назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


68

расчеты факториалов и степеней больших чисел. Более того, дополнительная работа не приводит к значительному изменению окончательного ответа, что дает основания подозревать, что мы приближаемся к пределу. В действительности так оно и есть. Можно продемонстрировать это, рассчитав, что бином (240, 1/24) дает вероятность 0,113534, бином (480, 1/48) - 0,113067 и бином (960, 1/96) - вероятность 8 сообщений 0,112834.

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения. Оно применимо в случаях, когда количество попыток (я) приближается к бесконечности, а вероятность успеха (р) - к нулю и математическое ожидание X = пр - константа. Формула распределения Пуассона имеет вид:

р(Х) = 2~хТ- (4-38)

Распределение Пуассона имеет один параметр X - математическое ожидание числа появления событий. В нашем примере X = 10 (т.е. в среднем 10 сообщений поступает в течение одной минуты). Существует бесконечное множество возможных результатов - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т.д., каждый со своей вероятностью.

Для распределения Пуассона с математическим ожиданием, равным 10, вероятность наступления 8 событий равна:

Заметьте, что распределение Пуассона довольно симметрично, если имеет достаточно большое математическое ожидание, и в этой ситуации может быть аппроксимировано кривой нормального распределения. Это очень помогает во время работы над группами вероятностей, когда промежуточные вычисления становятся неуправляемыми.

Дисперсия распределения Пуассона равна математическому ожиданию, поэтому можно приблизить распределение Пуассона (X) к нормальному распределению с параметрами (X, X) при условии, что значение X достаточно велико. Однако надо отметить, что нормальное распределение - это непрерывное распределение, тогда как распределение Пуассона - дискретное. Таким образом, требуется поправка на непрерывность при аппроксимации.



Для демонстрации этого мы можем подсчитать, что если X подчиняется распределению Пуассона, вероятность того, что X находится в интервале от 25 до 30 включительно, будет 0,391 (с точностью до трех знаков после запятой).

Записываем Д25 £ Х< 30) = 0,391.

Теперь приближаем X посредством Y- N(30, 30).

Для проверки приближения находим Д24,5 < Y < 30,5). Здесь 0,5 представляет собой поправку на непрерывность, поскольку дискретная величина 25 на распределении Пуассона аппроксимирована интервалом 24,5 - 25,5 на непрерывной кривой нормального распределения

где z~ N(0, 1).

Приближение будет лучше при больших X, когда оно действительно требуется.

Таким образом, мы видим, что распределение Пуассона применимо в условиях, сходных с условиями для биномиального, за исключением тех случаев, когда число j очень мало, а число попыток п велико. Сейчас мы рассмотрим использование распределения Пуассона на примере больших скачков значения индекса FTSE 100.

Предположим, что нужно смоделировать процесс ежедневного изменения индекса FTSE 100 на более чем 1%. Можно представить, что за определенный период эти изменения случайны, но происходят, скажем, раз в месяц, т.е. 12 раз в год. Как много изменений можно ожидать в течение следующих шести месяцев? Очевидно, мы ожидаем шесть изменений, но мы не очень удивимся, если произойдет четыре, пять, восемь, или любое другое число изменений, близкое к шести.

С первой попытки мы можем построить модель, разбив эти месячные периоды на недельные подпериоды. Затем мы представляем такое изменение происходящим или не происходящим в каждом интервале с вероятностью 12/52, где 52 - число недель в году. Предположив, что данные события должны быть независимы, мы получаем бином с параметрами (26, 12/52). Хотя это и неплохая отправная точка, но это биномиальное распределение является неадекватной моделью практической ситуации, поскольку допускается либо отсутствие изменений, либо одно из-

/>=(24,5<Г<30,5)=/>

24,5-30 , л/30

= /41,00 < z < 0,09) = 0377 ,

(4.39)



менение в течение каждого недельного подпериода. Можно разбить; недельные интервалы на дни и использовать биномиальное распределение с параметрами (183, 12/365), но, как мы уже отметили, гораздо эффективнее предположить, что наша случайная переменная подчиняется распределению Пуассона.

Распределение Пуассона описывается следующим образом:

Р(Х = г) = -f -. (4.40)

Продемонстрируем использование распределения Пуассона, вычислив вероятность того, что в течение следующих шести месяцев произойдет больше трех скачков индекса, превышающих 1%.

Анализ информации об индексе FTSE 100 с 3/1/84 по 3/4/92 показывает, что на протяжении 8,25 лет среднее число ежедневных изменений индекса более, чем на 1%, за каждый шестимесячный период, составило 5.

Вероятность наступления одного изменения будет равна:

е-55

/>(j = l) = £ i = 0,0337.

Чтобы найти вероятность по крайней мере трех таких изменений в течение следующих шести месяцев, следует найти вероятности Х= 0, Х= 1и Х= 2, сложить их и вычесть из единицы. Получаем:

Р(Х = 0) = = 0,0067 ;

Р(Х = = = 0,0337; />(* = 2) = ill! = 0,0842.

Таким образом,

P (X* 3) = (Х= 0) + Р(Х= 1) + Р(Х= 2)) =

= 1 - 0,1246 = 0,875.

Следовательно, существует вероятность, равная 87,5%, что произойдет по крайней мере три дневных изменения индекса FTSE 100 на 1% и более в течение следующих шести месяцев.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]