Р-£„2 .я- (618)

При вычитании первого выражения из второго получаем: riZxY- .nfcx* -v&x? - 0("I*2 -E)2) •

(6.15)

Отсюда 4>

Замещение SXh 2 К на произведения их средних на л приводит к выражению

пУХУ-nXnY Р= --т- (6-17)

Поделив числитель и знаменатель этого выражения на л, получим:

-nXY %Х2-пХ

Это то же самое, что и

Для нахождения а разделим первое из уравнений (6.13) на л, отсюда

¥ = а + \ЪХ; (6.20)

а = Р"-р1.

Используя данные из табл. 6.1, относящиеся к индексам FTSE 100 и S&P 500, можно рассчитать В:

covjy ~ 4Y> - Y)} 6443874 с 9610

р var* *Z,(X--xf 1080467

а = F - \ЪХ = 2530,74 - (5,9640 • 391,4187) = 196,3298.

Интерпретация уравнения регрессии

По полученным результатам уравнение регрессии выглядит следующим образом:

Y = +196,3298 + 5,9640* .

Это можно истолковать как утверждение о том, что ожидаемое значение зависимой переменной Y (FTSE 100) равно постоянной величине + 196,3298 плюс 5,9640 за каждую единицу независимой переменной X (S&P 500). Постоянная величина представляет собой значение зависимой переменной, когда независимая переменная равна нулю. Графически это выражается как расстояние по вертикали между началом координат и точкой, где линия регрессии пересекает ось ординат на рис. 6.2.

Проверка модели

Мы заметили выше, что вероятностные модели предоставляют лишь оценки коэффициентов регрессии. Важно, таким образом, проверить, насколько представительны данные оценки относительно истинных коэффициентов. Это достигается проверкой статистической значимости коэффициентов регрессии и близости расположения фактических данных к рассчитанной линии регрессии.

Критерии значимости коэффициентов

Как показывает рис. 6.3, в случае вероятностных моделей расчет коэффициентов регрессии с использованием выражений (6.7) и (6.8) дает одну оценку величины Y, т.е. E(Yt). Оценки коэффициентов регрессии также предположительно нормально распределены. Нам нужно знать, статистическую значимость этих коэффициентов. Данная задача решается проверкой того, что коэффициенты регрессии значимо отличаются от нуля.

Обращаясь снова к рис. 6.3, отметим, что поскольку каждая оценка коэффициентов предположительно нормально распределена, то для проверки значимости мы проверяем, попадает ли величина оценки в критическую область распределения, следовательно, являясь случайной, либо же она попадает в основную область распределения.

Таким образом, статистическая значимость коэффициентов измеряется степенью вариации вокруг оценочного значения. Так как ошибки (или остатки) по предположению нормально рас- j пределены, то среднее квадратическое отклонение ошибок используется для измерения этой вариации. Эти средние квадра-тические отклонения известны- как стандартные ошибки коэффициентов. Для определения степени значимости коэффициентов мы используем r-критерии. Чтобы их определить, необходимо знать:

• выборочное распределение данных коэффициентов;

• оценки их дисперсий и, таким образом, средних квадра-тических отклонений.

Затем можно либо проверить гипотезу, относящуюся к коэффициентам, либо определить для них доверительные интервалы.

Выборочное распределение

Выборочное распределение постоянной а записывается так:

&~N

где а2 - дисперсия е,-.

Выборочное распределение р имеет вид

(6.21)

(6.22)

Оиенкп дисперсии п среанпх квааратпмескпх отклонений

Выше мы заметили, что средняя или математическое ожидание величины е, равно нулю, следовательно, - О)2 - это просто е} . Для получения s2 как несмещенной оценки а2 необходимо делить эту сумму на (я - 2), так как мы оцениваем два парамет-