назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [ 62 ] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


62

Если X ограничен на каком-либо интервале, скажем, между у и z, то ожидаемое значение будет:

Е(Х) = Xf(X)dX. (4.22) у

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно будут равны:

var(*)= J(*-u)2/W; (4.23)

J+oO J(*-u)2/W. (4.24)

Поскольку разница между дискретными и непрерывными переменными существенна для построения теоретических моделей, иногда мы можем использовать непрерывные переменные при моделировании дискретных ситуаций, и наоборот. Например, рассмотрим цену некой акции на фондовом рынке в полдень на следующий день. Ясно, что существует только дискретное количество возможных значений (цены акций выражаются в фунтах, пенсах и только иногда в долях пенсов). Тем не менее, мы можем с успехом применять непрерывную случайную переменную при моделировании поведения цены акции.

Наиболее важные характеристики распределений вероятностей в Финансах

Оставшаяся часть этой главы посвящена анализу различных распределений вероятностей, применимых при оценке поведения рентабельности активов при условии соответствующих допущений. Начнем с двух непрерывных распределений - нормального и логнормального. Затем рассмотрим два дискретных распределения - биномиальное и Пуассона. Закончим рассмотрение группой других непрерывных распределений, в том числе и распределением Парето-Леви. Объясним наиболее желательные характеристики распределений с точки зрения финансового аналитика.

Вообще финансовые аналитики используют распределения вероятностей в качестве основы для предсказания распределения



цены и рентабельности активов. Следовательно, желательно, чтобы распределение обладало такими характеристиками:

• стационарностью;

• стабильностью;

• конечной дисперсией. А

Под стационарностью понимают то, что параметры распределения вероятностей не изменяются во времени.

Наибольший интерес в финансовых активах для нас представляет цена. Однако в анализе цен финансовых активов мало пользы от распределения вероятностей, поскольку поведение цен не имеет тенденции быть стационарным. Причина может быть в том, что со временем цены активов изменяются все вместе, например, цены акций со временем растут. Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цен обычно будут выше в данном году, чем в предыдущем. Более того, цены активов могут теоретически возрастать до бесконечности, но не могут упасть ниже нуля, и поскольку цены растут, то будет наблюдаться тенденция правосторонней скошенности распределения цен.

Распределения вероятностей изменений цен также не имеют тенденции быть стационарными, потому что абсолютная величина изменения цены актива также может изменяться по мере того, как цена изменяется. Однако размер изменений в процентах, доходность актива в процентах обычно не зависят от уровня цен активов. Следовательно, доход в процентном выражении может и не меняться во времени только из-за того, что цена актива изменилась.

Стационарные распределения вероятностей доходности активов позволяют производить вероятностную оценку будущих доходов. К тому же историческая информация о доходах может быть основанием для оценки неопределенности, связанной с получением будущих доходов, и отсюда может быть основой для расчета будущих рисков. Более углубленно стационарность обсуждается в гл. 7.

Другое желаемое свойство распределения состоит в том, чтобы линейная комбинация двух распределений одного типа давала в результате распределение такого же типа. Например, линейная комбинация двух нормальных распределений дает также нормальное распределение, разве что только с параметрами, отличными от первых двух. Это свойство распределений на-



зывается стабильностью. Для демонстрации важности стабильности распределений рассмотрим распределение вероятностей рентабельности актива в течение двух однодневных периодов. Было бы желательно, чтобы распределение доходности на протяжении двухдневного периода оставалось того же типа.

Конечность дисперсии также важна, поскольку без нее эффективные оценки параметров распределения, сделанные на основе выборки, не будут приближаться к действительным статистическим параметрам генеральной совокупности по мере того, как размер выборки будет увеличиваться. Более того, мы приняли среднее квадратическое отклонение за меру риска. Оно не может быть определено, если дисперсия не является конечной. Присутствие значительного количества выделяющихся значений приводит к тому, что оценки параметров будут изменяться от выборки к выборке.

Сказанное выше позволяет определить те распределения, которые лучше всего описывают распределение вероятностей доходности активов.

Нормальное распределение

Мы отметили в гл. 2, что наиболее широко из распределений частот используется нормальное распределение, или распределение Гаусса. Отсюда вытекает то обстоятельство, что наиболее широко используемым распределением вероятностей является нормальное распределение. Это распределение непрерывное, но часто применяется при моделировании дискретных случайных переменных.

Кривая нормального распределения имеет форму симметричного колокола, как это изображено на рис. 4.3.

Это распределение полностью определяется средней арифметической и средним квадратическим отклонением, что делает этот тип распределения весьма привлекательным. Средняя арифметическая указывает на расположение середины колокола, а среднее квадратическое отклонение показывает, насколько "колокол" растянут в стороны.

Если переменная подчиняется закону нормального распределения, то 68,27% всех наблюдений попадут в интервал плюс-минус среднее квадратическое отклонение от средней. Более того, 95,45% всех наблюдений попадают в интервал плюс-минус удвоенное среднее квадратическое отклонение и 99,73% - в

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [ 62 ] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]