пользуемых данных либо в качестве альтернативы изменения могут быть преобразованы в форму процентных доходов (например, (Р\-Ро)/Ро или In P\/Pq). По сути мы ищем возможность для преобразования имеющихся данных в стационарные, так как существуют методы для анализа подобных данных (см. гл. 7, где эта тема развивается).4 Мы проанализировали данные уровней в этом разделе по причине интуитивной, может быть, даже ложной связи между двумя рынками акций. Исправим эту ситуацию в следующем разделе.
МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
Редко поведение зависимой переменной объясняется только с помощью одной независимой переменной. Обычно несколько независимых переменных, используемых в комбинации, предлагают лучшее объяснение. Регрессионная модель, включающая несколько независимых переменных, известна как множественная регрессия.
Истинная взаимосвязь между зависимой переменной Y и различными независимыми переменными Xt выражается так:
Y=a+ p,A + р2Л"2 + ... + РД„ + е. (6.40)
Однако, как и в случае простой линейной регрессии, мы не знаем истинную взаимосвязь и вынуждены делать оценки:
У = d + р + р2Л2 + ... + (*„*„. (6.41)
В/ представляют частные производные Y по соответствующим Xj, например,
я <зг . д? dY .....
Pl " av h ~ aV Рй " aV (6l42)
в предположении, что все остальные Xt постоянны.
Вспомним, что в случае простой регрессии постоянная представляла собой величину зависимой переменной, когда независимая переменная имела нулевое значение. Однако при множественной регрессии толкование постоянной является более сложным. В некоторых моделях постоянный член оценивается a priori, в других случаях значимая постоянная может представлять средний эффект, оказываемый на У любыми независимыми
переменными, которые не были включены в модель. Отсюда значимая постоянная может представлять некоторую важную объясняющую переменную, исключенную из проверяемой модели.
Чтобы проиллюстрировать множественную регрессию, рассмотрим гипотезу о том, что доходы по индексу FTSE 100 определяются доходами на рынке государственных облигаций Великобритании (переменная Х\), доходами по индексу S&P 500 (переменная Х2) и доходами по обменному курсу US$/£ (Х).
Существует много пакетов программ, которые способны решить подобную проблему множественной регрессии. Типичный результат будет похож на следующее:
Y=- 0,215 + 0,209*! + 0,934*2 - 0,302*3
(-0,39) (1,02) (6,42) (-2,54)
Л2 = 0,52 СС= 47. Скорректированный В? = 0,49;
DW= 2,3, F= 26,0,
/-критерий приведен в скобках, СС означает степени свободы,
DW относится к критерию Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson), который связан с автокорреляцией и обсуждается далее в этой главе.
Замечание: данные для этой задачи взяты из приложения 6.2.
Результаты могут быть интерпретированы следующим образом: если Х2 и Х-} постоянны, при изменении Х\ на единицу изменение Y составит 0,209. Аналогично, если Х\ и Х постоянны, изменение Х2 на единицу приведет к изменению Уна 0,934 единицы.
Числа в скобках могут представлять стандартные ошибки коэффициентов либо /-критерии.
Допущения относительно использования метода наименьших квадратов для многофакторных моделей те же самые, что и для однофакторной модели. Однако многофакторная модель имеет дополнительное допущение о том, что независимые переменные независимы друг от друга, т.е. cov (xj, х) = 0 (J * к).
Обратимся к толкованию результата, полученного с помощью компьютера, /-критерии для каждой независимой перемен-
ной истолковываются так же, как и раньше. Однако в случае многофакторной регрессии они имеют /-распределение с п-к- 1 степенями свободы.
Если существует к независимых переменных, то будет к + 1 коэффициентов регрессии (включая постоянную), отсюда число степеней свободы составит n-(k + 1) или п-к-1.
Поскольку в изложенном выше примере 47 степеней свободы, то при уровне доверительной вероятности 95% значение /-критерия должно быть больше 2,02, а при уровне доверительной вероятности 99% потребовалось бы, чтобы /-критерий был больше для обеспечения значимости коэффициентов регрессий 2,70. Таким образом, в приведенном выше примере постоянный коэффициент и переменная Х\ не будут значимо отличаться от нуля, но две другие переменные значимы при уровне вероятности 95%, а Аг значима и при уровне доверительной вероятности 99%.
Скорректированный r2 : r2
В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных. Скорректированный Я2, или R2, рассчитывается так:
R2 = 1 - (1 - Л2)-, (6.43)
И - К
где и - число наблюдений;
к - число независимых переменных.
Для иллюстрации вспомним ранее вычисленный R2 с тремя переменными, равный 0,52, для него
(1-0,52).!
= 0,49223.
Скорректированный R2 уменьшится по величине, если дополнительная переменная незначима. Однако необходимо предостеречь против включения и исключения переменных только лишь из-за их влияния на скорректированный R2. Рациональной базой для включения и исключения служит теория, стоящая за проверяемой моделью. Отсюда переменная, которая имеет силь-