назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [ 100 ] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


100

Рис. 42.

числа 24 всех перестановок игроков 1, 2, 3, 4 х). Поэтому подстановку, которая заменяет игрока 4 на другого, представить таким способом нельзя.

34.3.2. Рассмотрим одну из таких подстановок. По причинам, которые выяснятся немедленно, рассмотрим подстановку А, меняющую местами игроков 1 и 4, а также 2 и 3 2). Из уравнений (34:2) и (34:3) сразу следует, что эта подстановка не изменяет хи а х2 и х3 заменяются на -х2, -х3. Аналогично проверяется, что подстановка В, меняющая местами 2 и 4, а также 1 и 3, не изменяет х2 и заменяет х3 на - xi9 -х3. Наконец, подстановка С, меняющая местами 3 и 4, а также 1 и 2, не изменяет х3 и заменяет xi9 х2 на -xt,

Таким образом, каждая из трех подстановок А, В, С воздействует только на знаки переменных хи x2l х3, причем каждая изменяет ровно два знака, сохраняя третий. Так как эти подстановки заменяют 4 соответственно на 1, 2, 3, они при комбинировании их с шестью перестановками игроков 1, 2, 3 охватывают все перестановки игроков 1, 2, 3, 4. Теперь мы видим, что перестановки игроков 1, 2, 3 соответствуют шести перестановкам xi9 х2, х3 (без изменения знака). Следовательно 24 перестановки 1, 2, 3, 4 соответствуют шести перестановкам Xt, х21 х3, причем каждая из них либо не меняет знаков, либо меняет ровно два 3).

34.3.3. Мы можем также сформулировать это следующим образом. Если мы рассматриваем все движения в пространстве, переводящие куб в себя, то легко проверить, что они состоят из подстановок координатных осей Xi, х2, х3 в комбинации с некоторыми отражениями координатных плоскостей (т. е. плоскостей х2, х3; xi9 х3; xi9 х2). Математически - это перестановки xi9 х2, х3 в комбинации с некоторыми изменениями знаков

х2, #з- Всего существует 48 таких возможностей 4). Только половина из них, те 24, для которых число перемен знаков четно (т. е. О или 2), соответствует перестановкам игроков.

Легко проверить, что эти 24 возможности соответствуют не только преобразованиям куба Q в себя, но также, как показано на рис. 42, и тетраэдра /, V, VI, VII. Такое движение можно также охарактеризовать, замечая, что оно всегда переводит вершину куба Q, обозначенную черной точкой, в вершину, обозначенную черной точкой, и вершину, обозначенную светлой точкой, в вершину, обозначенную светлой точкой, но не переводит черную точку в светлую 5).

г) См. определения (28:А:а), (28:А:Ь) в пп. 28.1.1. 2) В обозначениях п. 29.1

/1, 2, 3, 4\ /1, 2, 3, 4\ /1, 2, 3, 4\

л-и,з,2.1Г *"~U4,i,2r °-U, 1,4,3;•

3) Возможностей для таких изменений знаков в каждом случае имеется 1 + 3 = = 4, так что мы имеем 6 X 4 = 24 операции на xiy х2, х3 для представления каждой из 24 перестановок 1, 2, 3, 4 - как это и должно быть.

4) Для каждой из переменных, х2, х3 имеются две возможности: изменить знак или нет. Это дает 23 = 8 возможностей. Комбинация с шестью перестановками xi9 х2, х3 приводит к 8 X 6 = 48 операциям.

5) Данная группа движений хорошо известна в теории групп и особенно в кристаллографии, но мы далее не будем развивать этот подход.



§ 35. ОБСУЖДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ТОЧЕК КУБА Q

35.1. Вершина I (и V, VI, VII)

35.1.1. Мы начнем с определения игр, соответствующих четырем вершинам, обозначенным черными точками: /, V, VI, VII. Мы видели, что эти вершины получаются одна из другой соответствующими перестановками игроков 1, 2, 3, 4. Следовательно, достаточно рассмотреть одну из них, скажем вершину /.

Точка / соответствует значениям 1,1,1 координат хи х2, х3. Таким образом характеристическая функция этой игры v (S) равна

(35:1)

О 1 2

ее ли S имеет элементов

го 1

2 (и игрок 4

принадлежит S)

2 (и игрок 4

не принадлежит S)

(проверка осуществляется непосредственно с помощью (34:1), (34:2),. (34:3) в п. 34.2.1).

Вместо того чтобы применить к этой игре математическую теорию гл. VI, посмотрим сначала, не допускает ли она непосредственную интуитивную интерпретацию.

Заметим сначала, что игрок, предоставленный самому себе, проигрывает 1. Для него это, очевидно, самый плохой случай, так как он может гарантировать себя от дальнейших проигрышей без чьей либо помощи *). Таким образом, мы можем рассматривать игрока, получающего выигрыш -1, как проигрывающего. Коалиция из двух игроков может считаться проигрывающей, если она получает выигрыш -2, так как тогда каждый ее игрок должен обязательно получить -1 2>3). В этой игре коалиция любых двух игроков, если она не включает игрока 4, является проигрывающей в этом смысле.

Перейдем теперь к рассмотрению дополнительных множеств. Если коалиция является в указанном выше смысле проигрывающей, то дополнительное к ней множество естественно считать выигрывающей коалицией. Следовательно, двухэлементные множества, содержащие игрока 4, должны расцениваться как выигрывающие коалиции. Аналогично коалиция из трех игроков всегда выигрывает, так как любой изолированный игрок должен расцениваться как проигрывающий. Это несущественно для тех трехэлементных коалиций, которые содержат игрока 4, так как в таких коалициях выигрывают уже два члена, если только игрок 4 нахо-

*) Этот подход подтверждается и нашими результатами, касающимися игры трех лиц в § 23 и п. 33.2, и более глубоко - определением дележа в п. 30.1.1 (см. в особенности условие (30:1)).

2) Так как ни игрок, ни его партнер не должны получить меньше чем -1 и они вместе получают -2, это единственный возможный способ разделения выигрыша.

3) В терминологии п. 31.1.4 это линейная коалиция. Конечно, выигрыша от объединения игроки не получают, и потому нет причин для них составлять такую коалицию. Но если окажется, что объединившиеся два других игрока не обнаруживают намерения присоединить к себе третьего, то и в этом случае мы можем рассматривать остающихся двух игроков как коалицию.



дится среди них. Однако существенно, что (1, 2, 3) является выигрывающей коалицией, хотя все ее собственные подмножества проигрывают.

Замечание. Мы предупреждаем читателя, что, хотя мы использовали-слова «проигрывающий» и «выигрывающий» почти как технические термины, это не входило в наши намерения. Фактически эти понятия очень хорошо приспособлены для точного рассмотрения. «Проигрывающие» и «выигрывающие» коалиции действительно совпадают с теми множествами S, которые были рассмотрены в (31 :F) и в (31 :G) из п. 31.1.5; именно они совпадают с теми коалициями, для которых соответственно либо S, либо -S было линейным. Однако мы будем рассматривать этот вопрос таким способом только в гл. X.

В настоящий момент наши рассуждения абсолютно эвристичны и должны восприниматься в том же духе, что и эвристические обсуждения игр трех лиц с нулевой суммой в §§ 21, 22. Единственное отличие состоит здесь в том, что мы будем теперь значительно более краткими, так как наш опыт и методика существенно возросли в результате проведенных рассуждений.

Так как мы сейчас уже располагаем точной теорией решений игр, мы обязаны после этого предварительного эвристического анализа дать точный анализ, строго основанный на математической теории. Мы к этому придем (см. сноску 3 на предыдущей стр. и также начало п. 36.2.3).

35.1.2, Таким образом, правдоподобно понимать сказанное как борьбу за участие в любой из различных возможных коалиций:

(35:2) (1,4), (2, 4), (3,4), (1,2, 3),

где получаемые коалициями выигрыши равны

(35:3) v((l,4))=v((2,4)) = v((3,4)) = 2, v((l, 2, 3)) = 1,

Заметим, что все это очень похоже на ситуацию, которую мы получили в существенной игре трех лиц с нулевой суммой, где выигрывающими коалициями были

(35:2*) (1, 2), (1, 3), (2, 3)

и выигрыши, получаемые этими коалициями, были равны

(35:3*) v((l, 2)) = v((l, 3)) = v((2, 3)) = 1.

В игре трех лиц мы определили распределение дохода (35:3*) между выигравшими участниками при помощи следующего предположения: игрок из выигрывающей коалиции, должен получать один и тот же выигрыш независимо от того, в какой выигрывающей коалиции он находится. Обозначим через а, р, у, б соответственно величины, которые получает каждый из игроков 1, 2, 3, 4, если ему удается попасть в выигрывающую коалицию. Тогда равенства (35:3) дают нам

(35:4) а + 8 = $ + 6 = у + д = 2, а + р + ?=1,

откуда следует

(35:5) a = p = v = 4". * = -

Здесь можно повторить все эвристические аргументы, использованные §§ 21, 22 для случая игры трех лиц *).

35.1.3. Подведем итоги.

(35:А) Мы имеем дело с игрой, в которой игрок 4 находится в особа благоприятном положении: присоединения к нему любого игрока достаточно для него, чтобы образовать выигрывающую коалицию. С другой стороны, без кооперации с ним должны объединяться

х) Конечно, не делая этого посредством строгого обсуждения на основе п. 30.1

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [ 100 ] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]