pa (а и В) по фактическим данным. Отсюда оценка дисперсии е„ s2 определяется как

Вспомним, что Тогда и, следовательно,

Yf = d + $jXj + ё/.

(6.23)

(6.24) (6.25) (6.26)

Y,-Yi =

Используем это при ссылке на дисперсию коэффициентов регрессии.

Дисперсия коэффициента d оценивается как

- \2

vara

Дисперсия коэффициента наклона линии регрессии р оценивается как

(6.27)

varP =

(6.28)

Стандартные ошпбкп

Стандартные ошибки коэффициентов - это просто их средние квадратические отклонения, т.е. квадратные корни дисперсий коэффициентов.

Стандартная ошибка постоянного коэффициента а рассчитывается как

(6.29)

Стандартная ошибка коэффициента наклона В определяется как

(6.30)

Мы выяснили в гл. 5, что для данных с нормальным, или Гауссовым, распределением разность между переменной и ее средней, деленная на оценку ее среднего квадратического отклонения, имеет /-распределение. Таким образом, оценки, деленные на стандартные ошибки, как рассчитано ранее, имеют г-распре-деление с я-2 степенями свободы. Опираясь на эту информацию, можно определить доверительные интервалы вокруг точечных оценок коэффициентов.

Обозначим уровень доверия 1-е, где с - вероятность попадания переменной в критическую область /-распределения. Уровни вероятности составляют

-1-е,

n-2,c/2 сг Я-2.С/2

(6.31)

1-е.

Из этих выражений можно определить оценки коэффициентов, попадающие в доверительный интервал

(<* - V-2.c/2see < а <, а + tn.2fi/2SEa) = 1 - с , Ф - «-2,c/2sepi. < Р, <, Р, + /„-2,c/2SEp,.) = 1 - с .

(6.32)

Следовательно, существует вероятность 1-е того, что действительные значения коэффициентов попадают в установленный промежуток. Если этот промежуток включает нуль, то коэффициенты статистически незначимо отличны от нуля.

На практике все указанные выше и другие вычисления, представленные в этой главе, производятся автоматически с использованием стандартных пакетов прикладных программ.

Проверка гипотез

Выше мы заметили, что уравнение регрессии часто создается, чтобы проверить гипотезы. Для этого выдвигается нулевая гипотеза #о о том, что коэффициенты статистически незначимо отличны от нуля. В случае коэффициентов а и В гипотезы будут следующими:

Я0: а-0,

Я,: а* 0, Я0: р = 0, Я,: р*0.

Для проверки этих гипотез нужно определить /-критерий для соответствующего коэффициента регрессии. Эти /-критерии рассчитывают делением коэффициентов регрессии на их стандартные ошибки

= 4- (633)

Эти /-критерии имеют /-распределение при условии действия допущений нормального регрессионного анализа.

Обычно статистическую значимость проверяют при уровне доверительной вероятности 95 или 99%. Это означает, что существует вероятность 95 или 99%, что значения а и р не случайны. Распределением вероятностей /-критерия является /-распределение с л-2 степенями свободы. Степени свободы здесь относятся к числу пар единиц данных, использованных в уравнении регрессии. Коэффициенты регрессии значимы, если /-критерий больше, чем величина, указанная в таблицах /-распределения.

Чтобы проиллюстрировать проверку значимости с использованием таблиц, напомним что величина р составляет 5,9640, а стандартная ошибка для р равна 0,3476. Следовательно, /-критерий равен:

0,3476

Критерий значимости для а равен

196,3298 136,991

= 1,4332,