назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [ 101 ] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


101

три игрока. Это преимущество выражается также посредством выигрышей, которые должен получить каждый из игроков 1, 2, 3, 4, когда он находится среди выигрывающих,- если можно довериться нашей эвристической дедукции. Эти выигрыши равны соответственно 1/3, 1/3, 1/3, 5/3. Следует заметить, что преимущество игрока 4 относится только к случаю победы; при поражении все игроки находятся в одинаковом положении (т. е. получают -1).

Обстоятельство, упомянутое последним,, конечно, обусловлено нашим нормированием посредством редуцирования. Однако независимо ни от какого нормирования эта игра имеет следующую особенность: количественное преимущество одного игрока над другим, когда оба они выигрывают, может отличаться от того преимущества, когда оба они проигрывают.

Этого не может случиться в игре трех лиц, что ясно из формулировки, составляющей п. 22.3.4. Таким образом, мы впервые обнаруживаем важную новую особенность, возникающую, когда число участников достигает четырех.

35.1.4. Еще одно замечание, которое представляется существенным. В рассмотренной игре стратегическое преимущество четвертого игрока состояло в том, что ему для победы достаточно было только одного союзника, в то время как без него необходим союз из трех партнеров. Можно было бы даже попытаться построить еще более резкую форму игры, при которой проигрывает любая коалиция, не содержащая игрока 4. Существенно отдать себе отчет в том, что это ничего не дает, так как такое преимущество уже не имеет стратегической природы. В самом деле, в такой игре должно быть

если S имеет <

2 13

элементов и игрок 4 не принадлежит S,

следовательно,

если S имеет <

элементов и игрок 4 принадлежит S.

Эта игра не является редуцированной, так как

v ((1)) = v ((2)) = v ((3)) = -1, v ((4)) = 3.

Если мы применим процесс редуцирования из п. 27.1.4 к этой v(5), то найдем, что ее редуцированная форма будет v (5)== 0, т. е. игра оказывается несущественной. (Это можно увидеть сразу по (27:В) из п. 27.4.) Таким образом, эта игра имеет однозначно определенное значение для каждого игрока 1, 2, 3, 4; оно равно соответственно -1, -1,-1, 3.

Другими словами, преимущество игрока 4 в этой игре является преимуществом в фиксированном платеже (т. е. в деньгах), а не в его стратегических возможностях. Первая формулировка, конечно, более определенна и ясна, чем вторая, но теоретически менее интересна, так как к ней нельзя применить наш процесс редуцирования.



35.1.5. В начале этого параграфа мы заметили, что вершины V, VI, VII отличаются от вершины / только перестановкой игроков. Легко проверить, что особая роль игрока 4 в / заменяется игроками 1, 2, 3 соответственно в вершинах V, VI, VII.

35.2. Вершина VIII (и JT, III, IV). Игра трех лиц и «болвана»

35.2.1. Рассмотрим теперь игры, соответствующие четырем вершинам II, IV, VIII, обозначенным светлыми точками. Так как они получаются друг из друга подходящей подстановкой игроков 1, 2, 3, 4, достаточно рассмотреть одну из них, например VIII.

Точка VIII соответствует значениям -1, -1, -1 координат xi4 х2, х3. Таким образом, характеристической функцией этой игры y(S) будет

О -1 -2

(35:6) v (S) = { если S имеет элементов \

"О 1

2 (и игрок 4

принадлежит S)

2 (и

игрок 4

не принадлежит S)

(проверка осуществляется непосредственно с помощью (34:1), (34:2), (34:3) из п. 34.2.1). Снова вместо применения к этой игре математической теории гл. VI посмотрим сначала, не допускает ли она непосредственную интуитивную интерпретацию.

Важная черта этой игры состоит в том, что неравенство (25:3:с) в п. 25.3 превращается в равенство, т. е.

<35:7) v(S\JT)=v(S) + v(T), если S(]T=0

при Т = (4). Это означает следующее. Если S представляет собой коалицию, не содержащую игрока 4, то добавление игрока 4 к этой коалиции не дает ей преимущества, т. е. оно никак не влияет на стратегическое положение ни этой коалиции, ни ее противников. В этом и состоит смысл аддитивности, выраженной в (35:7).

Замечание. Заметим, что безразличие в отношении присоединения к коалиции игрока 4 выражается именно формулой (35:7), но не равенством

v (SUT) = v (S).

Это означает, что игрок «безразличен» как партнер не тогда, когда его добавление не изменяет выигрыша коалиции, а тогда, когда он добавляет в коалицию ровно ту величину (и не больше), которой он «стоит» сам по себе.

Это замечание может показаться тривиальным; однако существует некоторая опасность неверного понимания, особенно в нередуцированных играх, где v ((4)) >• О, т. е. где добавление игрока 4 (хотя стратегически и несущественное!) фактически увеличивает выигрыш коалиции. Заметим также, что безразличие S и Т = (4) друг к другу является строго, взаимным отношением.

35.2.2. Это обстоятельство приводит к следующему выводу, который, конечно, чисто эвристичен г). Так как добавление игрока 4 к любой

г) Впоследствии мы предпримем точное обсуждение на основе п. 30.1. Тогда же будет также найдено, что все такие игры являются частными случаями более общих довольно важных классов игр (см. гл. IX, особенно п. 41.2).



коалиции оказывается совершенно безразличным для обеих сторон, представляется правдоподобным предполагать, что игрок 4 не принимает участия в сделках, составляющих стратегию игры. Он изолирован от других, и величина, которую он может получить сам по себе, т. е. v (S) = - 1, действительно равна значению игры для него. С другой стороны, остальные игроки 1, 2, 3 могут играть игру только между собой, следовательно,, они разыгрывают игру трех лиц. Значения первоначальной характеристической функции v (S), описывающие исходную игру трех лиц, равны

v((0)) = O, )

о v((l))=v((2))=v((3))= -1, I / = (1,2,3) является теперь

(ЗЪ:Ь ) v((l, 2))=v((l, 3))=v((2, 3)) = 2, j множеством всех игроков.

v((l,2,3)) = l J

(Проверить это по (35:6).)

На первый взгляд кажется странным, что значение v (/) (теперь V является множеством всех игроков!) отлично от нуля. Это, однако, вполне понятно: исключая игрока 4, мы приходим к игре с ненулевой суммой, так как мы предназначили для игрока 4 значение, равное -1, а остальные получают вместе величину 1. Мы все еще не занимаемся систематическим описанием этой ситуации (см. сноску 1 на стр. 315). Однако очевидно,» что это условие можно обойти при помощи небольшого обобщения преобразования, использованного в п. 27.1. Мы модифицируем игру с игроками 1, 2, 3, предполагая, что каждый игрок заранее получает выигрыш, равный 1/3, и это компенсируется эквивалентным уменьшением значений v (S) в (35:6*). Так же, как и в.п. 27.1, это не может повлиять на стратегию* игры, т. е. приводит к стратегически эквивалентной игре.

Замечание. В терминологии п. 27.1.1 а\ = а% = а§ = -1/3. Условием,, которое мы здесь нарушили, является (27:1):2а? = О- Это неизбежно, так как мы

начали с игры с ненулевой суммой. Условие = 0 как раз могло бы быть сохра-

нено, если включить в рассмотрение игрока 4, полагая aj = 1. Это оставило бы его,, как и раньше, изолированным, но необходимая компенсация привела бы к тому, что* v ((4)) стало бы равным 0, результаты чего очевидны. Резюмируя, можно сказать, что* в данной ситуации редуцированная форма игры не является наилучшей основой для обсуждения всех стратегически эквивалентных форм.

После рассмотрения упомянутых выше компенсаций г) мы получаем новую характеристическую функцию:

v((0)) = O,

(35:6**)

v((l)) = v((2)) = v((3))=-f

v((l,2)) = v((l, 3)) = v ((2, 3)) = v((l,2, 3)) = 0.

Она является редуцированной формой существенной игры трех лиц с нулевой суммой, обсужденной в § 32 (за исключением различия в единице измерения). Теперь мы имеем 7 = /Звместоу = 1 из (32:1)вп. 32.1.1. Таким образом, мы можем применить эвристические результаты из

*) То есть вычитание величины 1/3 из v(S) столько раз, сколько элементов имеет S.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [ 101 ] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]