждает, что V является (в данном промежутке изменения х±) единственным решением рассматриваемой игры. Однако многочисленные попытки с аналогично построенными множествами найти другие решения для х -1/5 (т. е. в области (Зб:А)) потерпели неудачу. Для Xi немного >> -1/5 (т. е. немного выходящего за пределы (36:А)), где множество V из (Зб:А) больше не является решением, справедлив тот же результат для решения, которое его заменяет. (См. (36:В) в п. 36.3.1.)

Мы, конечно, не сомневаемся, что другие решения «дискриминирующего» типа, как обсуждалось неоднократно, всегда существуют. Но они совершенно отличны от конечных решений V, которые здесь рассматриваются.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [ 103 ] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]