назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [ 65 ] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


65

Возьмем, например, относительное изменение цены ценной бумаги за период времени At. Пусть S(t) - цена этой ценной бумага в момент времени t и S( t + At) - цена в момент времени t + At, тогда относительное изменение цены по истечении периода Дг будет равно:

. (4.28)

St 4

Но если мы рассмотрим изменения цены на протяжении некоторого количества (я) промежутков времени, dt, где Edr = At, то сможем составить уравнения относительных изменений цены для каждого из таких меньших интервалов. Мы видим, что

S(t + At) S(t + At) S(t + 2At) S(t + 3aq S(t + nAt)

S(t) ~ S(t) S(t + At) S(t + 2At)S(t + (n- \)At) ( )

Таким образом, относительное изменение цены является результатом процесса умножения. Это может быть выражено суммированием, если использовать натуральные логарифмы относительных изменений цен следующим образом:

. S(t + At) , S(t + At) . S(t + 2At) , S(t + 3At)

ln-W- = ln-W- + *7AT + lnW)+--

...+ ln 5( + A/) . (4.30)

S(t + (n-l)At) K

Предположим, что каждое из отношений цен на протяжении короткого отрезка времени dt было случайной переменной, независимой и идентично распределенной (IID), скажем, Xi, Х2 и т.д., где Xj - идентичная копия случайной переменной X. Тогда отношение S(t+7)/S(t) также будет случайной переменной, скажем Y.

Предположим, что \п(Х\), Ы(Х2) и т.д. являются IID, тогда мы сможем применить центральную предельную теорему для того, чтобы предположить, что \n(Sit)/Slt i)) приблизительно нормально распределен. Центральная предельная теорема гласит, что если мы рассматриваем большую случайную выборку, то средняя величина ее будет нормально распределена. Таким образом, когда мы разделяем период времени на большое число промежутков (больше 30), с чем мы имеем дело, когда рассматриваем время как непрерывное, то сумма натуральных логарифмов в



правой части уравнения будет нормально распределена, и соответственно ln(i5y»S/-i) будет тоже нормально распределено.

Переменная называется логнормально распределенной, если натуральный логарифм ее нормально распределен. Следовательно, если \n(Sl+itt/S(f)) нормально распределен, то St+it/S должно быть распределено логнормально.

Это очень привлекательная модель распределения отношений цен ценных бумаг, потому что, если цена растет, то отношение цен будет больше единицы, если падает - то отношение цен будет меньше единицы, но оно никогда не принимает отрицательного значения. Теперь рассмотрим график функции логнормаль-ного распределения на рис. 4.7. На рисунке видно, что логнормальное распределение вытянуто вправо, но не имеет отрицательных значений. Это совместимо с возможным распределением цен ценных бумаг, поскольку они не могут упасть ниже нуля, и только очень немногие из наблюдений могли быть очень высоки.

«

Рис. 4.7

Переменная не может принимать отрицательные значения, и вероятность очень высоких значений приближается к нулю, как это и можно ожидать от переменной, описывающей относительное изменение цены ценной бумаги. Логнормальное распределение очень часто используется для моделирования такого рода случайных переменных, в основе которых лежит процесс умножения.

Мы отметили в гл. 1, что натуральный логарифм относительной цены ln(St/St i) - это непрерывно начисляемая доходность



ценной бумаги S за период времени t- (t- 1). Если относительные цены логнормально распределены, непрерывно начисляемая доходность ln(St/St-i) будет также логнормально распределена.

К этому распределению мы вернемся в гл. 10, где используем его для оценки опционов. Следующие результаты доказаны в приложении к этой главе. Если- *

Ыг)~ЛГ(ц,о-2), (4.31)

Дг) =еМ+ 2 . (4.32) Для удобства это часто записывается так:

ехр(ц + о72); (4.33)

var( Y) = е2**+°2 (е°2 -1). (4.34)

Биномиальное распределение

Одним их наиболее важных дискретных распределений в финансах является биномиальное распределение. Для формирования биномиального распределения случайная переменная должна отвечать следующим четырем условиям.

1. Переменная может принимать только два значения в данный момент или в результате данного события. Каждое из этих событий или моментов времени называется биномиальной попыткой. Два возможных результата называются "успех" - в случае благоприятного результата и "неудача" - в случае неблагоприятного.

2. Для каждой последовательности попыток вероятность успеха и неудачи постоянна.

3. Все попытки идентичны.

4. Все попытки независимы.

Биномиальная случайная переменная X - это число успехов в результате некоторого количества независимых попыток п. Результат испытания записывается как успех или неудача, и вероятность успеха в каждой из попыток равна р. Мы говорим АЧжном (я, р). X, число успехов в я попытках, может принимать значения 0, 1, 2, я. Таким образом, для я попыток может быть я + 1 результат. Один

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [ 65 ] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]