rp-rf=a + p(rm - rj) + c[D(rm - rj)\ + ep, (6.62)

где rp - ry- превышение дохода по портфелю; гт - гу- превышение дохода по рынку в целом.

Фиктивная переменная D равна нулю, кода доходы по рынку в целом больше, чем безрисковая ставка г у и - 1, когда доходы по рынку в целом меньше тЗезрисковой ставки.

Это выражение истолковывается следующим образом. Когда доходы по рынку в целом выше, чем безрисковая ставка, D = О, и, следовательно, выражение (6.62) сокращается:

rp-rf=a + р(гот - г}, + вр, (6.63)

а когда доход по портфелю меньше безрисковой ставки, D = - 1, то выражение (6.62) сокращается до следующего:

r„ - rf= a + (р - c)(rm -rj) + ер. (6.64)

Отсюда, так как р соответствует коэффициенту регрессии, когда рынок в целом дает доходы выше безрисковой ставки, а (Р - с) соответствует портфелю р, когда рынок в целом дает доходы ниже безрисковой ставки, то с - это разность между двумя коэффициентами, отражающая, что инвестиционный менеджер имеет навыки по выбору времени на рынке. Если с положительна, то наклон линии регрессии будет менее крутым, чем при нулевом с.

Положительная а в выражениях (6.63) и (6.64) показывает, что инвестиционный менеджер имеет положительные навыки выбора акций.

Фиктивные переменные могут применяться в более чем одном качественном различии переменных. Например, сезонные колебания данных. Если мы предположим, что в Великобритании из-за окончания налогового года в апреле доходы по ценным бумагам имеют качественные отличия в январе и апреле, то для изучения взаимосвязи между месячными доходами и размером будут нужны две фиктивные переменные. Действительно, когда существует п качественных состояний данных, необходимо иметь «-1 фиктивных переменных. В нашем примере присутствуют три качественных состояния данных дохода и размера - данные, относящиеся к январю, данные, относящиеся к апрелю,

и данные, относящиеся к остальным месяцам. Значит, понадобятся две фиктивные переменные.

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

До сих пор обсуждение было сфокусировано на линейной регрессии. Однако может случиться так, что взаимосвязь между зависимой переменной и одной или более независимыми переменными будет нелинейной. Существуют два пути решения этой проблемы:

1) преобразовать данные и применить линейную регрессию;

2) применить методы нелинейной регрессии.

Нелинейная регрессия не обсуждается в этой книге, так что далее остановимся на преобразовании данных.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАННЫХ

Графики на рис. 6.7 показывают разнообразные взаимосвязи между К и X, не являющиеся линейными. Однако при соответствующем преобразовании Y, а и X взаимосвязь между Y и X может быть трансформирована в линейную для а и Ь. Таким образом, далее можно использовать МНК

Рассмотрим три нелинейные формы, отображенные на рис. 6.7. На верхних графиках функциональной формой является Y = аХ3, где 0 < В < 1 или В > 1. Преобразование в этих случаях заключается во взятии натурального логарифма от Y, а и X. Получающееся уравнение регрессии будет выглядеть так:

In У= In а + р In X. (6.65)

Преобразование для нижнего правого графика очень простое, если учесть, что 1/Х может участвовать в расчете как независимая переменная.

При всех этих преобразованиях необходимо конвертировать результат в нелинейную форму для его правильного истолкования.

Рис. 6.7

ПРИМЕНЕНИЕ

РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА В ХЕДЖИРОВАНИИ

Цель хеджирования состоит в устранении риска для портфеля активов Хеджирование длинной позиции (на покупку) по активу, имеющему риск, достигается занятием короткой позиции (на продажу) в некоторой пропорции от стоимости портфеля по другому, но высококоррелированному рискованному активу. Для иллюстрации этого рассмотрим портфель, имеющий длинную позицию по активу А, которую желательно захеджировать путем занятия короткой позиции по фьючерсному контракту на актив А. До установки хеджа необходимо ответить на два вопроса:

1. По какому инструменту занять короткую позицию?

2. Какую пропорцию от стоимости длинной позиции должна представлять короткая позиция, чтобы минимизировать дисперсию всего портфеля?

На первый вопрос легко ответить, рассмотрев коэффициент корреляции изменений цены длинной позиции и потенциаль-