назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [ 102 ] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


102

*) Конечно, данное обсуждение эвристично во всех отношениях. Что касается строгого рассмотрения, см. сноску 1 на стр. 315.

2) Это-«физическая подоплека» в смысле п. 4.6.3.

п. 23.1.3 или же строгие результаты из § 32 х). Во всяком случае, мы ограничимся решением, имеющим место в обоих случаях и являющимся простейшим; это решение (32:В) из п. 32.2.3. Оно является множеством дележей (32:6) из п. 32.2.1, которое мы должны умножить на имеющееся значение 7 = 4/3, т. е.

t з з з j ХзЗз/ззз/*

(Игроками здесь, конечно, будут 1, 2, 3.) Другими словами, цель стратегии игроков 1, 2, 3 - образовать какую-нибудь коалицию из двух; игрок, попадающий в нее, т. е. выигрывающий, получает 2/3; проигрывающий же игрок получает -4/3. Итак, каждый из игроков 1, 2, 3 нашей исходной игры получает выигрыш на 1/3 больше; следовательно, полученные выше величины 2/3, -4/3 нужно заменить на 1, -1.

35.2.3. Резюмируем:

35: В) Это игра, в которой игрок 4 исключается из всех коалиций. Стратегическая цель остальных игроков 1, 2, 3 состоит в образовании какой-нибудь коалиции из двух игроков. Игрок 4 в любом случае получает -1. Каждый из остальных игроков 1, 2, 3 получает величину 1, если он находится среди выигрывающих, и -1, если он проигрывающий. Все это основано на эвристических рассмотрениях.

Можно было бы сказать более выразительно, что эта игра четырех лиц есть всего лишь «раздутая» игра трех лиц; именно, существенная игра трехлиц из игроков 1, 2, 3, расширенная добавлением «болвана» в лице игрока 4. Далее мы увидим, что эта концепция имеет более общее значение (см. сноску 1 на стр. 315).

35.2.4. Можно было бы сравнить роль «болвана» для игрока 4 в этой игре с исключением, которому подвергается игрок в дискриминирующем решении (32:А) в п. 32.2.3, как это обсуждалось в п. 33.1.2. Однако существует важное различие между этими двумя явлениями. При нашем настоящем подходе игрок 4 не имеет никаких оснований для участия в какой-либо коалиции вообще; он остается в стороне из-за характеристической функции v (S). Наши эвристические рассмотрения показывают, что он должен быть исключен из всех коалиций во всех допустимых решениях. Мы увидим в п. 46.9, что точная теория устанавливает именно это. Исключенный игрок в дискриминирующем решении в случае п. 33.1.2 исключается только в конкретной рассматриваемой ситуации. Насколько показывает характеристическая функция этой игры, его роль не отличается от роли каждого из остальных игроков. Другими словами, «болван» в рассматриваемой нами игре исключается из-за объективных явлений ситуации (характеристической функции v(S)) 2).

Исключенный игрок в дискриминирующем решении исключается только произвольными «предубеждениями», которые выражает особая .норма поведения (решения).

В начале этого параграфа мы заметили, что вершины , /77, IV отличаются от VIII только перестановками игроков. Легко проверить, что особая роль игрока 4 в VIII отводится в , 77/, /соответственно игрокам 1, 2, 3.



35.3. Некоторые замечания, касающиеся внутренности Q

35.3.1. Рассмотрим теперь игру, соответствующую центру Q, т. е. значениям координат хи х2, х3, равным 0, 0, 0. Ясно, что эта игра не изменяется при любой подстановке игроков 1, 2, 3, 4, т. е. что она симметрична. Заметим, что это единственная из таких игр в Q, так как полная симметрия означает инвариантность при всех подстановках х{, х2, х3 или изменениях знака любых двух из них (см. п. 34.3); следовательно, х{ = х2 - = #3 = 0. Характеристическая функция этой игры v (S) равна

(35:8) v(5) = •

ГО 1

2 элементов1).

0 -1

0 если S имеет

(Проверка производится непосредственно с помощью соотношений (34:1)г (34:2), (34:3) из п. 34.2.1.) Точные решения этой игры многочисленны; приходится даже признать, что их разнообразие немного ошеломляет. Пока еще не удается упорядочить и систематизировать их последовательным применением имеющейся общей теории в такой мере, как хотелось бы. Тем не менее найденные примеры решений приводят к поучительному проникновению в различные ответвления теории. Мы рассмотрим их более детально в §§ 37 и 38.

Пока мы сделаем лишь следующее (эвристическое) замечание. Смысл этой полностью симметричной игры состоит, очевидно, в том, что любое большинство игроков (т. е. любая коалиция из трех) выигрывает, а в случае равных коалиций (т. е. когда образуются две коалиции, каждая из двух игроков) никаких выплат не производится.

35.3.2. Центр Q представляет единственную (полностью) симметричную (т. е. относительно всех перестановок игроков 1, 2, 3, 4) игру в нашей постановке. Геометрическая картина указывает также на другую симметрию: по отношению ко всем перестановкам координат х{, х2, х3. Следуя этим путем, мы выбираем точки Q, для которых

(35:9) xt = хг = х3

и которые образуют главную диагональ Q, т. е. прямую

(35:10) /-центр-УШ.

В начале п. 34.3.1 мы видели, что эта симметрия означает в точности то, что игра инвариантна относительно всех перестановок игроков 1, 2, 3. Сформулируем это же другими словами.

Главная диагональ (35:9), (35:10) представляет все те игры, которые симметричны по отношению к игрокам 1, 2, 3, т. е. где особую роль может иметь только игрок 4.

Куб Q имеет еще три главные диагонали ( -центр-F, /-центр-F/, /7-центр-7 ), и они, очевидно, соответствуют играм, в которых один из остальных игроков (соответственно, 1, 2, 3) может иметь особую роль.

Вернемся к главной диагонали (35:9), (35:10). Три ранее рассмотренные игры (/, VIII, центр) лежат на ней; в действительности во всех этих играх только игрок 4 имел особую роль 2). Заметим, что вся эта категория

*) Это представление еще раз показывает, что игра симметрична и однозначно характеризуется этим свойством. См. анализ в п- 28.2.1. 2) А в центре даже он не имел.



игр является однопараметрическим многообразием. Вследствие (35.9) такая игра характеризуется значением xi9 где

(35:11) -lSil.

Три упомянутые игры соответствуют крайним значениям #4 = 1, х - -1 и среднему значению xt = 0. Для того чтобы продвинуться дальше в разработке общей теории, было бы желательно определить точные решения для всех этих значений хх, а затем посмотреть, как изменяются эти решения при изменении xi9 если двигаться вдоль (35:10). Особенно интересно было бы выяснить, как качественно различные виды решений, соответствующие частным значениям Xi = 1, 0, 1, переходят один в другой. В п. 36.3.2 мы дадим пояснения по поводу информации, уже имеющейся в этом обсуждении.

35.3.3. Другим интересным вопросом является следующий. Рассмотрим сначала игру, т. е. точку в Q, в которой мы можем интуитивно представить, каким там будет решение, например вершину VIII. Затем рассмотрим игру в непосредственной окрестности VIII, т. е. игру со слегка измененными значениями xi9 хг, х3. Теперь было бы желательным найти точные решения для этих соседних игр и посмотреть, в чем они отличаются от решений исходной игры, т. е. как малое изменение xi9 х2, х3 изменяет решение 1). Частные случаи такой постановки вопроса будут рассмотрены в п. 36.1.2, в конце п. 37.1.1, а также в п. 38.2.7.

35.3.4. До сих пор мы рассматривали игры, которые представляются точками Q более или менее частного вида 2). Более общая, а возможно, и более типичная задача возникает, когда представляющая точка X находится внутри Q в «общем» положении, т. е. в положении, не имеющем никаких особых отличительных свойств.

Можно было бы теперь подумать, что хороший эвристический путь для исследования задачи в таких точках дается следующей схемой. Мы имеем некоторые эвристические наметки относительно условий в вершинах / - VIII (см. пп. 35.1 и 35.2). Любая точка X из Q в какой-то мере «окружена» этими вершинами; точнее говоря, она является их центром тяжести с соответствующими весами. Следовательно, можно предположить, что стратегия игр, представляемых точками X, является в некотором смысле комбинацией (более знакомых) стратегий игр, представляемых точками / - VIII.

Замечание. Рассмотрим две точки Х = {xt, х2, х3} и Y - {yi4 у2, уз} из Q. Мы можем рассматривать их как векторы в Ь3 и именно в этом смысле понимать центр тяжести tX + (l - t) Y = {tXi-\-(l- t) yi4 ta2 + (l- t) у2, tx3-\-(l - t) у3} (см. (16:А:с) в п. 16.2.1).

Теперь, если X = {х1ч х2, х3} и Y = {yi4 у2, у3} определяют характеристические функции \{S) и w(S) в смысле (34:1) - (34:3) из п. 34.2.1, то точка tX + (1 - t) Y будет определять по такому же правилу характеристическую функцию

u (S) = tv {S) + (1 - t) w (S).

(Это соотношение легко проверить с помощью указанной выше формулы.) Именно эта функция u (S) была введена формулой (27:10) в п. 27.6.3 как центр тяжести v (S) и w (S).

Таким образом, рассмотрения в тексте согласованы с рассмотрениями в п. 27.6. То, что мы имеем дело с центрами тяжести более чем двух точек (их восемь: / - VIII)

х) Эта процедура известна в математической физике, где она используется для нахождения решений, которые нельзя получить в общем виде в настоящее время: это теория возмущений.

2) Вершины, центр и вся главная диагональ.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [ 102 ] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]