Являются ли атрибуты "обладание депозитным счетом" и "обладание текущим счетом" статистически независимыми?

8. Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,4. Предполагая, что ежемесячные изменения цены независимы, рассчитайте:

а) вероятность того, что за три месяца цена станет равной (1,Q1)3 от первоначальной;

б) вероятность того, что за три месяца цена станет равной 0,99 • (1,01)2 от первоначальной.

Подтвердите ответ на вопрос б), ссылаясь на правила сложения и умножения вероятностей.

9. Изучение ежедневных изменений цен на двух финансовых рынках выявило следующее:

Рынок 1

Рассчитайте вероятности:

а) роста цен на рынке 1;

б) роста цен на рынке 1 при условии, что цены на рынке 2 растут;

в) роста цен на рынке 2 при условии, что цены на рынке 1 растут.

10. Для принятия решений о покупке ценных бумаг была разработана система анализа рынка. Из прошлых данных известно, что 5% рынка представляют собой "плохие" ценные бумаги - неподходящие объекты для инвестирования. Предложенная система определяет 98% "плохих" ценных бумаг как потенциально "плохие", но также определяет 15% пригодных инвестиций как потенциально "плохие". При условии, что ценная бумага была определена как потенциально "плохая", какова вероятность того, что ценная бумага в действительности "плохая"?

Прокомментируйте пригодность системы для принятия инвестиционных решений.

Случайные переменные

11. Случайная переменная X принимает значение 0 с вероятностью 0,5, значение 1 - с вероятностью 0,3 и 2 - с вероятностью 0,2. Найдите:

а) Е[Х\; б) £[3 + X]; в) Е\ЪХ\; г) Е[Х*]; д) Vsx(X).

12. Обзор счетов 400 инвесторов на фондовой бирже дал следующую информацию о числе сделок в течение последнего квартала:

а) постройте график распределения X;

б) найдите вероятность того, что случайно выбранный инвестор произвел:

ноль сделок;

по крайней мере одну сделку; больше пяти; меньше шести;

в) найдите математическое ожидание и дисперсию числа сделок.

13. Ожидаемая рентабельность актива А равна 8% со средним квадра-тическим отклонением, равным 7%. Ожидаемая рентабельность актива В равна 11% и среднее квадратическое отклонение 10%. Корреляция между этими активами 0,7.

Найдите ожидаемую доходность и среднее квадратическое отклонение портфеля, состоящего на 35% из А и на 65% из В.

Нормальное распределение

14. Если Z подчиняется закону нормального распределения (т.е. т = 0, 5=1), найдите:

a) P\Z> 1,2), б) P(Zz 1,34), в) P\Z< 1,01);

г) P(Z > 0,85); д) P(Z< 2,14); е) P(Z<, 0,07);

ж) J\Z< 1,37); з) P(Z> -2,03); и) P(Z<, -0,17);

к) P(Z>. -1,36); л) Д0,34 <: Z< 1,29); м) Я(-2,01 < Z< 1,52);

н) /X-1,21 <:Z<-0,34).

15. Если X - N(5, 36) (т.е. X нормально распределен с т = 5 и * = 6), найдите следующие вероятности:

а) Р{Х> 14); б) Р(Х<, 9,5); в) Р(Х* 3,5); г) Р{2 < Х<, 12,5).

16. Текущая цена акции может быть приблизительно смоделирована при помощи нормального распределения с математическим ожиданием £$15,28 и средним квадратическим отклонением, равным £0,12. Рассчитайте вероятности того, что цена:

а) не ниже £15,5; б) не выше £15,00;

в) между £15,10 и £15,40; г) между £15,05 и £15,10.

17. Цена некой ценной бумаги нормально распределена В течение последнего года на протяжении 20% рабочих дней цена была ниже 20. В 75% случаев цена была выше 25. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены.

Критически рассмотрите применение нормального распределения в данной ситуации. Объясните, как логнормальное распределение может быть использовано для преодоления проблемы.

Бпномпалы-юе распределение

18. Монета "нечестная" и вероятность выпадения "орла" = 0,8. Монета подброшена пять раз. Рассчитайте вероятность выпадения:

а) ровно двух "орлов";

б) ровно четырех "орлов";

в) по крайней мере двух "орлов".

19. Предположим, что ценная бумага из п. 8 в данный момент стоит £10. Найдите вероятность того, что она будет стоить £10,40 через год

20. В брокерской конторе для стимулирования прибыльности торговли по отношению к сотрудникам применяется система премий. В соответствии с этой системой сотрудник, не достигающий установленного дневного уровня прибыли на протяжении более трех дней за две недели (10 рабочих дней), теряет свою премию за этот двухнедельный период. Если вероятность того, что сотрудник не выполнит требуемую норму прибыли, равна 0,15, найдите, сколько премий будет потеряно 100 сотрудниками за 50-недельный год? Какие предположения вы делали при нахождении ответа? Соответствует ли это действительности?

Распределение Пуассона

21. Поступление информации на торговую площадку в течение напряженного торгового периода подчиняется распределению Пуассона с математическим ожиданием 3,5 сообщения в минуту. Какова вероятность того, что в течение следующей минуты:

а) не поступит ни одного сообщения;

б) поступит по крайней мере одно сообщение;

в) поступят два сообщения;

г) поступят четыре сообщения.

Какова вероятность поступления более 20 сообщений в течение 5 минут? Посмотрите, насколько близко к этому результату был бы получен ответ при использовании приближения к нормальному распределению.