e = c,A, + с2Х2+...+с„Х„,

где с - константа.

Важность данной характеристики может быть не совсем очевидна, но достаточно сказать, что математические свойства линейной оценки гораздо легче анализировать.

Несмещенная (unbiased) означает свойство, состоящее в том, что математическое ожидание оценки (средняя выборочного распределения) равно параметру генеральной совокупности, т.е. в результате осуществления множества выборок для определения оценки одни выборочные показатели будут больше параметра генеральной совокупности, другие меньше, но среднее значение будет равно параметру генеральной совокупности. Напротив, при смещенной оценке среднее значение будет больше или меньше параметра генеральной совокупности.

Оценки, которые одновременно и несмещенные и имеют наименьшую дисперсию, называются эффективными оценками.

Если оценка смещенная и/или неэффективная, то желательно, чтобы она характеризовалась ассимптртическими свойствами.

Ассимптотическая несмещенность (asimptotic unbiasedness) означает, что любая существующая смещенность в малых выборках (менее 30) уменьшается с увеличением выборки и стремится к нулю с увеличением объема выборки до бесконечности.

Ассимптотическая эффективность (asimptotic efficiency) - это свойство оценки, когда она одновременно состоятельна и имеет меньшую ассимптотическую дисперсию, чем любая другая состоятельная оценка.

Состоятельность (consistency) - это свойство оценки, согласно которому дисперсия оценки уменьшается до нуля с увеличением объема выборки до бесконечности.

Доверительные интервалы

Вычисление выборочных статистических показателей в качестве оценки параметров генеральной совокупности дает в результате нам то, что мы знаем как точечную оценку (point estimates). Однако нам известно, что эта точечная оценка будет сделана с некоторой ошибкой, называемой оценочной ошибкой (estimation error). Следовательно, нам нужен механизм, который бы позволил определить степень доверия к этим точечным оценкам. Та-

ким образом, мы подошли к понятию доверительного интервала (confidence interval) или интервальной оценки.

Проиллюстрируем принцип доверительных интервалов, применив его к средней, также мы адаптируем процесс определения объема выборки, необходимого для получения заданной степени доверия.

Доверительные интервалы пля средней (большая выборка)

Напомним, что проблема состоит в том, что мы не знаем среднюю генеральной совокупности, и нам известна только выборочная средняя. Тем не менее, согласно центральной предельной теореме мы знаем, что выборочное распределение средних имеет среднее значение, которое в свою очередь равно генеральной средней, а среднее квадратическое отклонение (стандартная ошибка) равно сг/Тл , где о* - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

Но появляется другая проблема - мы не знаем величины среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности, нам известно только выборочное среднее квадратическое-отклонение. Однако здесь можно применить другую часть теории выборочного наблюдения, согласно которой наилучшей оценкой о является:

Другими словами, при условии, что выборочное среднее квадратическое отклонение s найдено при использовании (л-1) в качестве делителя, s является несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения генеральной совокупности. Доказательство этого утверждения рассмотрено в приложении 5.1.

Известно, что для нормально распределенной величины 95% наблюдений будет находиться выше или ниже средней не более, чем на 1,96 среднего квадратического отклонения. Так как средние квадратические отклонения выборочных распределений средних называются стандартными ошибками, мы можем сказать, что выборочная средняя в 95% случаев будет находиться внутри интервала, равного генеральной средней плюс/минус

(я-1)

. (5.5)

1,96 стандартной ошибки. Формула доверительного интервала выглядит так:

H±l,96-f,,

где s - выборочное среднее квадратическое "отклонение.

(5.6)

95%-ный доверительный интервал

У"

-1,96 SE

2,5% площади под ветвью

+ 1,96 SE +оо

Рис. 5.1

Наглядно это может быть проиллюстрированр с помощью рис. 5.1 (SE - стандартная ошибка). График показывает, что в 95% случаев (2,5% в каждой из граничных областей) выборочная средняя находится в пределах 1,96 стандартной ошибки от генеральной средней. Данный интервал можно представить с 95%-ным уровнем вероятности следующим образом:

ц-1,9б4-<*<Ц + 1,9б4=

л/я л/Я

= 0,95

(5.7)

Небольшое алгебраическое преобразование в двойном неравенстве даст:

*-1,9б4=<ц<* + 1,9б4=

л/Я л/Я

= 0,95.

(5.8)

Проиллюстрируем это с помощью конкретного примера. Допустим, что у нас есть данные по 60 месячным наблюдениям доходности по индексу FTSE 100. Выборочная средняя ежемесячной доходности равна 1,125% со средним квадратическим