статистических показателей, на основании которых принимается или отвергается нулевая гипотеза.

Прежде чем продолжить объяснение, рассмотрим два очень важных типа ошибок, встречающихся при проверке гипотез.

Ошибки I и II попа

В процессе проверки гипотезы существует вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда в действительности она должна быть принята. Это называется ошибкой I рода. Вероятность допущения ошибки I рода - это уровень значимости. Таким образом, когда мы выбираем 5%-ный уровень значимости для проверки, одновременно мы допускаем, что в 5% случаев мы отвергнем нулевую гипотезу тогда, когда фактически нам следовало бы принять ее.

Второй вид ошибок имеет место при принятии нулевой гипотезы в то время, как в действительности она должна быть отвергнута. Такая ошибка называется ошибкой II рода.

Для более четкого объяснения связи между ошибкой I рода и ошибкой II рода рассмотрим аналогию, относящуюся к судебной системе присяжных заседателей и отображенную графически на рис. 5.5.

Действительность

Рис. 5.5

Обвиняемый может быть либо невиновен, либо виновен, следовательно, присяжные могут принять решение о его виновности или невиновности. По сути присяжные проверяют нулевую гипотезу о невиновности обвиняемого. Если присяжные считают, что обвиняемый виновен, когда он в действительности является таковым, то было принято верное решение и никакой ошибки не произошло. Аналогично если присяжные считают

обвиняемого невиновным, когда это в действительности так, то и в этом случае было принято правильное решение. Но если обвиняемый невиновен, а присяжные принимают решение о его виновности, т.е. отвергают нулевую гипотезу, когда фактически она верна - это основная ошибка - ошибка I рода. Этой ошибки стараются избегать прежде всего, поэтому уровень значимости проверки устанавливается с целью уменьшения вероятности совершения этой ошибки (обычно 5 или 1%).

Установив уровень значимости, мы не измеряем степень риска, связанного с совершением ошибки II рода (признание виновного человека невиновным).

Проверка гипотезы о величине генеральной среанеи

Двусторонняя проверка оля среинеп

Если просто нужно проверить, равна ли генеральная средняя выборочной средней, гипотеза формулируется следующим образом:

Я0: ц =цо, (5.19)

и затем стандартизованный критерий используется в следующей процедуре для проверки этой гипотезы:

1) определить уровень значимости для проверки, который обычно равен 10, 5 или 1%, т.е. каждая из граничных областей под кривой распределения будет равна соответственно 5, 2,5 и 0,5%;

2) подставить значение цо в нулевую гипотезу;

3) установить соответствующее критическое значение z (или г в случае проверки по малой выборке) исходя из таблиц, отражающих процентные величины для граничных областей в соответствии с выбранным уровнем значимости;

4) применить следующее правило принятия решения:

Принять Н0, если - z £ ~Ц° £ z, (5.20)

yjs2 In

В противном случае отвергнуть Hq.

Для лучшего представления этой процедуры вспомним, что для нормально распределенной переменной 95% всех значений наблю-

дений будет находиться в интервале не более, чем плюс/минус 1,96 среднего квадратического отклонения от средней. Аналогично если X статистически эквивалентно цо, с 95%-ной уверенностью стандартизованный критерий проверки будет лежать в интервале не более, чем плюс/минус 1,96 стандартной ошибки от нулевого значения. Число 1,96 является критическим значением для статистической проверки гипотезы с 5%-ным уровнем значимости. Если критерий проверки имеет значение большее, чем + 1,96, или меньшее, чем -1,96, это служит доказательством того, что для 5%-ного уровня значимости X - это не то же самое, что цо.

Для иллюстрации рассмотрим проверку того, будет ли средняя месячная доходность в 2,4%, полученная управляющим портфелем ценных бумаг, статистически значимо отличаться от среднего уровня в промышленности, составляющего 2,3%. В первую очередь определим критическое значение для критерия проверки в соответствии с заданным уровнем значимости. Для двусторонней проверки это плюс/минус 1,64, 1,96 и 2,58 для случая нормального распределения. Располагая значением X в 2,4%, а цо - 2,3%, при 36 наблюдениях со средним квадра-тическим отклонением 1,7%, получим значение z, равное 0,3529:

24-23 ,Ч 71 = 0,3529. 1,7/V36

Если размер выборки более 30, можно допустить нормальное распределение.

Так как 0,3529 находится между всеми приведенными критическими положительными и отрицательными значениями, можно заключить, что X = 2,4% статистически незначимо отличается от НО = 2,3%; таким образом, разница в 0,1% - чистая случайность.

Классическая односторонняя проверка Правосторонняя проверка

Если необходимо проверить, больше ли генеральная средняя ц заданной величины цо, следует выполнить проверку с помощью одностороннего критерия, так как нас интересует только одно - больше ли генеральная средняя определенного заданного значения. Формулируем нулевую гипотезу о том, что ц равна цо,